Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

11.8: Простіше доказ теореми Ліувіля

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75304

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Наведений вище доказ Ландау надзвичайно елегантний: оскільки шляхи фазового простору не можуть перетинатися, точка всередині об'єму залишається всередині, незалежно від того, як контортує обсяг, і оскільки розвиток часу є канонічним перетворенням, загальний обсяг, що надається інтеграцією над елементами об'єму\(dqdp\), залишається незмінним, оскільки це невід'ємна частина над відповідними елементами обсягу,\(dQdP\) і ми тільки що показали, що\(dQdP=dqdp\).

    clipboard_e0d408d29a6e1228e848df380fb9ee914.png

    Тут ми розглянемо дещо іншу точку зору: ми розглянемо невеликий квадрат у фазовому просторі і відстежимо, як рухаються його краї, щоб довести, що його обсяг не змінюється. (Ми будемо дотримуватися одного виміру, але узагальнення є простим.)

    Точки тут представляють собою «газ» багатьох систем у двовимірному\((q,p)\) фазовому просторі, і з невеликою квадратною площею,\(\Delta q, \Delta p\) позначеною тим, що всі системи на своїй межі представлені крапками іншого кольору. Що таке поступове зміна площі цього спочатку квадратного фрагмента фазового простору в часі\(dt\)?

    Почніть з верхнього краю: всі частинки рухаються зі швидкостями,\((\dot{q}, \dot{p})\) але, звичайно, єдина зміна площі походить від\(\dot{p}\) терміна, це зовнішній рух кордону, тому зміна площі\(dt\) від руху цієї межі буде\(\dot{p} \Delta q d t\). Тим часом, буде подібний термін від нижнього краю, а чистий внесок, верхній плюс нижні краї, буде залежати\(\dot{p}\) від зміни знизу вгору, тобто від зміни чистої площі від руху цих країв\((\partial \dot{p} / \partial p) \Delta p \Delta q d t\).

    Додавання в інших двох ребрах (сторонам), з точно подібним аргументом, загальна зміна площі дорівнює

    (\ часткова\ точка {p}/\ часткова p+\ часткова\ точка {q}/\ часткова q)\ Дельта р\ Дельта q d t

    Але з рівнянь Гамільтона\(\dot{p}=\partial H / \partial q, \quad \dot{q}=-\partial H / \partial p, \text { so }\)

    \(\partial \dot{p} / \partial p=\partial^{2} H / \partial p \partial q, \quad \partial \dot{q} / \partial q=-\partial^{2} H / \partial p \partial q\)

    і тому

    \(\partial \dot{p} / \partial p+\partial \dot{q} / \partial q=0\)

    встановлення того, що загальна додаткова зміна площі при спотворенні квадрата дорівнює нулю.

    Напрошується висновок, що потік газу систем у фазовому просторі схожий на нестисливу рідину, але з однією важливою кваліфікацією: щільність може змінюватися в залежності від положення! Це просто не змінюється по динамічному шляху.