13.3: Змінні кута дії
- Page ID
- 75199
Для замкнутої одновимірної системи, що зазнає скінченного руху (по суті зв'язаного стану), рівняння руху можна переформулювати за допомогою змінної\(I=\frac{1}{2 \pi} \oint p d q\) дії замість енергії\(E\). \(I\)є однією лише функцією енергії в замкнутій одновимірній системі, і навпаки.
Ми візуалізуємо тут частинку, що рухається вперед і назад в одновимірній ямі з потенційним нулем біля початку, і потенціал ніколи не зменшується при виході з початку до нескінченності. Очевидно, що якщо потенціал має дві низькі точки, локальні зв'язані стани можуть виникати в різних місцях, і\(I, E\) зв'язок складний, з різними гілками, можливо, об'єднуючись при високих енергіях.
Обережно
Зверніть увагу, що інтегральний знак у виразі для\(I\) змінної дії\(\oint\) означає інтеграл навколо замкнутого шляху, ланцюга. Не плутайте цей інтеграл з скороченим інтегралом дії, який має той самий integrand, але є інтегралом\(\int_{0}^{q} p d q\) по контуру від фіксованої початкової точки, скажімо, походження, до кінцевої точки\(q\), не обходячи замкнутий шлях. (Вибачте за використання тієї ж літери для диференціала та кінцевої точки, просто слідуючи Ландау.)
У дусі обговорення констант руху вище ми робимо канонічне перетворення в\(I\) як новий «імпульс», використовуючи як генеруючу функцію скорочену дію\(S_{0}(q, I)\)
Оригінальний імпульс
\ begin {рівняння}
p=\ лівий (\ частковий S_ {0}/\ частковий q\ праворуч) _ {E} =\ лівий (\ частковий S_ {0} (q, I)/\ частковий q\ праворуч) _ {I}
\ кінець {рівняння}
Нова «координата», сполучена з імпульсом,\(I\) буде
\ begin {рівняння}
w=\ часткова S_ {0} (q, I)/\ часткова I
\ кінець {рівняння}
Це називається змінною кута,\(I\) є змінною дії, вони канонічні.
Щоб знайти рівняння Гамільтона в перетворених змінних, так як в перетворенні немає тимчасової залежності, а система замкнута, енергія залишається постійною. Крім того, енергія є функцією\(I\) (мається на увазі не з\(\omega\).)
Звідси
\ begin {рівняння}\ точка {I} =\ часткова E (I)/\ часткова w=0,\ quad\ dot {w} =\ часткова E (I)/\ часткова I = D E (I) /d I\ кінець {рівняння}
тому кут є лінійною функцією часу:\(w=(d E / d I) t+\text { constant }\)
Ще один момент щодо змінної дії та дії: оскільки ми визначаємо дію як
\ begin {рівняння} S_ {0} (q, I) =\ int_ {0} ^ {q} p d q\ end {рівняння}
з цього випливає, що якщо ми відстежуємо зміну цього інтеграла з часом і система рухається навколо ланцюга в фазовому просторі, до дії\(\Delta S_{0}=2 \pi I\) буде додано додатковий термін для кожного часового раунду, тому дія багатозначна.