Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

9.2: Спін Простір

Тепер ми повинні обговорити хвильові функції, на які діють раніше введені спінові оператори. На відміну від звичайних хвильових функцій, спінові хвильові функції не існують в реальному просторі. Так само оператори спінового моменту не можуть бути представлені як диференціальні оператори в реальному просторі. Натомість нам потрібно думати про спінові хвильові функції як існуючі в абстрактному (складному) векторному просторі. Різні члени цього простору відповідають різним внутрішнім конфігураціям досліджуваної частинки. Відзначимо, що тільки напрямки наших векторів мають будь-яке фізичне значення (так само, як тільки форма правильної хвильової функції має будь-яке фізичне значення). Таким чином, якщо векторχ відповідає певному внутрішньому стану, тоcχ відповідає тому ж стану, деc знаходиться комплексне число. Тепер ми очікуємо, що внутрішні стани нашої частинки будуть суперпомітними, тому що суперпозиційність станів є одним з фундаментальних припущень квантової механіки. Звідси випливає, що вектори, що складають наш векторний простір, також повинні бути суперпомітними. Таким чином, якщоχ1 іχ2 є двома векторами, що відповідають двом різним внутрішнім станам, тоc1χ1+c2χ2 є ще одним вектором, відповідним стану, отриманому шляхом накладенняc1c2 часу стану 1 з часом стану 2 (деc1 іc2 є комплексними числами). Нарешті, розмірність нашого векторного простору - це просто кількість лінійно незалежних векторів, необхідних для його охоплення (тобто кількість лінійно незалежних внутрішніх станів досліджуваної частинки).

Тепер нам потрібно визначити довжину наших векторів. Ми можемо зробити це, ввівши другий, або подвійний, векторний простір, елементи якого перебувають у відповідності один до одного з елементами нашого першого простору. Нехай називається елемент другого простору, який відповідаєχ елементу першого просторуχ. Більш того, елемент другого простору, який відповідаєcχ єcχ. Припустимо, що можна комбінуватиχ іχ мультиплікативно генерувати дійсне позитивно-визначене число, яке ми будемо інтерпретувати як довжину, або норму, ofχ. Позначимо це числоχχ. Таким чином, у нас є χχ0для всіхχ. Будемо також вважати, що можна поєднувати несхожі стани аналогічним мультиплікативним способом для отримання комплексних чисел. Твір двох несхожих станівχ іχ позначаєтьсяχχ. Два стануχ іχ, як кажуть, взаємно ортогональні, або незалежні, якщоχχ=0.

Тепер, коли загальний спіновий операторA, працює на загальному спін-станіχ, він перетворює його в інший спін-стан, який ми будемо позначитиAχ. Дуал цього стану - це(Aχ)χA, деA знаходиться гермітієвий кон'югат зA (це визначення гермітієвого кон'югата в спіновому просторі). Власний стан,A що відповідає власному значенню,a задовольняєAχa=aχa. Як і раніше, якщоA відповідає фізичній змінній, то вимірюванняA призведе до одного з її власних значень. (Див. Розділ [smeas].) Для того щоб переконатися в тому, що ці власні значення всі реальні,A необхідно бути Ермітом: тобто,A=A. (Див. Розділ [seig].) Ми очікуємо, щоχa вони будуть взаємно ортогональними. Ми також можемо нормалізувати їх таким чином, щоб всі вони мали одиницю довжини. Іншими словами,χaχa=δaa. Нарешті, загальний стан спина може бути записаний як суперпозиція нормованих власних станівA: тобтоχ=acaχa. вимірюванняχ буде потім давати результатa з ймовірністю|ca|2.

Дописувачі та атрибуція

  • Was this article helpful?