9.2: Спін Простір
- Page ID
- 76879
Тепер ми повинні обговорити хвильові функції, на які діють раніше введені спінові оператори. На відміну від звичайних хвильових функцій, спінові хвильові функції не існують в реальному просторі. Так само оператори спінового моменту не можуть бути представлені як диференціальні оператори в реальному просторі. Натомість нам потрібно думати про спінові хвильові функції як існуючі в абстрактному (складному) векторному просторі. Різні члени цього простору відповідають різним внутрішнім конфігураціям досліджуваної частинки. Відзначимо, що тільки напрямки наших векторів мають будь-яке фізичне значення (так само, як тільки форма правильної хвильової функції має будь-яке фізичне значення). Таким чином, якщо вектор\(\chi\) відповідає певному внутрішньому стану, то\(c\,\chi\) відповідає тому ж стану, де\(c\) знаходиться комплексне число. Тепер ми очікуємо, що внутрішні стани нашої частинки будуть суперпомітними, тому що суперпозиційність станів є одним з фундаментальних припущень квантової механіки. Звідси випливає, що вектори, що складають наш векторний простір, також повинні бути суперпомітними. Таким чином, якщо\(\chi_1\) і\(\chi_2\) є двома векторами, що відповідають двом різним внутрішнім станам, то\(c_1\,\chi_1+c_2\,\chi_2\) є ще одним вектором, відповідним стану, отриманому шляхом накладення\(c_1\)\(c_2\) часу стану 1 з часом стану 2 (де\(c_1\) і\(c_2\) є комплексними числами). Нарешті, розмірність нашого векторного простору - це просто кількість лінійно незалежних векторів, необхідних для його охоплення (тобто кількість лінійно незалежних внутрішніх станів досліджуваної частинки).
Тепер нам потрібно визначити довжину наших векторів. Ми можемо зробити це, ввівши другий, або подвійний, векторний простір, елементи якого перебувають у відповідності один до одного з елементами нашого першого простору. Нехай називається елемент другого простору, який відповідає\(\chi\) елементу першого простору\(\chi^\dagger\). Більш того, елемент другого простору, який відповідає\(c\,\chi\) є\(c^\ast\,\chi^\dagger\). Припустимо, що можна комбінувати\(\chi\) і\(\chi^\dagger\) мультиплікативно генерувати дійсне позитивно-визначене число, яке ми будемо інтерпретувати як довжину, або норму, of\(\chi\). Позначимо це число\(\chi^\dagger\,\chi\). Таким чином, у нас є \[\label{e10.11} \chi^\dagger\,\chi\geq 0\]для всіх\(\chi\). Будемо також вважати, що можна поєднувати несхожі стани аналогічним мультиплікативним способом для отримання комплексних чисел. Твір двох несхожих станів\(\chi\) і\(\chi'\) позначається\(\chi^\dagger\,\chi'\). Два стану\(\chi\) і\(\chi'\), як кажуть, взаємно ортогональні, або незалежні, якщо\(\chi^\dagger\,\chi' = 0\).
Тепер, коли загальний спіновий оператор\(A\), працює на загальному спін-стані\(\chi\), він перетворює його в інший спін-стан, який ми будемо позначити\(A\,\chi\). Дуал цього стану - це\((A\,\chi)^\dagger\equiv \chi^\dagger\,A^\dagger\), де\(A^\dagger\) знаходиться гермітієвий кон'югат з\(A\) (це визначення гермітієвого кон'югата в спіновому просторі). Власний стан,\(A\) що відповідає власному значенню,\(a\) задовольняє\[A\,\chi_{a} = a\,\chi_{a}.\] Як і раніше, якщо\(A\) відповідає фізичній змінній, то вимірювання\(A\) призведе до одного з її власних значень. (Див. Розділ [smeas].) Для того щоб переконатися в тому, що ці власні значення всі реальні,\(A\) необхідно бути Ермітом: тобто,\(A^\dagger=A\). (Див. Розділ [seig].) Ми очікуємо, що\(\chi_a\) вони будуть взаємно ортогональними. Ми також можемо нормалізувати їх таким чином, щоб всі вони мали одиницю довжини. Іншими словами,\[\chi_{a}^\dagger\,\chi_{a'} = \delta_{aa'}.\] Нарешті, загальний стан спина може бути записаний як суперпозиція нормованих власних станів\(A\): тобто\[\chi = \sum_a c_a\, \chi_{a}.\] вимірювання\(\chi\) буде потім давати результат\(a\) з ймовірністю\(|c_a|^{\,2}\).