9.1: Спінові оператори

Оскільки спін - це тип кутового моменту, розумно припустити, що він має подібні властивості до орбітального кутового імпульсу. Таким чином, за аналогією з Розділом [s8.2], ми очікуємо, що зможемо визначити три operators—$S_x$$S_y$, і$S_z$ —які представляють три декартові компоненти спінового моменту моменту. Більше того, правдоподібно, що ці оператори мають аналогічні комутаційні відносини з трьома відповідними операторами орбітального моменту моменту$L_x$,,$L_y$, і$L_z$. [Див. Рівняння ([e8.6]) — ([e8.8]).] Іншими словами,

$$\begin{aligned} \label{e10.1x} [S_x, S_y]&= {\rm i}\,\hbar\,S_z,\\[0.5ex] [S_y, S_z]&= {\rm i}\,\hbar\,S_x,\\[0.5ex] [S_z,S_x]&= {\rm i}\,\hbar\,S_y.\label{e10.2x}\end{aligned}$$ Ми можемо уявити величину в квадраті вектора спінового кута імпульсу $$S^2 = S_x^{\,2} + S_y^{\,2}+ S_z^{\,2}.$$ оператором За аналогією з аналізом в Розділі [s8.2], легко продемонструвати, що $$[S^2, S_x] = [S^2, S_y] = [S^2,S_z] = 0.$$ ми таким чином робимо висновок (див. Розділ [smeas]), що ми можемо одночасно вимірюйте величину в квадраті вектора кутового моменту спіна разом з, максимум, однією декартовою складовою. За умовністю, ми завжди будемо вибирати для вимірювання$z$ -компонента,$S_z$.

За аналогією з рівнянням ([e8.13]), ми можемо визначити оператори підвищення та зниження для спінового кутового моменту:

$$S_\pm = S_x \pm {\rm i}\,S_y.$$ If$S_x$$S_y$, і$S_z$ є ермітовими операторами, як це повинно бути у випадку, якщо вони мають представляти фізичні величини, то$S_\pm$ є Ермітієвими сполучені один з одним: тобто,

$$\label{e10.7} (S_\pm)^\dagger = S_\mp.$$ Нарешті, за аналогією з Розділом [s8.2] легко продемонструвати, що $$\begin{aligned} S_+\,S_- &= S^2-S_z^{\,2}+\hbar\,S_z,\label{e10.7a}\\[0.5ex] S_-\,S_+&= S^2-S_z^{\,2}-\hbar\,S_z,\label{e10.8}\\[0.5ex] [S_+,S_z]&= - \hbar\,S_+,\label{e10.9}\\[0.5ex] [S_-,S_z]&= +\hbar\,S_-.\label{e10.10}\end{aligned}$$

Автори та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick