11.7: Якобійський доказ теореми Ліувіля

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75312

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Після цього досить тривалого обходу в якобійську теорію, нагадаємо, ми намагаємося встановити, що обсяг області у фазовому просторі не впливає канонічне перетворення, нам потрібно довести, що

\[\int d Q_{1} \ldots d Q_{s} d P_{1} \ldots d P_{s}=\int d q_{1} \ldots d q_{s} d p_{1} \ldots d p_{s}\]

і це означає, що нам потрібно показати, що якобійський

\[D=\frac{\partial\left(Q_{1}, \ldots, Q_{s}, P_{1}, \ldots, P_{s}\right)}{\partial\left(q_{1}, \ldots, q_{s}, p_{1}, \ldots, p_{s}\right)}=1\]

Використовуючи наведені вище теореми про зворотний якобійський і ланцюговий добуток правила,

\[D=\frac{\partial\left(Q_{1}, \ldots, Q_{s}, P_{1}, \ldots, P_{s}\right)}{\partial\left(q_{1}, \ldots, q_{s}, P_{1}, \ldots, P_{s}\right)} / \frac{\partial\left(q_{1}, \ldots, q_{s}, p_{1}, \ldots, p_{s}\right)}{\partial\left(q_{1}, \ldots, q_{s}, P_{1}, \ldots, P_{s}\right)}\]

Тепер викликаючи правило, що якщо однакові змінні з'являються як в чисельнику, так і в знаменнику, вони можуть бути скасовані,

\[D=\left\{\frac{\partial\left(Q_{1}, \ldots, Q_{s}\right)}{\partial\left(q_{1}, \ldots, q_{s}\right)}\right\}_{P=\text { constant }} /\left\{\frac{\partial\left(p_{1}, \ldots, p_{s}\right)}{\partial\left(P_{1}, \ldots, P_{s}\right)}\right\}_{q=\text { constant }}\]

До цього моменту рівняння дійсні для будь-якого несингулярного перетворення, але для того, щоб довести чисельник і знаменник рівні в цьому виразі, потрібно, щоб рівняння було канонічним, тобто задано генеруючою функцією, як пояснювалося раніше.

Згадаймо тепер властивості генеруючої функції.\(\Phi(q, P, t)\)

\[d \Phi(q, P, t)=d\left(F+\sum P_{i} Q_{i}\right)=\sum p_{i} d q_{i}+\sum Q_{i} d P_{i}+\left(H^{\prime}-H\right) d t\]

з якого

\[p_{i}=\partial \Phi(q, P, t) / \partial q_{i}, \quad Q_{i}=\partial \Phi(q, P, t) / \partial P_{i}, \quad H^{\prime}=H+\partial \Phi(q, P, t) / \partial t\]

У виразі для якобіян\(D\)\(i\),,\(k\) елемент чисельника є\(\partial Q_{i} / \partial q_{k}\).

З точки зору генеруючої функції\(\Phi(q, P) \text { this element is } \partial^{2} \Phi / \partial q_{k} \partial P_{i}\).

Точно така ж процедура для знаменника дає\(i\),\(k\) елемент бути\(\partial P_{i} / \partial p_{k}=\partial^{2} \Phi / \partial q_{i} \partial P_{k}\)

Іншими словами, два детермінанти однакові (рядки та стовпці перемикаються, але це не впливає на значення визначника). Це означає D = 1, і теорема Ліувіля доведена.