9.4: Представництво Паулі

Позначимо два незалежних спінових власних стани електрона як

$$\chi_\pm \equiv \chi_{1/2,\pm 1/2}.$$ Таким чином, з Рівняння ([e10.16]) і ([e10.17]) випливає, що $$\begin{aligned} S_z\,\chi_\pm &= \pm \frac{1}{2}\,\hbar\,\chi_\pm,\label{e10.34}\\[0.5ex] S^2\,\chi_\pm &= \frac{3}{4}\,\hbar^{\,2}\,\chi_\pm.\end{aligned}$$ Примітка, що$\chi_+$ відповідає електрону, вектор кутового імпульсу якого має позитивну складову вздовж$z$ -осі. Вільно кажучи, ми могли б сказати, що спіновий вектор вказує на$+z$ -direction (або його спин «вгору»). Так само$\chi_-$ відповідає електрон, спин якого вказує в$-z$ -напрямку (або спин якого «вниз»). Ці два власні стани задовольняють вимогам ортонормальності

$$\label{e10.35} \chi_+^\dagger\,\chi_+ = \chi_-^\dagger\,\chi_- = 1,$$ і

$$\label{e10.36} \chi_+^\dagger\,\chi_- = 0.$$ Загальний спіновий стан можна представити як лінійну комбінацію$\chi_+$ і$\chi_-$: тобто, Таким чином $$\chi = c_+\,\chi_+ + c_-\,\chi_-.$$ видно, що електронний спіновий простір є двовимірним.

До теперішнього часу ми обговорювали спіновий простір досить абстрактними термінами. Далі ми опишемо конкретне зображення електронного спінового простору, обумовленого Паулі. Це так зване уявлення Паулі дозволяє нам візуалізувати спіновий простір, а також полегшує обчислення за участю спина.

Спробуємо представити загальний спіновий стан у вигляді складного вектора стовпця в якомусь

$$\chi \equiv \left(\begin{array}{c}c_+\\c_-\end{array}\right).$$ двовимірному просторі: тобто відповідний подвійний вектор представлений у вигляді рядового вектора: тобто, $$\chi^\dagger\equiv (c_+^\ast, c_-^\ast).$$ Крім того, добуток$\chi^\dagger\,\chi$ виходить за звичайними правилами матриці множення: тобто, $$\chi^\dagger\,\chi = (c_+^\ast, c_-^\ast)\left(\begin{array}{c}c_+\\c_-\end{array}\right) = c_+^\ast\,c_+ + c_-^\ast\,c_- = |c_+|^{\,2} + |c_-|^{\,2}\geq 0.$$ Аналогічно, добуток двох різних спінових$\chi^\dagger\,\chi'$ станів також отримується з правил множення матриці: тобто $$\chi^\dagger\,\chi' = (c_+^\ast, c_-^\ast)\left(\begin{array}{c}c_+'\\c_-'\end{array}\right) = c_+^\ast\,c_+' + c_-^\ast\,c_-'.$$ Зверніть увагу, що це конкретне уявлення спінового простору знаходиться в повній відповідності з обговоренням у розділі 1.3. Зі зрозумілих причин вектор, який використовується для представлення стану спіна, зазвичай відомий як спінор.

Загальний спіновий оператор$A$ представлений у вигляді$2\times 2$ матриці, яка працює на спінорі: тобто,

$$A\,\chi \equiv \left(\begin{array}{cc}A_{11},& A_{12}\\ A_{21},& A_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}c_+\\c_-\end{array}\right).$$ як легко демонструється, гермітієвий кон'югат$A$ представлений транспонованим комплексним сполученим матрицею, що використовується для представлення$A$: тобто $$A^\dagger \equiv \left(\begin{array}{cc}A_{11}^\ast,& A_{21}^\ast\\ A_{12}^\ast,& A_{22}^\ast\end{array}\right).$$

Уявімо спінові власні$\chi_+$ стани і$\chi_-$ як

$$\chi_+ \equiv \left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),$$ і $$\chi_- \equiv \left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right),$$ відповідно. Зверніть увагу, що ці форми автоматично задовольняють обмеженням ортонормальності ([e10.35]) і ([e10.36]). Зручно записувати оператори віджиму$S_i$ (де$i=1,2,3$ відповідає$x,y,z$) як

$$\label{e10.46} S_i = \frac{\hbar}{2}\,\sigma_i.$$ Тут$\sigma_i$ є безрозмірні$2\times 2$ матриці. Відповідно до рівнянь ([e10.1x]) — ([e10.2x]),$\sigma_i$ задовольнити комутаційні відносини $$\begin{aligned} [\sigma_x, \sigma_y]&= 2\,{\rm i}\,\sigma_z,\\[0.5ex] [\sigma_y, \sigma_z]&= 2\,{\rm i}\,\sigma_x,\\[0.5ex] [\sigma_z,\sigma_x]&= 2\,{\rm i}\,\sigma_y.\end{aligned}$$ Крім того, рівняння ([e10.34]) дає $$\sigma_z\,\chi_\pm = \pm \chi_\pm.$$ Це легко продемонструвати, з попередніх виразів, що$\sigma_i$ вони представлені наступні матриці: $$\begin{aligned} \sigma_x&\equiv \left(\begin{array}{cc}0,&1\\ 1,& 0\end{array}\right),\\[0.5ex] \sigma_y&\equiv \left(\begin{array}{cc}0,&-{\rm i}\\ {\rm i},& 0\end{array}\right),\\[0.5ex] \sigma_z&\equiv \left(\begin{array}{cc}1,&0\\ 0,& -1\end{array}\right).\label{e10.53}\end{aligned}$$ До речі, ці матриці, як правило, відомі як матриці Паулі.

Нарешті, загальний спінор набуває вигляду

$$\chi = c_+\,\chi_++c_-\,\chi_- = \left(\begin{array}{c}c_+\\c_-\end{array}\right).$$ Якщо спінор належним чином нормалізований, то $$\chi^\dagger\,\chi = |c_+|^{\,2} + |c_-|^{\,2} =1.$$ У цьому випадку ми можемо інтерпретувати$|c_+|^{\,2}$ як ймовірність того, що спостереження$S_z$ дасть результат$+\hbar/2$, і$|c_-|^{\,2}$ як ймовірність того, що спостереження за$S_z$ волевиявлення дають результат$-\hbar/2$.

Дописувачі та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick