27.5: Стійка прецесія

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75437

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

За яких умов верхівка, що обертається під гравітацією, перегониться зі стійкою швидкістю? Сталість\(L_{3}\),\(L_{Z}\) означає, що\(\Omega_{3}=\dot{\phi} \cos \theta+\dot{\psi}\), і\(\Omega_{\mathrm{pr}}=\dot{\phi}\) є константами.

Рівняння\(\theta\) Лагранжа

\[I_{1}^{\prime} \ddot{\theta}=I_{1}^{\prime} \dot{\phi}^{2} \sin \theta \cos \theta-I_{3}(\dot{\phi} \cos \theta+\dot{\psi}) \dot{\phi} \sin \theta+M g \ell \sin \theta\]

Для постійних\(\theta\)\(\ddot{\theta}=0\), так, з\(\Omega_{3}=\dot{\phi} \cos \theta+\dot{\psi}\), і\(\Omega_{\mathrm{pr}}=\dot{\phi}\).

\[I_{1}^{\prime} \Omega_{p r}^{2} \cos \theta-I_{3} \Omega_{3} \Omega_{p r}+M g \ell=0 \label{eq3}\]

Оскільки Equation\ ref {eq3} є квадратним рівнянням швидкості прецесії, загалом існує два рішення: дивлячись на попередню вершину, це трохи дивно! Ми знаємо, що для вершини, коли вона добре переходить, швидкість віджиму\(\Omega_{3}\) набагато перевищує швидкість прецесії\(\Omega_{p r}\). Припускаючи\(I_{1}^{\prime}, I_{3}\), що він має подібний розмір, це означає, що перший член у квадратиці набагато менший, ніж другий. Якщо ми просто скинемо перший термін, ми отримаємо ставку прецесії

\[\Omega_{\text {precess }(\mathrm{slow})}=\frac{M g \ell}{I_{3} \Omega_{3}}, \quad\left(\Omega_{3} \gg \Omega_{\text {precess }}\right)\]

Зверніть увагу, що це не залежить від кута - крутний момент змінюється так само\(\sin \theta\), як і горизонтальна складова кутового моменту, що змінюється.

Це звичне рішення для дитини швидко обертається верхівка, що повільно переходить. Але це квадратне рівняння, є й інша можливість: у цій великій\(\Omega_{3}\) межі, ця інша можливість полягає в тому\(\Omega_{p r} \text { is itself of order } \Omega_{3}\), що тепер у рівнянні останній член, гравітаційний, є незначним, і

\[\Omega_{\text {precess }(\text { fast })} \cong I_{3} \Omega_{3} / I_{1}^{\prime} \cos \theta\]

Це всього лише нутація вільного топа! Насправді, звичайно, обидва вони є приблизними рішеннями, тільки точними в межі нескінченного спина (де один йде в нуль, інший до нескінченності), і більш точна обробка дасть поправки кожному, що виникають від іншого. Ландау вказує провідну гравітаційну корекцію порядку до режиму нутації вільного тіла.