1.1: Відображення та заломлення

Відбиття світла від гладкої блискучої поверхні називається дзеркальним відображенням. (Латинське дзеркало дзеркало.) На іншій крайності ми маємо свого роду дифузне розсіювання, яке відбувається, коли ви світите світло на промокальний папір. І є багато ситуацій між цими крайнощами. У цьому розділі я збираюся займатися виключно дзеркальним відображенням, закон дзеркального відображення полягає в тому, що кут відбиття дорівнює куту падіння.

Коли світло переходить від одного середовища до іншого, кути падіння і заломлення, а два показники заломлення пов'язані знайомим законом Снелла,

\[n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2.\]

У цьому розділі ми розглянемо закони відображення та заломлення з точки зору принципу найменшої дії Ферма та закону заломлення Снелла з точки зору побудови Гюйгенса. Почнемо з закону відбиття (кут відбиття дорівнює куту падіння).

Світло йде від А до Б через відображення від точки Р на дзеркалі.

\(s\)Пройдена відстань задається

\[s = \sqrt{a^2 +x^2} + \sqrt{a^2 + (b-x)^2}. \]

Ось графік\(s\) проти\(x\) (тобто\(s\) як функція положення точки Р, від якої відбивається світло). Малюнок вище намальований для\(a = \frac{1}{2}b \), і, на графіку нижче,\(s\) і\(x\) знаходяться в одиницях b.

З графіка, або шляхом диференціації\(s\) щодо\(x\) (зробіть це!) , видно, що довжина шляху найменша\(x = \dfrac{1}{2} b\), коли, тобто коли кут відбиття дорівнює куту падіння.

З усіх можливих шляхів, на які можливо може піти світло, шлях, який він насправді проходить, - це той, який має найкоротший шлях.

Тепер давайте подивимося на заломлення на інтерфейсі.

На малюнку світло рухається від А до В, спочатку в середовищі показника заломлення\(n_1\) (швидкість =\(v_1\)), а потім у середовищі показника заломлення\(n_2\) (швидкість =\(v_2\)) через точку P.

Час, необхідний для того, щоб дістатися від А до Б, становить

\[t = \dfrac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1}+ \dfrac{\sqrt{b^2 +(l-x)^2}}{v_2}\]

З огляду на\( v_2 = c / n_2\), що\(v_1 = c / n_1\) і, це можна написати

\[ct = n_1\sqrt{a^2 + x^2} + n_2 \sqrt{b^2 + (l-x)^2}.\]

Якщо ми змінюємо позицію P, час, прийнятий, змінюється як

\[c \dfrac{dt}{dx} = \dfrac{n_1x}{\sqrt{a^2 + x^2}}-\dfrac{n_2(l-x)}{\sqrt{b^2+(l-x)}^2} = n_1 \sin\theta_1 - n_2 \sin \theta_2.\]

Фактично взятий маршрут такий, що при будь-якому невеликому відхиленні\(dx\) від фактично прийнятого маршруту відповідна варіація\(dt\) прийнятого часу дорівнює нулю. Тобто похідна дорівнює нулю, або\(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\).

В обох випадках відображення і заломлення, зроблений маршрут такий, що час, який витрачається, є найменшим. Це приклад принципу найменшої дії Ферма. Я не впевнений, що це пояснення того, чому рефлексія та заломлення відбуваються так само, як і цікавий опис того, що відбувається в природі. Ще одним прикладом принципу, з класичної механіки, є варіаційний принцип Гамільтона. Дія, яку приймає механічна система, переходячи з одного стану в інший\( \int Ldt\), є, де\(L\) знаходиться Лагранж в той час\(t\). Маршрут, який приймає будь-яка механічна система, переходячи з одного стану в інший, такий, що будь-яке невелике відхилення від цього маршруту не призводить до зміни дії (що зазвичай означає, що дія мінімальна). Знову ж таки, я не впевнений, що це пояснює, чому механічні системи поводяться так, як вони. Це більше корисний опис того, як розгортаються механічні події.

Тепер давайте подивимося на будівництво Гюйгенса. Уявіть, що ви стежте за прогресом хвильового фронту, і ви можете побачити хвилевий фронт в якийсь момент часу, і що ви хочете знати, що буде далі. Конструкція Гюйгенса передбачає, що будь-яка точка хвильового фронту може розглядатися як точкове джерело для нового порушення.

Наприклад, на малюнку нижче ми маємо хвильовий фронт, що рухається зверху вниз.

Тепер ми припускаємо, що кожна точка на хвильовому фронті є точковим джерелом для нового порушення:

Дотичною до цих маленьких хвилетів є новий хвильовий фронт:

Тепер давайте подивимося на заломлення на інтерфейсі між двома носіями.

Вертикальні пунктирні лінії в A, B, C представляють хвильові фронти, розділені довжиною хвилі\(\lambda_1\). Кут падіння дорівнює\( \theta_1\). У якийсь момент часу нижній промінь досягає точки Р, і він починає генерувати новий вейвлет. У той час\(P\), де\(P\) знаходиться період електромагнітних коливань, верхній промінь досяг точки Q, де CQ =, тоді як вейвлет\( \lambda_1\), що генерується на P, досяг радіуса\( \lambda 2\). Ось\(\lambda_1\lambda_2 = v_1/v_2 = n_2/n_1\).

Новий вейвлет, згенерований на Q, ще не почався, або, принаймні, тільки збирається почати. Новий хвильовий фронт будується шляхом малювання тангенса від Q до вейвлету, створеного на P. З геометрії креслення ми бачимо, що

\(\dfrac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2}=\dfrac{\lambda_1 \text{/PQ}}{\lambda_2 \text{/PQ}}=\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}=\dfrac{n_1}{n_2},\)

і тому Закон Снелла походить від будівництва Гюйгенса. Я залишаю читачеві вирішити, чи пояснює це, що відбувається, чи просто описує те, що відбувається. Можливо, в науці ми ніколи не «пояснюємо» природу - просто «описуємо» її.