Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

11.6: Якобійці 101

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75305

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Припустимо, ми інтегруємо функцію над деякою областю звичайного тривимірного простору,

    \[I=\int_{V} f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) d x_{1} d x_{2} d x_{3}\]

    але ми хочемо змінити змінні інтеграції на інший набір координат,\(\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)\) таких як, наприклад,\(\begin{equation}(r, \theta, \phi)\end{equation}\). Нові координати, звичайно, є функціями початкових\ (\ begin {рівняння} q_ {1}\ left (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}\ right)
    \ end {рівняння}\) тощо, і ми припускаємо, що в області інтеграції вони є гладкими, добре поводеними функціями. Ми не можемо просто повторно висловити f з точки зору нових змінних, і замінити диференціал гучності,\(\begin{equation}d x_{1} d x_{2} d x_{3} \text { by } d q_{1} d q_{2} d q_{3}\end{equation}\) який дає неправильну відповідь - в площині, ви не можете замінити\(dxdy\) з\(drd\theta\), ви повинні використовувати\(r\,dr\,d\theta\). Цей додатковий фактор\(r\) називається якобійським, зрозуміло, що в площині маленький елемент зі сторонами фіксованої довжини\(\begin{equation}(\delta r, \delta \theta)\end{equation}\) більше, чим далі він від початку, не всі\(\begin{equation}\delta r \delta \theta\end{equation}\) елементи рівні, так би мовити. Наше завдання полягає в тому, щоб побудувати якобіан для загальної зміни координат.

    Потрібно ретельно продумати обсяги в тривимірному просторі,\(d x_{1} d x_{2} d x_{3}\) представленому і\(d q_{1} d q_{2} d q_{3}\). Звичайно,\(x_{i}\) це просто звичайні перпендикулярні декартові осі, тому обсяг є лише добутком трьох сторін маленької коробки,\(d x_{1} d x_{2} d x_{3}\) .Уявіть собі цю маленьку коробку, її кут найближче до початку\(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\) і його найдальша точка на іншому кінці діагоналі тіла в\(\left(x_{1}+d x_{1}, x_{2}+d x_{2}, x_{3}+d x_{3}\right)\) Давайте візьміть ці дві точки в координатах ци, щоб бути в\(\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right) \text { and }\left(q_{1}+d q_{1}, q_{2}+d q_{2}, q_{3}+d q_{3}\right)\). Візуалізуючи це, майте на увазі, що осі q не повинні бути перпендикулярні один одному (але всі вони не можуть лежати в площині, що не було б добре себе вести).

    Для інтеграції\(x\) координат ми уявляємо, що заповнюємо простір маленькими кубічними коробками. Для\(q\) інтеграції ми маємо систему заповнення простору нескінченно малими паралелепіпедами, загалом вказуючи по-різному в різних регіонах (подумайте\((r, \theta)\). Що нам потрібно знайти, це об'єм інкрементного паралелепіпеда зі сторонами, які ми запишемо як вектори в x -координатах,\(d \vec{q}_{1}, d \vec{q}_{2}, d \vec{q}_{3}\). Ці три інкрементні вектори знаходяться уздовж відповідних осей\(q\) координат, а три, додані разом, є зміщенням від\(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \text { to }\)

    \[\left(x_{1}+d x_{1}, x_{2}+d x_{2}, x_{3}+d x_{3}\right) \equiv\left(q_{1}+d q_{1}, q_{2}+d q_{2}, q_{3}+d q_{3}\right)\]

    Отже, в компонентах,

    \[d \vec{q}_{1}=\left(\dfrac{\partial q_{1}}{\partial x_{1}} d x_{1}, \dfrac{\partial q_{1}}{\partial x_{2}} d x_{2}, \dfrac{\partial q_{1}}{\partial x_{3}} d x_{3}\right)\]

