13.1: Адіабатичні інваріанти

Уявіть собі частинку в одному вимірі, що коливається вперед і назад у якомусь потенціалі. Потенціал не повинен бути гармонічним, але він повинен бути таким, щоб уловлювати частинку, яка виконує періодичний рух з періодом T. Тепер припустимо, що ми поступово змінюємо потенціал, але зберігаємо частинку в пастці. Тобто потенціал залежить від якогось параметра\(\lambda\), який ми змінюємо поступово, маючи на увазі з часом набагато більше часу коливання:\(T d \lambda / d t \ll \lambda\)

Сира демонстрація - це простий маятник зі струною змінної довжини, наприклад, висить з нерухомої опори, але струна, що проходить через невелику петлю, яку можна переміщати вертикально для зміни ефективної довжини (рис.\(\PageIndex{1}\)).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Скопіюйте та вставте підпис тут. (Авторське право; автор через джерело)

Якби\(λ\) були зафіксовані, система мала б постійну енергію\(E\) і період\(T\). Оскільки λ поступово змінюється ззовні, буде відбуватися енергетичний обмін взагалі, напишемо гамільтоніан\(H(q, p ; \lambda)\), енергія системи буде\(E(\lambda)\) (Звичайно,\(E\) також залежить від початкової енергії до початку варіації.) Пам'ятайте тепер, що з рівнянь Гамільтона\(d H / d t=\partial H / \partial t\) так під час варіації

\ begin {рівняння}\ frac {d E} {d t} =\ frac {\ частковий H} {\ частковий т} =\ frac {\ частковий H} {\ частковий\ лямбда}\ frac {d\ лямбда} {d t}\ кінець {рівняння}

З діаграми видно, що енергія, що подається в систему, коли кільце повільно рухається вниз, змінюється протягом усього циклу - наприклад, коли маятник знаходиться близько до вертикально вниз, на його енергію майже не вплине переміщення кільця.

Рухаючись повільно вниз означає дуже мало\(\lambda\) змінюється в одному циклі системи, ми можемо усереднити протягом циклу:

\ begin {рівняння}\ frac {d E} {d t} =\ frac {\ overline {\ часткова H}} {\ часткова\ лямбда}\ frac {d\ лямбда} {d t}\ кінець {рівняння}

де

\ begin {рівняння}\ frac {\ частковий H} {\ частковий\ лямбда} =\ frac {1} {T}\ int_ {0} ^ {T}\ frac {\ частковий H} {\ частковий\ лямбда} d t\ end {рівняння}

Тепер рівняння Гамільтона\(d q / d t=\partial H / \partial p\) означає, що ми можемо\(d t\) замінити на\(\frac{d q}{(\partial H / \partial p)_{\lambda}}\), тому час для обходу одного повного циклу

\ begin {рівняння} T =\ int_ {0} ^ {T} d t=\ точка\ frac {d q} {(\ часткове Н/\ часткове р) _ {\ лямбда}}\ кінець {рівняння}

(Це не буде інтегруватися до нуля, тому що на зворотному нозі обидва\(d q \text { and } \dot{q}=(\partial H / \partial p)\) будуть негативними.)

Тому, замінивши\(d t \text { in } \int_{0}^{T}(\partial H / \partial \lambda)\) також,

\ begin {рівняння}\ frac {\ overline {d E}} {d t} =\ frac {d\ лямбда} {d\ лямбда} {d t}\ frac {\ точка\ frac {(\ часткова H/\ часткова р}} {\ точка\ frac {d q} {(\ часткова H/\ часткова р}} {\ точка\ frac {d q} {(\ часткова H/\ часткова р) _\ лямбда}}}\ end {рівняння}

Тепер ми припускаємо, що\(λ, E\) змінюються досить повільно, що вони близькі до постійних протягом одного циклу, це означає, що в даній точці q на схемі імпульс може бути записаний\(p=p(q ; E, \lambda), \text { regarding } E, \lambda\) як постійні та незалежні параметри. (Ми завжди можемо налаштувати\(E \text { at fixed } \lambda \text { by giving the pendulum a little push!) }\)

