14.3: Парабола

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75128

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Парабола може бути визначена як гранична крива еліпса як один фокус (у випадку, якщо ми досліджуємо, це буде\(\left.F_{1}\right)\) йти до нескінченності. Ексцентриситет, очевидно, йде до\(e \rightarrow 1\) одиниці, оскільки центр еліпса пішов до нескінченності. Напівширота пряма кишка все ще\(ℓ\) визначається як перпендикулярна відстань від фокуса до кривої, рівняння

\[\ell=r(1+\cos \theta)\]

Зауважте, що це описує параболу, що відкривається ліворуч. Беручи\(OF=1\), рівняння цієї параболи є\(y^{2}=-4 x\).

Всі параболи виглядають однаково, крім масштабування (може бути, просто в одну сторону). Лінія, перпендикулярна осі і така ж відстань від кривої вздовж осі, що і фокус, але поза кривою, є директрисою параболи. Тобто,\(FO=OD\).

Кожна точка на кривій - це така ж відстань від фокуса, як і від директриси. Це можна зробити з межі властивості еліпса, що сума відстаней до двох вогнищ постійна. Давайте назвемо інший фокус\(\infty\). Потім\(F P+P \infty=F O+O \infty=D \infty=D^{\prime} \infty\). Отже, зі схеми,\(F P=P D^{\prime}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Доведіть, знаходячи нахил і т.д., що будь-який промінь світла, випромінюваний точковою лампою у фокусі буде відображатися параболічним дзеркалом, щоб вийти паралельно осі.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

З діаграми вище, показати, що рівність\(F P=P D^{\prime}\) легко дає рівняння для параболи, як в (r, θ), так і в (x, y) координатах.