13.3: Змінні кута дії

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 13.2: Адіабатична інваріантність та квантова механіка
- 13.4: * Змінні кута дії орбіти Кеплера

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Для замкнутої одновимірної системи, що зазнає скінченного руху (по суті зв'язаного стану), рівняння руху можна переформулювати за допомогою змінної $I=\frac{1}{2 \pi} \oint p d q$ дії замість енергії $E$ . $I$ є однією лише функцією енергії в замкнутій одновимірній системі, і навпаки.

Ми візуалізуємо тут частинку, що рухається вперед і назад в одновимірній ямі з потенційним нулем біля початку, і потенціал ніколи не зменшується при виході з початку до нескінченності. Очевидно, що якщо потенціал має дві низькі точки, локальні зв'язані стани можуть виникати в різних місцях, і $I, E$ зв'язок складний, з різними гілками, можливо, об'єднуючись при високих енергіях.

Обережно

Зверніть увагу, що інтегральний знак у виразі для $I$ змінної дії $\oint$ означає інтеграл навколо замкнутого шляху, ланцюга. Не плутайте цей інтеграл з скороченим інтегралом дії, який має той самий integrand, але є інтегралом $\int_{0}^{q} p d q$ по контуру від фіксованої початкової точки, скажімо, походження, до кінцевої точки $q$ , не обходячи замкнутий шлях. (Вибачте за використання тієї ж літери для диференціала та кінцевої точки, просто слідуючи Ландау.)

У дусі обговорення констант руху вище ми робимо канонічне перетворення в $I$ як новий «імпульс», використовуючи як генеруючу функцію скорочену дію $S_{0}(q, I)$

Оригінальний імпульс

\ begin {рівняння}
p=\ лівий (\ частковий S_ {0}/\ частковий q\ праворуч) _ {E} =\ лівий (\ частковий S_ {0} (q, I)/\ частковий q\ праворуч) _ {I}
\ кінець {рівняння}

Нова «координата», сполучена з імпульсом, $I$ буде

\ begin {рівняння}
w=\ часткова S_ {0} (q, I)/\ часткова I
\ кінець {рівняння}

Це називається змінною кута, $I$ є змінною дії, вони канонічні.

Щоб знайти рівняння Гамільтона в перетворених змінних, так як в перетворенні немає тимчасової залежності, а система замкнута, енергія залишається постійною. Крім того, енергія є функцією $I$ (мається на увазі не з $\omega$ .)

Звідси

\ begin {рівняння}\ точка {I} =\ часткова E (I)/\ часткова w=0,\ quad\ dot {w} =\ часткова E (I)/\ часткова I = D E (I) /d I\ кінець {рівняння}

тому кут є лінійною функцією часу: $w=(d E / d I) t+\text { constant }$

Ще один момент щодо змінної дії та дії: оскільки ми визначаємо дію як

\ begin {рівняння} S_ {0} (q, I) =\ int_ {0} ^ {q} p d q\ end {рівняння}

з цього випливає, що якщо ми відстежуємо зміну цього інтеграла з часом і система рухається навколо ланцюга в фазовому просторі, до дії $\Delta S_{0}=2 \pi I$ буде додано додатковий термін для кожного часового раунду, тому дія багатозначна.