Якщо ми тепер частково диференціюємо\(H(q, p, \lambda)=E \text { with respect to } \lambda, \text { keeping } E\) константу (потрібні відповідні нескінченно малі поштовхи!) , отримуємо, в точці\(q\) на схемі,

\ begin {рівняння}\ частковий H/\ частковий\ лямбда+ (\ частковий Н/\ частковий р) (\ частковий р/\ частковий\ лямбда) =0,\ текст {або}\ частковий р (q,\ лямбда, Е)/\ частковий\ лямбда =-\ frac {\ частковий H/\ partial\ lambda} {\ partial H/\ partial p}\ кінець {рівняння}

який є цілим числом в чисельнику нашого виразу для\(\frac{d E}{d t}, \text { so }\)

\ begin {рівняння}\ frac {\ overline {d E}} {d t} =-\ frac {d\ лямбда} {d t}\ frac {\ точка (\ часткова p/\ часткова\ лямбда) _ {E} d q} {\ точка (\ часткова р/\ часткова Е) _ {\ лямбда} d q}\ кінець {рівняння}

У знаменнику ми замінили\(1 /(\partial H / \partial p)_{\lambda} \text { by }(\partial p / \partial E)_{\lambda}\)

Перестановка,

\ begin {рівняння}
\ точка\ лівий [\ лівий (\ frac {\ частковий р} {\ частковий E}\ правий) _ {\ лямбда}\ frac {\ overline {d E}} {d t} +\ frac {\ частковий p} {\ частковий\ лямбда}\ правий) _ {E}\ frac {d\ лямбда} {d\ лямбда}\ правий) _ {E}\ frac {d\ лямбда} {d\ лямбда}] d q=0
\ end {рівняння}

Це можна написати

\ begin {рівняння}
\ розрив {\ overline {d I}} {d t} =0,\ квад\ текст {де} I =\ frac {1} {2\ pi}\ точка p (q,\ лямбда, Е) d q
\ end {рівняння}

\(I\)адіабатичний інваріант: це означає, що він залишається постійним, коли параметри системи змінюються поступово, навіть якщо енергія системи змінюється.

Важливо! Часткова похідна по відношенню до енергії\(\partial I / \partial E\) визначає період руху:

\ begin {рівняння} 2\ pi\ frac {\ частковий I} {\ частковий Е} =\ точка\ лівий (\ frac {\ частковий р} {\ часткове Е}\ право) _ {\ лямбда} d q=\ точка\ frac {d q} {(\ часткова H/\ часткова р) _ {\ лямбда}} =\ точка\ frac {d q} {\ точка} {q}} =T,\ quad\ текст {або}\ частковий E/\ частковий I =\ омега\ кінець {рівняння}

(Примітка: ось ще один зв'язок з квантовою механікою. Якщо система підключена до зовнішнього світу, наприклад, якщо орбітальна частинка заряджена, як це зазвичай є, і тому може випромінювати випромінювання, оскільки в квантовій механіці числа послідовних дій\(I\) відрізняються цілими числами, а квант дії - енергія\(\hbar\), що випромінюється на квантову краплю в дії є\(\hbar \omega\). Це, звичайно, в класичній межі високих квантових чисел.)

Зверніть увагу,\(I\) що площа фазового простору, укладена інтегралом,

\ begin {рівняння} I =\ розрив {1} {2\ pi}\ точка p d q=\ iint\ frac {d p d q} {2\ pi}\ кінець {рівняння}

Для ШО легко перевірити з області еліпса, що\(I=E / \omega\)

Візьміть

\ begin {рівняння} H= (1/2 м)\ лівий (p^ {2} +м\ омега^ {2} q^ {2}\ праворуч)\ end {рівняння}

Еліптична орбіта фазового простору має півосі з довжинами\(\sqrt{2 m E}, \quad \sqrt{2 E / m \omega^{2}}\), тому область закрита є\(\pi a b=2 \pi E / \omega\).

Суть полягає в тому, що, коли ми поступово змінюємо силу пружини (або, якщо на те пішло, масу) генератора (не обов'язково гармоніки), енергія змінюється пропорційно частоті.