27.5: Стійка прецесія

За яких умов верхівка, що обертається під гравітацією, перегониться зі стійкою швидкістю? Сталість$L_{3}$,$L_{Z}$ означає, що$\Omega_{3}=\dot{\phi} \cos \theta+\dot{\psi}$, і$\Omega_{\mathrm{pr}}=\dot{\phi}$ є константами.

Рівняння$\theta$ Лагранжа

$$I_{1}^{\prime} \ddot{\theta}=I_{1}^{\prime} \dot{\phi}^{2} \sin \theta \cos \theta-I_{3}(\dot{\phi} \cos \theta+\dot{\psi}) \dot{\phi} \sin \theta+M g \ell \sin \theta$$

Для постійних$\theta$$\ddot{\theta}=0$, так, з$\Omega_{3}=\dot{\phi} \cos \theta+\dot{\psi}$, і$\Omega_{\mathrm{pr}}=\dot{\phi}$.

$$I_{1}^{\prime} \Omega_{p r}^{2} \cos \theta-I_{3} \Omega_{3} \Omega_{p r}+M g \ell=0 \label{eq3}$$

Оскільки Equation\ ref {eq3} є квадратним рівнянням швидкості прецесії, загалом існує два рішення: дивлячись на попередню вершину, це трохи дивно! Ми знаємо, що для вершини, коли вона добре переходить, швидкість віджиму$\Omega_{3}$ набагато перевищує швидкість прецесії$\Omega_{p r}$. Припускаючи$I_{1}^{\prime}, I_{3}$, що він має подібний розмір, це означає, що перший член у квадратиці набагато менший, ніж другий. Якщо ми просто скинемо перший термін, ми отримаємо ставку прецесії

$$\Omega_{\text {precess }(\mathrm{slow})}=\frac{M g \ell}{I_{3} \Omega_{3}}, \quad\left(\Omega_{3} \gg \Omega_{\text {precess }}\right)$$

Зверніть увагу, що це не залежить від кута - крутний момент змінюється так само$\sin \theta$, як і горизонтальна складова кутового моменту, що змінюється.

Це звичне рішення для дитини швидко обертається верхівка, що повільно переходить. Але це квадратне рівняння, є й інша можливість: у цій великій$\Omega_{3}$ межі, ця інша можливість полягає в тому$\Omega_{p r} \text { is itself of order } \Omega_{3}$, що тепер у рівнянні останній член, гравітаційний, є незначним, і

$$\Omega_{\text {precess }(\text { fast })} \cong I_{3} \Omega_{3} / I_{1}^{\prime} \cos \theta$$

Це всього лише нутація вільного топа! Насправді, звичайно, обидва вони є приблизними рішеннями, тільки точними в межі нескінченного спина (де один йде в нуль, інший до нескінченності), і більш точна обробка дасть поправки кожному, що виникають від іншого. Ландау вказує провідну гравітаційну корекцію порядку до режиму нутації вільного тіла.