13.1: Варіаційний принцип
Припустимо, що ми хочемо розв'язати незалежне від часу рівняння Шредінгера,Hψ=Eψ, деH відомий (імовірно складний) незалежний від часу гамільтоніан. ψДозволяти бути правильно нормованим пробним рішенням попереднього рівняння. Варіаційний принцип стверджує, досить просто, що енергія наземного стануE0, завжди менше або дорівнює очікуваному значеннюH обчисленої за допомогою пробної хвильової функції: тобто,
E0≤⟨ψ|H|ψ⟩.Таким чином, змінюючиψ до мінімумуH очікуване значення, ми можемо отримати наближення до хвильової функції та енергії наземного стану.
Доведемо варіаційний принцип. Припустимо, щоψn іEn є істинними власними станами і власними значеннямиH: тобто,
Крім того, нехай
E0<E1<E2<⋯,так щоψ0 це наземний стан,ψ1 перший збуджений стан, і так далі. ψnПриймаються на ортонормальні: тобто,
⟨ψn|ψm⟩=δnm.Якщо наша пробнаψ хвильова функція правильно нормалізована, то ми можемо написатиψ=∑ncnψn,, де
∑n|cn|2=1.Тепер, очікуване значенняH, обчислюється зψ, набуває вигляду
⟨ψ|H|ψ⟩=⟨∑ncnψn|H|∑mcmψm⟩=∑n,mc∗ncm⟨ψn|H|ψm⟩=∑nc∗ncmEm⟨ψn|ψm⟩=∑nEn|cn|2,
де було використано Рівняння\ ref {e14.3} і\ ref {e14.5}. Отже, ми можемо написати
⟨ψ|H|ψ⟩=|c0|2E0+∑n>0|cn|2En.
Однак рівняння\ ref {e14.7} можна переставити, щоб дати
|c0|2=1−∑n>0|cn|2.
Поєднавши попередні два рівняння, отримаємо
⟨ψ|H|ψ⟩=E0+∑n>0|cn|2(En−E0).
Другий член у правій частині попереднього виразу є додатним певним, тому щоEn−E0>0 для всіхn>0 (Equation\ ref {e14.4}). Значить, отримуємо бажаний результат.
⟨ψ|H|ψ⟩≥E0.
Схвильовані держави
Припустимо, що ми знайшли хороше наближення˜ψ0, до хвильової функції заземлення. Якщоψ це нормалізована пробна хвильова функція, яка ортогональна˜ψ0 (тобто⟨ψ|˜ψ0⟩=0), то, повторюючи попередній аналіз, ми можемо легко продемонструвати, що
⟨ψ|H|ψ⟩≥E1.
Таким чином, змінюючиψ до мінімумуH очікуване значення, ми можемо отримати наближення до хвильової функції та енергії першого збудженого стану. Очевидно, що ми можемо продовжувати цей процес, поки не матимемо наближення до всіх стаціонарних власних станів. Зверніть увагу, однак, що помилки чітко кумулятивні в цьому методі, так що будь-які наближення до сильно збуджених станів навряд чи будуть дуже точними. З цієї причини варіаційний метод, як правило, використовується лише для обчислення основного стану та перших кількох збуджених станів складних квантових систем.