Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

11.5: Якобіан для еволюції часу

  • Page ID
    75328
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Як ми встановили, розвиток часу еквівалентний канонічному перетворенню координат,

    \ почати {рівняння}
    \ ліворуч (p_ {t}, q_ {t}\ праворуч)\ стрілка вправо\ ліворуч (p_ {t+\ tau}, q_ {t+\ tau}\ право)\ equiv (P, Q)
    \ кінець {рівняння}

    Оскільки ми вже знаємо, що кількість точок всередині замкнутого об'єму є постійною за часом, теорема Ліувіля доведена, якщо ми можемо показати, що об'єм, укладений замкнутою поверхнею, є постійним, тобто з\ (\ begin {рівняння}
    V^ {\ prime}
    \ end {рівняння}\)

    позначаючи обсяг V еволюціонує стати, ми повинні довести

    \ почати {рівняння}
    \ int_ {V^ {\ прайм}} d Q_ {1}\ ldots d Q_ {s} d P_ {1}\ ldots d P_ {s} =\ int_ {V} d q_ {1}\ ldots d q_ {s} d p_ {1}\ ldots d p_ {s}?
    \ end {рівняння}

    Якщо ви знайомі з якобійцями, ви знаєте, що (за визначенням)

    \ почати {рівняння}
    \ int d Q_ {1}\ ldots d Q_ {s} d P_ {1}\ ldots d P_ {s} =\ int D d q_ {1}\ ldots d q_ {s} d p_ {1}\ ldots d p_ {s}
    \ кінець {рівняння}

    де Якобійський

    \ почати {рівняння}
    D =\ розрив {\ частковий\ лівий (Q_ {1},\ ldots, Q_ {s}, P_ {1},\ ldots, P_ {s}\ праворуч)} {\ частковий\ лівий (q_ {1},\ ldots, q_ {s}, p_ {1},\ ldots, p_ {s}\ правий})
    \ кінець {рівняння}

    Тому теорема Ліувіля доведена, якщо ми можемо встановити, що D = 1. Якщо ви не знайомі з якобійцями, або вам потрібно нагадувати, прочитайте наступний розділ!