14.4: Гіпербола

Декартові координати

Гіпербола має ексцентриситет$e>1$. У декартових координатах він має рівняння

\ begin {рівняння}\ розрив {x^ {2}} {a^ {2}} -\ розрив {y^ {2}} {b^ {2}} =1\ end {рівняння}

і має дві гілки, обидві йдуть до нескінченності, наближаючись до асимптотів$x=\pm(a / b) y$. Крива перетинає вісь x$x=\pm a, \text { the foci are at } x=\pm a e$ у будь-якій точці кривої,

\ begin {рівняння} r_ {F_ {1}} -r_ {F_ {2}} =\ pm 2 a\ end {рівняння}

знак, протилежний для двох гілок.

Напівширока пряма кишка, як і для більш ранніх коніків, - це перпендикулярна відстань від фокуса до кривої, і є$\ell=b^{2} / a=a\left(e^{2}-1\right)$. Кожен фокус має пов'язану директрису, відстань точки на кривій від директриси, помножене на ексцентриситет, дає її відстань від фокуса.

Полярні координати

$(r, \theta)$Рівняння щодо фокусу можна знайти, підставивши$x=r \cos \theta+a e, y=r \sin \theta$ в декартове рівняння і розв'язавши квадратичне для$u=1 / r$

Зверніть увагу, що$θ$ має обмежений діапазон: рівняння для правої кривої щодо власного фокусу$F_{2}$ має

\ begin {рівняння}\ tan\ theta_ {\ текст {асимптота}} =\ pm b/a,\ текст {так}\ cos\ theta_ {\ текст {асимптота}} =\ пм 1/е\ кінець {рівняння}

Рівняння для цієї кривої

\ begin {рівняння}\ frac {\ ell} {r} =1-е\ cos\ тета\ кінець {рівняння}

в асортименті

\ begin {рівняння}\ тета_ {\ текст {асимптота}} <\ тета<2\ пі-\ тета_ {\ текст {асимптота}}\ кінець {рівняння}

Це рівняння придумує різні ознаки! Крива лівої руки щодо фокусу лівої руки мала б позитивний знак$\text { + } e$. З початком в$F_{1}$ (зліва) рівняння правої кривої$\frac{\ell}{r}=e \cos \theta-1$ нарешті з початком на$F_{2}$ лівій кривій є$\frac{\ell}{r}=-1-e \cos \theta$. Ці останні два описують відштовхувальне зворотне квадратне розсіювання (Резерфорд).

Примітка: Корисний результат для Резерфордського розсіювання

Якщо визначити гіперболу по

\ begin {рівняння}\ розрив {x^ {2}} {a^ {2}} -\ розрив {y^ {2}} {b^ {2}} =1\ end {рівняння}

то перпендикулярна відстань від фокуса до асимптоти просто b.

Це рівняння таке ж (включаючи масштаб), що

\ begin {рівняння}\ ell/r = -1-е\ cos\ тета,\ текст {з}\ елл=b^ {2}/a=a\ ліворуч (e^ {2} -1\ праворуч)\ end {рівняння}

Доказ: Трикутник$C P F_{2}$ схожий на трикутник$C H G, \text { so } P F_{2} / P C=G H / C H=b / a$ і оскільки квадрат гіпотенузи$C F_{2} \text { is } a^{2} e^{2}=a^{2}+b^{2}, \text { the distance } F_{2} P=b$

Я вважаю це дивовижним результатом, оскільки при аналізі Резерфордського розсіювання (та іншого розсіювання) параметр впливу, відстань шляху вхідних частинок від паралельної лінії через центр розсіювання позначається$b$. Звичайно, це не може бути збігом обставин? Але я ніде не можу знайти, що це було початковою мотивацією для позначення.