3.3: Принцип Ферма

Тепер ми тимчасово забудемо про хвильову природу світла, і розглянемо вузький промінь або промінь світла, що сяє з точки А в точку Б, де ми вважаємо, що А знаходиться в повітрі, В у склі. Ферма показав, що шлях такого променя задається принципом найменшого часу: промінь світла, що йде від А до Б будь-яким іншим шляхом, займе більше часу. Як ми можемо це бачити? Очевидно, що будь-яке відхилення від прямої лінії шляху в повітрі або в склі додасть до часу, прийнятого, але як щодо переміщення трохи точки, в якій промінь потрапляє в скло?

Там, де повітря зустрічається зі склом, два промені, розділені невеликою відстанню CD = d уздовж цього інтерфейсу, будуть виглядати паралельно:

(Фейнман дає приємну ілюстрацію: рятувальник на пляжі помічає плавця в біді на деякій відстані, в діагональному напрямку. Він може бігати в три рази швидше, ніж вміє плавати. Який найшвидший шлях до плавця?)

Переміщаючи точку входу вгору на невелику відстань$d$, світло повинен проїхати зайве$d \sin \theta_{1}$ в повітрі, але відстань менше$d \sin \theta_{2}$ в склі, даючи додатковий час у дорозі$\Delta t=d \sin \theta_{1} / c-d \sin \theta_{2} / v$. Для класичного шляху Закон Снелла дає$\sin \theta_{1} / \sin \theta_{2}=n=c / v, \text { so } \Delta t=0$ перший порядок. Але якщо ми подивимося на ряд можливих шляхів, кожен на невеликій$d$ відстані від наступного в точці перетину з повітря в скло,$\Delta t \text { becomes of order } d / c$ подалі від класичної стежки.

Але тепер давайте уважніше розглянемо картину поширення світла Гюйгенса: це припускає, що світло, що досягає точки, насправді походить від багатьох хвилетів, що генеруються в різних точках попереднього хвильового фронту. Ручне узагальнення може полягати в тому, що світло, що досягає точки з іншої точки, насправді включає кілька шляхів. Щоб зберегти речі керованими, давайте припустимо, що світло від A до B насправді йде по всіх шляхах, які є прямими в кожному середовищі, але різною точкою перетину. Крім того, ми зробимо наближення, що всі вони досягають B з однаковою амплітудою. Яким буде загальний внесок усіх шляхів у B? Оскільки часи уздовж шляхів різні, сигнали по різних шляхах надходитимуть до B з різними фазами, і щоб отримати загальну амплітуду хвилі, ми повинні додати серію векторів 2 D, по одному з кожного шляху. (Представляючи амплітуду і фазу хвилі комплексним числом для зручності — для реальної хвилі ми можемо взяти дійсну частину в кінці.)

Коли ми намічаємо ці одиниці 2 D вектори, ми виявляємо, що в околицях класичного шляху фаза змінюється мало, але коли ми йдемо від неї, фазові спіралі все швидше і швидше, тому ці шляхи заважають між собою руйнівно. Щоб сформулювати це трохи точніше, припустимо, що якийсь близький шлях має різницю$\varphi$ фаз від найменшого часового шляху, і йде від повітря до скла на відстань$x$ від найменшого часового шляху: тоді для них близькі шляхи$\varphi=a x^{2}$, де a залежить від геометричного розташування і довжина хвилі. З цього сума над близькими шляхами є інтегралом форми$\int e^{i a x^{2}} d x$ (Ми припускаємо, що довжина хвилі світла набагато менше, ніж розмір обладнання.) Це стандартний інтеграл, його величина$\sqrt{\pi / i a}$ вся його вага зосереджена в центральній області ширини$1 / \sqrt{a}, \text { exactly as for the real function } e^{-a x^{2}}$.

Це пояснення принципу Ферма - лише біля шляху найменшого часу шляхи залишаються приблизно у фазі один з одним і конструктивно додають. Отже, це класичне правило шляху має основне пояснення хвильової фази. Насправді центральну роль фази в цьому аналізі іноді підкреслюють, кажучи, що світловий промінь слідує шляхом стаціонарної фази.

Звичайно, ми не підсумовуємо всі шляхи тут - ми припускаємо, що шлях у повітрі від джерела до точки входу в скло є прямою лінією, чітко підстежкою стаціонарної фази.