    Тепер обсяг паралелепіпеда зі сторонами три вектори від початкової\(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \text { is } \vec{a} \cdot \vec{b} \times \vec{c} \text { (recall }|\vec{b} \times \vec{c}| \text { is the }\) площі паралелограма, потім точковий добуток виділяє складову\(\vec{a}\) перпендикуляра до площини\(\vec{b}, \vec{c}\)).

    clipboard_eae151e425c27dec60d0137b4563b1332.png

    Отже, обсяг, відповідний приросту\(d q_{1}, d q_{2}, d q_{3}\) в\(q\) просторі, дорівнює

    \ [d\ vec {q} _ {1}\ cdot d\ vec {q} _ {2}\ раз d\ vec {q} _ {3} =\ ліворуч |\ почати {масив} {lll}
    \ dfrac {\ частковий q_ {1}} {\ частковий x_ {1}} &\ dfrac {\ частковий q_ {1}}} &\ dfrac {\ часткове q_ {1}} {\ часткове x_ {3}}\
    \ dfrac {\ часткове q_ {2}} {\ часткове x_ {1}} &\ dfrac {\ часткове q_ {2}} {\ частковий x_ {2}} &\ dfrac {\ частковий q_ {2}} {\ частковий x_ {3}}
    \\ dfrac {\ частковий q_ {3}} {\ частковий x_ {1}} &\ dfrac {\ частковий q_ {3}} {\ частковий x_ {2}} &\ dfrac {\ частковий q_ {3}} x_ {3}}
    \ кінець {масив}\ право| d x_ {1} d x_ {2} d x_ {3} =\ ім'я оператора {Ddx} _ {1} d x_ {2} d x_ {3}\]

    писемність\(D\) (позначення Ландау) для детермінанта, який насправді є якобійським, часто позначається\(J\).

    Стандартними позначеннями для цього детермінантного якобійського є

    \[D=\dfrac{\partial\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)}{\partial\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)}\]

    Отже, відповідна заміна для тривимірного елемента приросту об'єму, представленого в інтегралі,\(d q_{1} d q_{2} d q_{3}\) є

    \[d q_{1} d q_{2} d q_{3} \rightarrow \dfrac{\partial\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)}{\partial\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)} d x_{1} d x_{2} d x_{3}\]

    Обернене

    \[D^{-1}=\dfrac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)}{\partial\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)}\]

    легко встановлюється за допомогою правила ланцюга для диференціації.

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    перевірити це!

    Таким чином, зміна змінних в інтегралі здійснюється шляхом перезапису integrand в нових змінних і заміни

    \[I=\int_{V} f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) d x_{1} d x_{2} d x_{3}=\int_{V} f\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right) \dfrac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)}{\partial\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)} d q_{1} d q_{2} d q_{3}\]

    Аргумент у вищих розмірах точно такий же: при переході до розмірності\(n + 1\) гіпероб'ємний елемент дорівнює елементу\(n\) розмірного, помноженому на складову нового вектора перпендикулярно\(n\) розмірному елементу. Детермінантна форма робить це автоматично, оскільки визначник з двома однаковими рядками дорівнює нулю, тому в додаванні нового вектора сприяє лише компонент, перпендикулярний всім попереднім векторам.

    Ми бачили, що правило ланцюга для диференціації дає зворотне, як тільки якобійський з чисельником і знаменником зворотним, воно також легко дає

    \[\dfrac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)}{\partial\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)} \cdot \dfrac{\partial\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)}{\partial\left(r_{1}, r_{2}, r_{3}\right)}=\dfrac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)}{\partial\left(r_{1}, r_{2}, r_{3}\right)}\]

    і це тривіально поширюється на n розмірів.

    Це також очевидна форма детермінантної форми якобійців, що

    \[\dfrac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)}{\partial\left(q_{1}, q_{2}, x_{3}\right)}=\dfrac{\partial\left(x_{1}, x_{2}\right)}{\partial\left(q_{1}, q_{2}\right)}\]

    однакові змінні в чисельнику і знаменнику можуть бути скасовані. Знову ж таки, це легко поширюється на\(n\) розміри.