13.2: Адіабатична інваріантність та квантова механіка

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75200

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ця знахідка, інваріантність повільної\(E / \omega\) зміни сили потенціалу в простому гармонічному осциляторі, безпосередньо з'єднується з квантовою механікою, як було вперше зазначено Ейнштейном в 1911 році. Припустимо, (квантовий механічний) генератор знаходиться у власному стані енергії с\(E=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega\). Тоді просторова хвильова функція має\(n\) нулі. Якщо потенціал змінюється досить повільно (мається на увазі незначні зміни протягом одного циклу коливань), осцилятор не буде стрибати в інший свій стан (або, точніше, ймовірність піде до нуля зі швидкістю зміни). Хвильова функція буде поступово розтягуватися (або стискати), але кількість нулів не зміниться. Тому енергія буде триматися\(\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega\), і відслідковувати с\(ω\). Звичайно, класична система трохи інша: квантова система «замкнута» до певного стану, якщо збурень має зникаючі малі частотні компоненти, відповідні енергетичним\(\hbar \omega\) відмінностям наявних станів. Класична система, з іншого боку, може переходити до станів, довільно близьких за енергією. Ландау дає нетривіальний аналіз класичної системи, роблячи висновок, що зміна адіабатичного «інваріанта» є порядковим\(e^{-\omega_{0} \tau}\) для зовнішньої зміни, що діє протягом певного часу\(\tau\).