11.5: Якобіан для еволюції часу
- Page ID
- 75328
Як ми встановили, розвиток часу еквівалентний канонічному перетворенню координат,
\ почати {рівняння}
\ ліворуч (p_ {t}, q_ {t}\ праворуч)\ стрілка вправо\ ліворуч (p_ {t+\ tau}, q_ {t+\ tau}\ право)\ equiv (P, Q)
\ кінець {рівняння}
Оскільки ми вже знаємо, що кількість точок всередині замкнутого об'єму є постійною за часом, теорема Ліувіля доведена, якщо ми можемо показати, що об'єм, укладений замкнутою поверхнею, є постійним, тобто з\ (\ begin {рівняння}
V^ {\ prime}
\ end {рівняння}\)
позначаючи обсяг V еволюціонує стати, ми повинні довести
\ почати {рівняння}
\ int_ {V^ {\ прайм}} d Q_ {1}\ ldots d Q_ {s} d P_ {1}\ ldots d P_ {s} =\ int_ {V} d q_ {1}\ ldots d q_ {s} d p_ {1}\ ldots d p_ {s}?
\ end {рівняння}
Якщо ви знайомі з якобійцями, ви знаєте, що (за визначенням)
\ почати {рівняння}
\ int d Q_ {1}\ ldots d Q_ {s} d P_ {1}\ ldots d P_ {s} =\ int D d q_ {1}\ ldots d q_ {s} d p_ {1}\ ldots d p_ {s}
\ кінець {рівняння}
де Якобійський
\ почати {рівняння}
D =\ розрив {\ частковий\ лівий (Q_ {1},\ ldots, Q_ {s}, P_ {1},\ ldots, P_ {s}\ праворуч)} {\ частковий\ лівий (q_ {1},\ ldots, q_ {s}, p_ {1},\ ldots, p_ {s}\ правий})
\ кінець {рівняння}
Тому теорема Ліувіля доведена, якщо ми можемо встановити, що D = 1. Якщо ви не знайомі з якобійцями, або вам потрібно нагадувати, прочитайте наступний розділ!