15.5: Опрацьовані приклади

Приклад 15.1 Пружне одновимірне зіткнення між двома об'єктами

Малюнок 15.7 Пружне зіткнення між двома неоднаковими візками

Розглянемо пружне зіткнення двох візків уздовж колії; інцидентний візок 1 має масу$m_{1}\ and moves with initial speed \(v_{1,i}$. Цільова візок має масу$m_{2}=2 m_{1}$ і спочатку знаходиться в стані спокою$v_{2, i}=0$,, (рис. 15.7). Відразу після зіткнення візок, що інцидент має кінцеву швидкість,$v_{1, f}$ а цільовий візок має кінцеву швидкість$v_{2, f}$. Обчисліть кінцеву х-складову швидкостей візків в залежності від початкової швидкості$v_{1, i}$.

Рішення: Схема руху імпульсу для об'єктів до (початковий стан) та після (кінцевий стан) зіткнення показана на малюнку 15.7. Ми можемо негайно використовувати наші результати вище за допомогою$m_{2}=2 m_{1}$ і$v_{2, i}=0$. Кінцева x -складова швидкості візка 1 задається рівнянням (15.3.14), де ми використовуємо$v_{1 x, i}=v_{1, i}$.

$$v_{1 x, f}=-\frac{1}{3} v_{1, i} \nonumber$$ Кінцева x-складова швидкості візка 2 задається рівнянням (15.4.17) $$v_{2 x, f}=\frac{2}{3} v_{1, i} \nonumber$$

Приклад 15.2 Розсіювання кінетичної енергії при абсолютно нееластичному зіткненні двох об'єктів

Малюнок 15.7b Нееластичне зіткнення між двома неоднаковими візками

Падаючий візок маси$m_{1}$ і початкової швидкості$v_{1,i}$ стикається абсолютно непружно з візком маси$m_{2}$, яка спочатку знаходиться в стані спокою (рис. 15.7б). Зовнішні сили, що діють на об'єкти в напрямку зіткнення, відсутні. Знайти$\Delta K / K_{\text {initial }}=\left(K_{\text {final }}-K_{\text {initial }}\right) / K_{\text {initial }}$

Рішення: За відсутності будь-якої чистої сили на системі, що складається з двох візків, імпульс після зіткнення буде таким же, як і до зіткнення. Після зіткнення візки рухатимуться у напрямку початкової швидкості падаючого візка із загальною швидкістю,$v_{f}$ знайденою при застосуванні умови імпульсу

$$m_{1} v_{1, i}=\left(m_{1}+m_{2}\right) v_{f} \Rightarrow v_{f}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} v_{1, i} \nonumber$$ Початкова відносна швидкість дорівнює$v_{i}^{\mathrm{rel}}=v_{1, i}$. Кінцева відносна швидкість дорівнює нулю, оскільки візки злипаються разом, тому, використовуючи Рівняння (15.3.26), зміна кінетичної енергії є $$\Delta K=-\frac{1}{2} \mu\left(v_{i}^{r e l}\right)^{2}=-\frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{1, i}^{2} \nonumber$$ Відношення зміни кінетичної енергії до початкової кінетичної енергії тоді $$\Delta K / K_{\text {initial}}=-\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \nonumber$$ Як перевірка, ми можемо обчислити зміну кінетичної енергії за допомогою $$\Delta K=\left(K_{f}-K_{i}\right)=\frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}\right) v_{f}^{2}-\frac{1}{2} v_{1, i}^{2} =\frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}\right)\left(\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)^{2} v_{1, i}^{2}-\frac{1}{2} v_{1, i}^{2} =\left(\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}-1\right)\left(\frac{1}{2} m_{1} v_{1, i}^{2}\right)=-\frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{1, i}^{2} \nonumber$$

відповідно до Рівняння (15.4.4).

Приклад 15.3 Підстрибуючі суперкулі

Малюнок 15.8b Два суперкулі падіння

Розглянемо дві кулі, які скидаються з висоти$h_{i}$ над землею, один на інший (рис. 15.8). Куля 1 знаходиться зверху і має масу$M_{1}$, а кулька 2 знаходиться під ним і має масу$M_{2}$ с$M_{2}>>M_{1}$. Припустимо, що немає втрат кінетичної енергії під час всіх зіткнень. М'яч 2 спочатку стикається з землею і підбиває. Потім, коли куля 2 починає рухатися вгору, він стикається з м'ячем 1, який все ще рухається вниз (малюнок внизу зліва). Наскільки високо буде м'яч 1 відскок в повітрі? Підказка: розгляньте це зіткнення, яке бачить спостерігач, що рухається вгору з тією ж швидкістю, що і м'яч 2 після зіткнення з землею. Яку швидкість має куля 1 в цій опорній рамці після того, як він зіткнеться з м'ячем 2?

