Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

9.1: Спінові оператори

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    76874

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Оскільки спін - це тип кутового моменту, розумно припустити, що він має подібні властивості до орбітального кутового імпульсу. Таким чином, за аналогією з Розділом [s8.2], ми очікуємо, що зможемо визначити три operators—\(S_x\)\(S_y\), і\(S_z\) —які представляють три декартові компоненти спінового моменту моменту. Більше того, правдоподібно, що ці оператори мають аналогічні комутаційні відносини з трьома відповідними операторами орбітального моменту моменту\(L_x\),,\(L_y\), і\(L_z\). [Див. Рівняння ([e8.6]) — ([e8.8]).] Іншими словами,

    \[\begin{aligned} \label{e10.1x} [S_x, S_y]&= {\rm i}\,\hbar\,S_z,\\[0.5ex] [S_y, S_z]&= {\rm i}\,\hbar\,S_x,\\[0.5ex] [S_z,S_x]&= {\rm i}\,\hbar\,S_y.\label{e10.2x}\end{aligned}\]Ми можемо уявити величину в квадраті вектора спінового кута імпульсу\[S^2 = S_x^{\,2} + S_y^{\,2}+ S_z^{\,2}.\] оператором За аналогією з аналізом в Розділі [s8.2], легко продемонструвати, що\[[S^2, S_x] = [S^2, S_y] = [S^2,S_z] = 0.\] ми таким чином робимо висновок (див. Розділ [smeas]), що ми можемо одночасно вимірюйте величину в квадраті вектора кутового моменту спіна разом з, максимум, однією декартовою складовою. За умовністю, ми завжди будемо вибирати для вимірювання\(z\) -компонента,\(S_z\).

    За аналогією з рівнянням ([e8.13]), ми можемо визначити оператори підвищення та зниження для спінового кутового моменту:\[S_\pm = S_x \pm {\rm i}\,S_y.\] If\(S_x\)\(S_y\), і\(S_z\) є ермітовими операторами, як це повинно бути у випадку, якщо вони мають представляти фізичні величини, то\(S_\pm\) є Ермітієвими сполучені один з одним: тобто,

    \[\label{e10.7} (S_\pm)^\dagger = S_\mp.\]Нарешті, за аналогією з Розділом [s8.2] легко продемонструвати, що\[\begin{aligned} S_+\,S_- &= S^2-S_z^{\,2}+\hbar\,S_z,\label{e10.7a}\\[0.5ex] S_-\,S_+&= S^2-S_z^{\,2}-\hbar\,S_z,\label{e10.8}\\[0.5ex] [S_+,S_z]&= - \hbar\,S_+,\label{e10.9}\\[0.5ex] [S_-,S_z]&= +\hbar\,S_-.\label{e10.10}\end{aligned}\]

    Автори та атрибуція