Home
фізики
Класична механіка
Випускник класичної механіки (Fowler)
27: Кути Ейлера
27.6: Стабільність верхнього спінінгу щодо вертикальної осі

27.6: Стабільність верхнього спінінгу щодо вертикальної осі

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75416

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

(від Ландау) Для\(\theta=\dot{\theta}=0, \quad L_{3}=L_{Z}, E^{\prime}=0 . \text { Near } \theta=0\),

\ begin {рівняння}
\ почати {вирівняний}
V_ {\ текст {ефективний}} (\ тета) &=\ frac {\ лівий (L_ {Z} -L_ {3}\ cos\ тета\ вправо) ^ {2}} {2}} {\ прайм}\ sin ^ {2}\ тета} -M g\ ell (1-\ cos\ тета)\\
\ cons г\ гідророзриву {L_ {3} ^ {2}\ ліворуч (\ гідророзриву {1} {2}\ тета^ {2}\ праворуч) ^ {2}} {2}} {1} ^ {\ прайм}\ тета^ {2}} -\ розриву {1} {2} М г\ ell\ тета^ {2}\
&=\ ліворуч (L_ {3} ^ {2}/8 I_ {1} ^ {\ прайм} -\ frac {1} {2} M g\ ell\ праворуч)\ theta^ {2}
\ кінець {вирівняний}
\ кінець {рівняння}

Вертикальне положення стійке проти малих коливань\(L_{3}^{2}>4 I_{1}^{\prime} M g \ell, \text { or }\), передбачених, або\(\Omega_{3}^{2}>4 I_{1}^{\prime} M g \ell / I_{3}^{2}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Припустимо, ви встановили верхню вертикаль, але обертаючись на менше\(\Omega_{3 \text { crit }}\), значення, при якому вона просто стабільна. Він відпаде, але відскакує назад і так далі. Показувати максимальний кут, який він досягає, задано\(\cos (\theta / 2)=\Omega_{3} / \Omega_{3 \mathrm{crit}}\).