14.4: Гіпербола

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75127

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Декартові координати

Гіпербола має ексцентриситет\(e>1\). У декартових координатах він має рівняння

\ begin {рівняння}\ розрив {x^ {2}} {a^ {2}} -\ розрив {y^ {2}} {b^ {2}} =1\ end {рівняння}

і має дві гілки, обидві йдуть до нескінченності, наближаючись до асимптотів\(x=\pm(a / b) y\). Крива перетинає вісь x\(x=\pm a, \text { the foci are at } x=\pm a e\) у будь-якій точці кривої,

\ begin {рівняння} r_ {F_ {1}} -r_ {F_ {2}} =\ pm 2 a\ end {рівняння}

знак, протилежний для двох гілок.

Напівширока пряма кишка, як і для більш ранніх коніків, - це перпендикулярна відстань від фокуса до кривої, і є\(\ell=b^{2} / a=a\left(e^{2}-1\right)\). Кожен фокус має пов'язану директрису, відстань точки на кривій від директриси, помножене на ексцентриситет, дає її відстань від фокуса.

Полярні координати

\((r, \theta)\)Рівняння щодо фокусу можна знайти, підставивши\(x=r \cos \theta+a e, y=r \sin \theta\) в декартове рівняння і розв'язавши квадратичне для\(u=1 / r\)

Зверніть увагу, що\(θ\) має обмежений діапазон: рівняння для правої кривої щодо власного фокусу\(F_{2}\) має

\ begin {рівняння}\ tan\ theta_ {\ текст {асимптота}} =\ pm b/a,\ текст {так}\ cos\ theta_ {\ текст {асимптота}} =\ пм 1/е\ кінець {рівняння}

Рівняння для цієї кривої

\ begin {рівняння}\ frac {\ ell} {r} =1-е\ cos\ тета\ кінець {рівняння}

в асортименті

\ begin {рівняння}\ тета_ {\ текст {асимптота}} <\ тета<2\ пі-\ тета_ {\ текст {асимптота}}\ кінець {рівняння}

Це рівняння придумує різні ознаки! Крива лівої руки щодо фокусу лівої руки мала б позитивний знак\(\text { + } e\). З початком в\(F_{1}\) (зліва) рівняння правої кривої\(\frac{\ell}{r}=e \cos \theta-1\) нарешті з початком на\(F_{2}\) лівій кривій є\(\frac{\ell}{r}=-1-e \cos \theta\). Ці останні два описують відштовхувальне зворотне квадратне розсіювання (Резерфорд).

Примітка: Корисний результат для Резерфордського розсіювання

Якщо визначити гіперболу по

\ begin {рівняння}\ розрив {x^ {2}} {a^ {2}} -\ розрив {y^ {2}} {b^ {2}} =1\ end {рівняння}

то перпендикулярна відстань від фокуса до асимптоти просто b.

Це рівняння таке ж (включаючи масштаб), що

\ begin {рівняння}\ ell/r = -1-е\ cos\ тета,\ текст {з}\ елл=b^ {2}/a=a\ ліворуч (e^ {2} -1\ праворуч)\ end {рівняння}

Доказ: Трикутник\(C P F_{2}\) схожий на трикутник\(C H G, \text { so } P F_{2} / P C=G H / C H=b / a\) і оскільки квадрат гіпотенузи\(C F_{2} \text { is } a^{2} e^{2}=a^{2}+b^{2}, \text { the distance } F_{2} P=b\)

Я вважаю це дивовижним результатом, оскільки при аналізі Резерфордського розсіювання (та іншого розсіювання) параметр впливу, відстань шляху вхідних частинок від паралельної лінії через центр розсіювання позначається\(b\). Звичайно, це не може бути збігом обставин? Але я ніде не можу знайти, що це було початковою мотивацією для позначення.