Рішення

Система складається з двох куль і землі. Існує п'ять спеціальних станів для цього руху, показаних на малюнку нижче.

частина а)

Початковий стан: кульки звільняються від спокою на висоті$h_{i}$ над землею.

Стан A: кулі просто досягають землі зі швидкістю$v_{a}=\sqrt{2 g h_{i}}$. Це випливає з$\Delta E_{\text {mесh}}=0 \Rightarrow \Delta K=-\Delta U$. Таким чином$(1 / 2) m v_{a}^{2}-0=-m g \Delta h=m g h_{i} \Rightarrow v_{a}=\sqrt{2 g h_{i}}$

Стан Б: безпосередньо перед зіткненням куль. Куля 2 зіткнувся з землею і змінив напрямок з тією ж швидкістю,$v_{a}$ але куля 1 все ще рухається вниз зі швидкістю$v_{a}$.

Стан C: відразу після зіткнення кульок. Тому що ми припускаємо, що$m_{2} \gg m_{1}$ куля 2 не змінює свою швидкість в результаті зіткнення, тому він все ще рухається 2 вгору зі швидкістю$v_{a}$. В результаті зіткнення куля 1 переміщається вгору зі швидкістю$v_{b}$

Кінцевий стан: м'яч 1 досягає максимальної висоти$h_{f}=v_{b}^{2} / 2 g$ над землею. Це знову випливає з$\Delta K=-\Delta U \Rightarrow 0-(1 / 2) m v_{b}^{2}=-m g \Delta h=-m g h_{f} \Rightarrow h_{f}=v_{b}^{2} / 2 g$

Вибір опорного кадру:

Як зазначено в підказці вище, це зіткнення найкраще аналізувати з опорної рамки спостерігача, що рухається вгору$v_{a}$ зі швидкістю кулі 2 відразу після того, як він відскочив із землею. У цьому кадрі безпосередньо, перед зіткненням, куля 1 рухається вниз зі швидкістю,$v_{b}^{\prime}$ яка вдвічі перевищує швидкість, яку бачить спостерігач у стані спокою на землі (лабораторний контрольний кадр).

$$v_{a}^{\prime}=2 v_{a} \nonumber$$

Маса кулі 2 набагато більше, ніж маса кулі 1,$m_{2} \gg m_{1}$ Це дозволяє нам вважати зіткнення (між державами B і C) бути еквівалентним м'яч 1 відскакує від жорсткої стіни, в той час як м'яч 2 відчуває практично ніякої віддачі. Отже, куля 2 залишається в стані спокою в опорній рамці, рухаючись вгору$\mathcal{V}_{a}$ зі швидкістю по відношенню до спостерігача в стані спокою на землі. Перед зіткненням куля 1 має швидкість$v_{a}^{\prime}=2 v_{a}$ Оскільки під час зіткнення немає втрати кінетичної енергії, результатом зіткнення є те, що куля 1 змінює напрямок, але підтримує однакову швидкість,

$$v_{b}^{\prime}=2 v_{a} \nonumber$$ Однак, за словами спостерігача в стані спокою на землі, після зіткнення м'яч 1 рухається вгору зі швидкістю $$v_{b}=2 v_{a}+v_{a}=3 v_{a} \nonumber$$ Під час відскоку механічна енергія меншого суперкулі є постійною (ми розглядаємо менший суперкуля і Землю як систему), отже, між станом C і кінцевим станом, $$\Delta K+\Delta U=0 \nonumber$$ Зміна кінетичної енергії є $$\Delta K=-\frac{1}{2} m_{1}\left(3 v_{a}\right)^{2} \nonumber$$ Зміна потенційної енергії є $$\Delta U=m_{1} g h_{f} \nonumber$$ Отже, умова, що механічна енергія є постійною (Рівняння (15.5.10)) тепер $$-\frac{1}{2} m_{1}\left(3 v_{1 a}\right)^{2}+m_{1} g h_{f}=0 \nonumber$$ Ми можемо переписати рівняння (15.5.13) як $$m_{1} g h_{f}=9 \frac{1}{2} m_{1}\left(v_{a}\right)^{2} \nonumber$$ Нагадаємо, що ми також можемо використовувати той факт, що механічна енергія не змінюється між початковим станом та станом А, отримуючи рівняння, подібне рівнянню (15.5.14), $$m_{1} g h_{i}=\frac{1}{2} m_{1}\left(v_{a}\right)^{2} \nonumber$$ Тепер підставляємо вираз для кінетичної енергії в Рівнянні (15.5.15) на Рівняння (15.5.14), що дає $$m_{1} g h_{f}=9 m_{1} g h_{i} \nonumber$$ Таким чином куля 1 досягає максимальної висоти $$h_{f}=9 h_{i} \nonumber$$