14.3: Парабола

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Парабола може бути визначена як гранична крива еліпса як один фокус (у випадку, якщо ми досліджуємо, це буде $\left.F_{1}\right)$ йти до нескінченності. Ексцентриситет, очевидно, йде до $e \rightarrow 1$ одиниці, оскільки центр еліпса пішов до нескінченності. Напівширота пряма кишка все ще $ℓ$ визначається як перпендикулярна відстань від фокуса до кривої, рівняння

$\ell=r(1+\cos \theta)$

Зауважте, що це описує параболу, що відкривається ліворуч. Беручи $OF=1$ , рівняння цієї параболи є $y^{2}=-4 x$ .

Всі параболи виглядають однаково, крім масштабування (може бути, просто в одну сторону). Лінія, перпендикулярна осі і така ж відстань від кривої вздовж осі, що і фокус, але поза кривою, є директрисою параболи. Тобто, $FO=OD$ .

Кожна точка на кривій - це така ж відстань від фокуса, як і від директриси. Це можна зробити з межі властивості еліпса, що сума відстаней до двох вогнищ постійна. Давайте назвемо інший фокус $\infty$ . Потім $F P+P \infty=F O+O \infty=D \infty=D^{\prime} \infty$ . Отже, зі схеми, $F P=P D^{\prime}$

Вправа $\PageIndex{1}$

Доведіть, знаходячи нахил і т.д., що будь-який промінь світла, випромінюваний точковою лампою у фокусі буде відображатися параболічним дзеркалом, щоб вийти паралельно осі.

Вправа $\PageIndex{1}$

З діаграми вище, показати, що рівність $F P=P D^{\prime}$ легко дає рівняння для параболи, як в (r, θ), так і в (x, y) координатах.