9.4: Представництво Паулі
- Page ID
- 76878
Позначимо два незалежних спінових власних стани електрона як
\[\chi_\pm \equiv \chi_{1/2,\pm 1/2}.\]Таким чином, з Рівняння ([e10.16]) і ([e10.17]) випливає, що\[\begin{aligned} S_z\,\chi_\pm &= \pm \frac{1}{2}\,\hbar\,\chi_\pm,\label{e10.34}\\[0.5ex] S^2\,\chi_\pm &= \frac{3}{4}\,\hbar^{\,2}\,\chi_\pm.\end{aligned}\] Примітка, що\(\chi_+\) відповідає електрону, вектор кутового імпульсу якого має позитивну складову вздовж\(z\) -осі. Вільно кажучи, ми могли б сказати, що спіновий вектор вказує на\(+z\) -direction (або його спин «вгору»). Так само\(\chi_-\) відповідає електрон, спин якого вказує в\(-z\) -напрямку (або спин якого «вниз»). Ці два власні стани задовольняють вимогам ортонормальності
\[\label{e10.35} \chi_+^\dagger\,\chi_+ = \chi_-^\dagger\,\chi_- = 1,\]і
\[\label{e10.36} \chi_+^\dagger\,\chi_- = 0.\]Загальний спіновий стан можна представити як лінійну комбінацію\(\chi_+\) і\(\chi_-\): тобто, Таким чином\[\chi = c_+\,\chi_+ + c_-\,\chi_-.\] видно, що електронний спіновий простір є двовимірним.
До теперішнього часу ми обговорювали спіновий простір досить абстрактними термінами. Далі ми опишемо конкретне зображення електронного спінового простору, обумовленого Паулі. Це так зване уявлення Паулі дозволяє нам візуалізувати спіновий простір, а також полегшує обчислення за участю спина.
Спробуємо представити загальний спіновий стан у вигляді складного вектора стовпця в якомусь\[\chi \equiv \left(\begin{array}{c}c_+\\c_-\end{array}\right).\] двовимірному просторі: тобто відповідний подвійний вектор представлений у вигляді рядового вектора: тобто,\[\chi^\dagger\equiv (c_+^\ast, c_-^\ast).\] Крім того, добуток\(\chi^\dagger\,\chi\) виходить за звичайними правилами матриці множення: тобто,\[\chi^\dagger\,\chi = (c_+^\ast, c_-^\ast)\left(\begin{array}{c}c_+\\c_-\end{array}\right) = c_+^\ast\,c_+ + c_-^\ast\,c_- = |c_+|^{\,2} + |c_-|^{\,2}\geq 0.\] Аналогічно, добуток двох різних спінових\(\chi^\dagger\,\chi'\) станів також отримується з правил множення матриці: тобто\[\chi^\dagger\,\chi' = (c_+^\ast, c_-^\ast)\left(\begin{array}{c}c_+'\\c_-'\end{array}\right) = c_+^\ast\,c_+' + c_-^\ast\,c_-'.\] Зверніть увагу, що це конкретне уявлення спінового простору знаходиться в повній відповідності з обговоренням у розділі 1.3. Зі зрозумілих причин вектор, який використовується для представлення стану спіна, зазвичай відомий як спінор.
Загальний спіновий оператор\(A\) представлений у вигляді\(2\times 2\) матриці, яка працює на спінорі: тобто,\[A\,\chi \equiv \left(\begin{array}{cc}A_{11},& A_{12}\\ A_{21},& A_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}c_+\\c_-\end{array}\right).\] як легко демонструється, гермітієвий кон'югат\(A\) представлений транспонованим комплексним сполученим матрицею, що використовується для представлення\(A\): тобто\[A^\dagger \equiv \left(\begin{array}{cc}A_{11}^\ast,& A_{21}^\ast\\ A_{12}^\ast,& A_{22}^\ast\end{array}\right).\]
Уявімо спінові власні\(\chi_+\) стани і\(\chi_-\) як\[\chi_+ \equiv \left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\] і\[\chi_- \equiv \left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right),\] відповідно. Зверніть увагу, що ці форми автоматично задовольняють обмеженням ортонормальності ([e10.35]) і ([e10.36]). Зручно записувати оператори віджиму\(S_i\) (де\(i=1,2,3\) відповідає\(x,y,z\)) як
\[\label{e10.46} S_i = \frac{\hbar}{2}\,\sigma_i.\]Тут\(\sigma_i\) є безрозмірні\(2\times 2\) матриці. Відповідно до рівнянь ([e10.1x]) — ([e10.2x]),\(\sigma_i\) задовольнити комутаційні відносини\[\begin{aligned} [\sigma_x, \sigma_y]&= 2\,{\rm i}\,\sigma_z,\\[0.5ex] [\sigma_y, \sigma_z]&= 2\,{\rm i}\,\sigma_x,\\[0.5ex] [\sigma_z,\sigma_x]&= 2\,{\rm i}\,\sigma_y.\end{aligned}\] Крім того, рівняння ([e10.34]) дає\[\sigma_z\,\chi_\pm = \pm \chi_\pm.\] Це легко продемонструвати, з попередніх виразів, що\(\sigma_i\) вони представлені наступні матриці:\[\begin{aligned} \sigma_x&\equiv \left(\begin{array}{cc}0,&1\\ 1,& 0\end{array}\right),\\[0.5ex] \sigma_y&\equiv \left(\begin{array}{cc}0,&-{\rm i}\\ {\rm i},& 0\end{array}\right),\\[0.5ex] \sigma_z&\equiv \left(\begin{array}{cc}1,&0\\ 0,& -1\end{array}\right).\label{e10.53}\end{aligned}\] До речі, ці матриці, як правило, відомі як матриці Паулі.
Нарешті, загальний спінор набуває вигляду\[\chi = c_+\,\chi_++c_-\,\chi_- = \left(\begin{array}{c}c_+\\c_-\end{array}\right).\] Якщо спінор належним чином нормалізований, то\[\chi^\dagger\,\chi = |c_+|^{\,2} + |c_-|^{\,2} =1.\] У цьому випадку ми можемо інтерпретувати\(|c_+|^{\,2}\) як ймовірність того, що спостереження\(S_z\) дасть результат\(+\hbar/2\), і\(|c_-|^{\,2}\) як ймовірність того, що спостереження за\(S_z\) волевиявлення дають результат\(-\hbar/2\).