9.4: Представництво Паулі
Позначимо два незалежних спінових власних стани електрона як
χ±≡χ1/2,±1/2.Таким чином, з Рівняння ([e10.16]) і ([e10.17]) випливає, щоSzχ±=±12ℏχ±,S2χ±=34ℏ2χ±. Примітка, щоχ+ відповідає електрону, вектор кутового імпульсу якого має позитивну складову вздовжz -осі. Вільно кажучи, ми могли б сказати, що спіновий вектор вказує на+z -direction (або його спин «вгору»). Так самоχ− відповідає електрон, спин якого вказує в−z -напрямку (або спин якого «вниз»). Ці два власні стани задовольняють вимогам ортонормальності
χ†+χ−=0.Загальний спіновий стан можна представити як лінійну комбінаціюχ+ іχ−: тобто, Таким чиномχ=c+χ++c−χ−. видно, що електронний спіновий простір є двовимірним.
До теперішнього часу ми обговорювали спіновий простір досить абстрактними термінами. Далі ми опишемо конкретне зображення електронного спінового простору, обумовленого Паулі. Це так зване уявлення Паулі дозволяє нам візуалізувати спіновий простір, а також полегшує обчислення за участю спина.
Спробуємо представити загальний спіновий стан у вигляді складного вектора стовпця в якомусьχ≡(c+c−). двовимірному просторі: тобто відповідний подвійний вектор представлений у вигляді рядового вектора: тобто,χ†≡(c∗+,c∗−). Крім того, добутокχ†χ виходить за звичайними правилами матриці множення: тобто,χ†χ=(c∗+,c∗−)(c+c−)=c∗+c++c∗−c−=|c+|2+|c−|2≥0. Аналогічно, добуток двох різних спіновихχ†χ′ станів також отримується з правил множення матриці: тобтоχ†χ′=(c∗+,c∗−)(c′+c′−)=c∗+c′++c∗−c′−. Зверніть увагу, що це конкретне уявлення спінового простору знаходиться в повній відповідності з обговоренням у розділі 1.3. Зі зрозумілих причин вектор, який використовується для представлення стану спіна, зазвичай відомий як спінор.
Загальний спіновий операторA представлений у вигляді2×2 матриці, яка працює на спінорі: тобто,Aχ≡(A11,A12A21,A22)(c+c−). як легко демонструється, гермітієвий кон'югатA представлений транспонованим комплексним сполученим матрицею, що використовується для представленняA: тобтоA†≡(A∗11,A∗21A∗12,A∗22).
Уявімо спінові власніχ+ стани іχ− якχ+≡(10), іχ−≡(01), відповідно. Зверніть увагу, що ці форми автоматично задовольняють обмеженням ортонормальності ([e10.35]) і ([e10.36]). Зручно записувати оператори віджимуSi (деi=1,2,3 відповідаєx,y,z) як
Si=ℏ2σi.Тутσi є безрозмірні2×2 матриці. Відповідно до рівнянь ([e10.1x]) — ([e10.2x]),σi задовольнити комутаційні відносини=2iσz,[σy,σz]=2iσx,[σz,σx]=2iσy. Крім того, рівняння ([e10.34]) даєσzχ±=±χ±. Це легко продемонструвати, з попередніх виразів, щоσi вони представлені наступні матриці:σx≡(0,11,0),σy≡(0,−ii,0),σz≡(1,00,−1). До речі, ці матриці, як правило, відомі як матриці Паулі.
Нарешті, загальний спінор набуває виглядуχ=c+χ++c−χ−=(c+c−). Якщо спінор належним чином нормалізований, тоχ†χ=|c+|2+|c−|2=1. У цьому випадку ми можемо інтерпретувати|c+|2 як ймовірність того, що спостереженняSz дасть результат+ℏ/2, і|c−|2 як ймовірність того, що спостереження заSz волевиявлення дають результат−ℏ/2.