13.4: * Змінні кута дії орбіти Кеплера

Ми ще не розглянули орбіти Кеплера, тому пропустіть цей розділ поки що: він тут, щоб повернутися до пізніше. Це від Ландау, стор. 167. Для руху, обмеженого площиною, ми можемо взяти аналіз центрального потенціалу з$\theta=\pi / 2, p_{\theta}=0 \text { and } p_{\phi}=m v_{\phi} r$, кутовий імпульс, так що гамільтоніан

\ begin {рівняння} H=\ розрив {1} {2 м}\ лівий (p_ {r} ^ {2} +\ frac {p_ {\ phi} ^ {2}} {r^ {2}}\ праворуч) +V (r)\ end {рівняння}

Таким чином, рівняння Гамільтона-Якобі

\ begin {рівняння}
\ розрив {1} {2 м}\ лівий (\ розрив {\ частковий S_ {0}}} {\ частковий r}\ праворуч) ^ {2} +V (r) +\ frac {1} {2 м r^ {2}}\ лівий (\ frac {\ частковий S_ {0}}} {\ частковий\ phi}\ праворуч) ^ {2} =E
кінець {рівняння}

Отже, після попереднього аналізу поділу змінних для руху в центральному потенціалі, тут

\ begin {рівняння}
S_ {0} (r,\ phi) =S_ {r} (r) +S_ {\ phi} (\ phi) =S_ {r} (r) +p_ {\ phi}\ phi
\ end {рівняння}

Змінна дії для кутового руху - це лише сам кутовий момент,

\ begin {рівняння}
I_ {\ phi} =\ frac {1} {2\ pi}\ int_ {0} ^ {2\ pi} p_ {\ phi} д\ Phi=L
\ end {рівняння}

І змінна радіальної дії, з потенціалом$V(r)=-k / r, \text { is }$

\ begin {рівняння}
I_ {r} =2\ frac {1} {2\ pi}\ int_ {r_ {\ text {min}}} ^ {r_ {\ max}}\ sqrt {\ ліворуч [2 м\ ліворуч (E+\ frac {k} {r}\ праворуч) -\ frac {L^ {2}} d R = -L+K\ sqrt {\ frac {m} {2|E|}}
\ кінець {рівняння}

(Подробиці про створення інтеграла наведені в Додатку, Mathematica також може це зробити.)

Отже, енергія

\ begin {рівняння}
E=-\ розрив {m k^ {2}} {2\ ліворуч (I_ {r} +I_ {\ phi}\ праворуч) ^ {2}}
\ end {рівняння}

Рух вироджується: дві основні частоти збігаються,$\partial I_{\phi} / \partial E=\partial I_{r} / \partial E$

Це має серйозні наслідки в квантовій механіці: всі дії квантуються в одиницях постійної Планка, для атома водню, з формули вище, енергія залежить тільки від суми квантових чисел: над земним станом енергетичні рівні вироджуються, тому енергія спектр має оманливо просту форму, настільки успішно пояснювану моделлю Бора.

Орбітальні параметри, напівширока пряма кишка і ексцентриситет, від$|E|=k / 2 a \text { and } L^{2}=k m a\left(1-e^{2}\right)$, є

\ begin {рівняння}
\ mathrm {l} =\ frac {I_ {\ phi} ^ {2}} {m k},\ квадрат e^ {2} =1-\ лівий (\ frac {I_ {\ phi}} {\ phi} +I_ {r}}\ праворуч) ^ {2}
\ кінець {рівняння}

Нагадаємо, що напіввелика вісь задається$|E|=k / 2 a$ і з вищевказаного виразу

\ begin {рівняння}
\ гідророзриву {b} {a} =\ frac {I_ {\ phi}} {I_ {\ phi} +I_ {r}} =\ frac {|m|} {n}
\ end {рівняння}

в атомі водню квантового числового позначення.

Додаток: Роблячи інтеграл для радіальної дії Ir

Інтеграл можна поставити в форму

\ begin {рівняння} I
=\ гідророзриву {C} {2\ pi}\ int_ {\ альфа} ^ {\ бета}\ sqrt {(х-\ альфа) (\ бета-х)}\ frac {d x} {x}
\ кінець {рівняння}

які можна інтегрувати, взявши контур, що оточує розріз від$\alpha$ до$\beta$. Інтеграл матиме внесок від полюса на початку, рівний$\begin{equation}C \sqrt{-\alpha \beta}\end{equation}$ і інший від кола на нескінченності, який

\ почати {рівняння}
I_ {\ infty} =\ frac {C} {2\ pi}\ точка\ лівий (1-\ frac {\ альфа} {2 z}\ праворуч)\ лівий (1-\ frac {\ beta} {2 z}\ праворуч) i d z=-\ frac {C (\ альфа+\ бета)} {2}
\ кінець {рівняння}

Прирівнюючі коефіцієнти (множення члена всередині квадратного кореня на$r^{2}$)

\ begin {рівняння} C^ {2} =2 м|e|,\ квад C^ {2} (\ альфа+\ бета) =2 м k,\ квад C^ {2}\ альфа\ бета = L^ {2}\ кінець {рівняння}

Таким чином, внесок від початку дає\ (\ begin {рівняння}
-L,\ text {коло на нескінченності} m k/\ sqrt {2 м} |e|=K\ sqrt {m/2} |E|
\ end {рівняння}\).