9.5: Спін Прецесія
- Page ID
- 76881
Згідно з класичною фізикою, малий контур струму володіє магнітним моментом величини\(\mu=I\,A\), де\(I\) знаходиться струм, що циркулює навколо петлі, і\(A\) площа петлі. Напрямок магнітного моменту умовно приймається нормальним до площини петлі, в сенсі, заданому стандартним правилом правосторонньої циркуляції. Розглянемо малу петлю струму, що складається з електрона в рівномірному круговому русі. Легко продемонструвати, що орбітальний кутовий імпульс електрона\({\bf L}\) пов'язаний з магнітним\(\mu\) моментом петлі через
\[\label{e10.57} \mu = -\frac{e}{2\,m_e}\,{\bf L},\]
де\(e\) - величина електронного заряду, і\(m_e\) маса електронів.
Попередній вираз говорить про те, що може існувати подібний зв'язок між магнітним моментом і спіновим кутовим імпульсом. Ми можемо написати
\[\label{e10.58} \mu = -\frac{g\,e}{2\,m_e}\,{\bf S},\]де\(g\) називається гіромагнітним співвідношенням. Класично, ми б очікували\(g=1\). Насправді,
\[\label{e10.59} g = 2\left(1+\frac{\alpha}{2\pi}+\cdots\right) = 2.0023192,\]
ось так\(\alpha= e^{\,2}/(2\,\epsilon_0\,h\,c) \simeq 1/137\) звана тонкоструктурна константа. Той факт, що гіромагнітне співвідношення (майже) вдвічі більше, ніж очікувалося від класичної фізики, можна пояснити лише за допомогою релятивістської квантової механіки. Крім того, невеликі поправки до релятивістського результату\(g=2\) походять від квантової теорії поля.
Енергія класичного магнітного моменту\(\mu\) в однорідному магнітному полі\({\bf B}\) дорівнює
\[\label{e10.60a} H = - \mu\cdot {\bf B}.\]Припускаючи, що попередній вираз також добре тримається в квантовій механіці, гамільтоніан електрона в\(z\) -спрямованому магнітному полі величини\(B\) набуває вигляду
\[\label{e10.60} H = {\mit\Omega}\,S_z,\]де\[{\mit\Omega} = \frac{g\,e\,B}{2\,m_e}.\] Тут, заради простоти, ми нехтуємо поступальними ступенями свободи електрона.
Рівняння Шредінгера можна записати [див. Рівняння ([etimed])]
\[\label{e10.62} {\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial\chi}{\partial t} = H\,\chi,\]де спіновий стан електрона характеризується спінором\(\chi\). Прийнявши представництво Паулі, отримуємо
\[\label{e10.63} \chi = \left(\begin{array}{c}c_+(t)\\c_-(t)\end{array}\right),\]де\(|c_+|^{\,2}+|c_-|^{\,2}=1\). Тут і ймовірність спостереження за станом спін-ап, і\(|c_-|^{\,2}\) ймовірність спостереження за станом спін-даун.\(|c_+|^{\,2}\) Це випливає з Рівняння ([e10.46]), ([e10.53]), ([e10.60]), ([e10.62]), і ([e10.63]), що\[{\rm i}\,\hbar\left(\begin{array}{c}\dot{c}_+\\\dot{c}_-\end{array}\right) =\frac{{\mit\Omega}\,\hbar}{2} \left(\begin{array}{cc}1,&0\\ 0,& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}c_+\\c_-\end{array}\right),\] де\(\dot{~}\equiv d/dt\). Отже,
\ begin {рівняння}\ точка {c} _ {\ pm} =\ mp\ mathrm {i}\ frac {\ Омега} {2} c_ {\ pm}\ кінець {рівняння} Нехай
\[\begin{aligned} c_+(0) &= \cos(\alpha/2),\label{e10.66}\\[0.5ex] c_-(0) &= \sin(\alpha/2).\label{e10.67}\end{aligned}\]Значення кута\(\alpha\) стане очевидним в даний час. Розв'язуючи рівняння ([e10.65]), при дотриманні початкових умов ([e10.66]) і ([e10.67]), отримаємо
\[\begin{aligned} \label{e10.68} c_+(t) &= \cos(\alpha/2)\,\exp(-{\rm i}\,{\mit\Omega}\,t/2),\\[0.5ex] c_-(t)&= \sin(\alpha/2)\,\exp(+{\rm i}\,{\mit\Omega}\,t/2).\label{e10.69}\end{aligned}\]
Найлегше візуалізувати ефект часової залежності в попередніх виразах за\(c_\pm\) допомогою обчислення очікуваних значень трьох декартових складових спінового кутового моменту електрона. За аналогією з рівнянням ([e3.55]), очікуване значення загального спінового оператора\(A\) просто\[\langle A \rangle = \chi^\dagger\,A\,\chi.\] Отже, очікуване значення\(S_z\) is\[\langle S_z\rangle= \frac{\hbar}{2}\left(c_+^\ast, c_-^\ast\right) \left(\begin{array}{cc}1,&0\\ 0,& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}c_+\\ c_-\end{array}\right),\] яке зводиться до
\[\label{e10.72} \langle S_z \rangle = \frac{\hbar}{2}\,\cos\alpha\]за допомогою Рівнянь ([e10.68]) і ([e10.69]). Аналогічним чином, очікуване значення\(S_x\) - це те\[\langle S_x\rangle= \frac{\hbar}{2}\left(c_+^\ast, c_-^\ast\right) \left(\begin{array}{cc}0,&1\\ 1,& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}c_+\\ c_-\end{array}\right),\], що зменшується до
\[\label{e10.74} \langle S_x\rangle = \frac{\hbar}{2}\,\sin\alpha\,\cos({\mit\Omega}\,t).\]Нарешті, очікуване значення\(S_y\) є
\[\label{e10.75} \langle S_y\rangle = \frac{\hbar}{2}\,\sin\alpha\,\sin({\mit\Omega}\,t).\]Згідно з рівняннями ([e10.72]), ([e10.74]), і ([e10.75]), очікуване значення вектора спінового кутового моменту відкладає постійний кут\(\alpha\) з\(z\) віссю -і прецеси навколо цієї осі на частоті\[{\mit\Omega} \simeq \frac{e\,B}{m_e}.\] Така поведінка насправді еквівалентна тому, що передбачається класичною фізикою. Зверніть увагу, однак, що вимірювання\(S_x\)\(S_y\), або завжди\(S_z\) дасть\(+\hbar/2\) або\(-\hbar/2\). Саме відносні ймовірності отримання цих двох результатів змінюються в міру того, як змінюється очікуване значення заданої складової спина.