27.4: Рух симетричної вершини навколо фіксованої основи з гравітацією - нутація

Позначаючи відстань центру мас від нерухомої нижньої точки Р як\(ℓ\) (по осі) момент інерції близько прямої, перпендикулярної осі в базовій точці, дорівнює

\[I_{1}^{\prime}=I_{1}+M \ell^{2}\]

\(\left(I_{1}\right.\)будучи звичайним центром маси моменту.)

Лагранж є (P є походження,\(I_{3}\) в напрямку\(\theta, \phi)\)

\[L=\frac{1}{2} I_{1}^{\prime}\left(\dot{\phi}^{2} \sin ^{2} \theta+\dot{\theta}^{2}\right)+\frac{1}{2} I_{3}(\dot{\phi} \cos \theta+\dot{\psi})^{2}-M g \ell \cos \theta\]

Зверніть увагу, що координати\(\psi, \phi\) не відображаються явно, тому є дві константи руху:

\ [\ почати {масив} {l}
p_ {\ psi} =\ частковий L/\ частковий\ точка {\ psi} =I_ {3} (\ точка {\ phi}\ cos\ тета+\ точка {\ psi}) =L_ {3}\
p_ {\ phi} =\ часткова L/\ часткова\ точка {\ phi} =\ лівий (I_ {1} ^ {\ прайм}\ sin ^ {2}\ theta+i_ {3}\ cos ^ {2}\ тета\ право)\ точка {\ phi} +I_ {3}\ точка {\ psi}\ cos\ theta = L_ {Z}
\ кінець {масив}\]

Тобто, кутовий імпульс близько\(x_{3}\) зберігається, тому що дві сили, що діють на вершині, гравітаційна тяга в центрі маси і реакція підлоги в нижній точці, обидві діють уздовж ліній, що перетинають вісь, тому ніколи не мають крутного моменту про\(x_{3}\). Кутовий момент близько Z зберігається, оскільки гравітаційний крутний момент діє перпендикулярно цій лінії.

Ми маємо два лінійних рівняння\(\dot{\psi}, \dot{\phi}\) з коефіцієнтами залежно від\(\theta\) та двох констант руху\(L_{3}, L_{Z}\). Рішення просте, що дає

\[\dot{\phi}=\frac{L_{Z}-L_{3} \cos \theta}{I_{1}^{\prime} \sin ^{2} \theta}\]

і

\[ \dot{\psi}=\frac{L_{3}}{I_{3}}-\cos \theta\left(\frac{L_{Z}-L_{3} \cos \theta}{I_{1}^{\prime} \sin ^{2} \theta}\right)\]

(консервована) енергія

\ [\ почати {вирівняти} E &=\ розрив {1} {2} Я_ {1} ^ {\ прайм}\ ліворуч (\ Омега_ {1} ^ {2} +\ Омега_ {2} ^ {2}\ праворуч) +\ frac {1} {2} {2} I_ {3}\ Omega_ {3} ^ {2} +M g\ ell cos\ theta\ [4pt]
&=\ розрив {1} {2} Я_ {1} ^ {\ прайм}\ лівий (\ точка {\ фі} ^ {2}\ sin ^ {2}\ тета+\ точка {\ тета} ^ {2}\ правий) +\ розрив {1} {2} I_ {3} (\ точка {\ phi}\ cos\ theta+\ dot {\ dot {пси }) ^ {2} +М г\ ell\ cos\ тета
\ кінець {вирівняти}\]

Використовуючи константи руху для вираження\(\dot{\psi}, \dot{\phi}\) термінами\(\theta\) та константами\(L_{Z}, L_{3}\), потім віднімаючи\(\theta\) незалежний термін для зменшення безладу,

\[E^{\prime}=E-M g \ell-\left(L_{3}^{2} / 2 I_{3}\right)\]

у нас є

\[\begin{align*} E^{\prime} &= \frac{1}{2} I_{1}^{\prime} \dot{\theta}^{2}+V_{\mathrm{eff}}(\theta), \quad V_{\mathrm{eff}}(\theta) \\[4pt] &=\frac{\left(L_{Z}-L_{3} \cos \theta\right)^{2}}{2 I_{1}^{\prime} \sin ^{2} \theta}-M g \ell(1-\cos \theta) \end{align*}\]

Діапазон руху в\(\theta\) задається\(E^{\prime}>V_{\mathrm{eff}}(\theta) . \text { For } L_{3} \neq L_{Z}, V_{\mathrm{eff}}(\theta)\) йде до нескінченності на\(\theta=0, \pi\) Він має єдиний мінімум між цими точками. (Це не зовсім очевидно - один із способів побачити це - змінити змінну на\(u=\cos \theta\), слідуючи за Гольдштейном. Множення по всьому на\(\sin ^{2} \theta\), і запис\(\dot{\theta}^{2} \sin ^{2} \theta=\dot{u}^{2}\) дає одновимірну частку в потенційній задачі, а потенціал - кубічний в\(u\). Звичайно, деякі коріння\(E^{\prime}=V_{\mathrm{eff}}(\theta)\) можуть бути в нефізичному регіоні\(|u|>1\). У будь-якому випадку, існує не більше трьох коренів, тому оскільки потенціал позитивний і нескінченний у\(\theta=0, \pi\) нього є не більше двох коренів у фізичному діапазоні.)

З одновимірної частинки в потенційній аналогії видно, що\(\theta\) коливається між цими двома точками\(\theta_{1} \text { and } \theta_{2}\). Це коливання називається нутацією. Зараз

\[\dot{\phi}=\left(L_{Z}-L_{3} \cos \theta\right) / I_{1}^{\prime} \sin ^{2} \theta\]

може змінити знак під час цього коливання, залежно від того, чи\(\cos ^{-1}\left(L_{Z} / L_{3}\right)\) знаходиться кут у діапазоні. Візуалізація шляху верхньої центральної точки на сферичній поверхні з центром у фіксованій точці, коли вона йде навколо неї коливається вгору і вниз, але якщо є ця зміна знака, вона буде «петля петлі», рухаючись назад на верхній частині петлі.