Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10.1: Спінові оператори

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    76940

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Ми говорили про три різні спінові спостережувані для частинки спін-1/2: компонент кутового імпульсу вздовж, відповідно,\(x\),\(y\), і\(z\) осей. У квантовій механіці існує оператор, який відповідає кожному спостережуваному. Оператори для трьох компонентів спина є\(\hat{S}_{x}\),\(\hat{S}_{y}\), і\(\hat{S}_{z}\). Якщо ми використовуємо векторне представлення стовпців різних спінових власних станів вище, то ми можемо використовувати наступне уявлення для операторів спіна:

    \ [\ hat {S} _ {x} =\ frac {\ hbar} {2}\ ліворуч [\ почати {масив} {ll}
    0 &
    1\ 0
    \ кінець {масив}\ право]\ квад\ капелюх {S} _ {y} =\ frac {\ hbar} {2}\ лівий [\ початок {масив} {cc}
    0 & -i\\
    i
    \ кінець {масив}\ право]\ квад\ капелюх {S} _ {z} =\ frac {\ hbar } {2}\ left [\ begin {масив} {cc}
    1 & 0\\
    0 & -1
    \ end {масив}\ право]\ tag {10.2}\]

    Також умовно можна визначити три «спінові матриці Паулі»\(\sigma_{x}\)\(\sigma_{y}\), і\(\sigma_{z}\), які є:

    \ [\ сигма_ {x} =\ лівий [\ почати {масив} {ll}
    0 & 1\
    1 & 0
    \ кінець {масив}\ право]\ quad\ sigma {y} =\ лівий [\ початок {масив} {cc}
    0 & -i\\
    i & 0
    \ end {масив}\ правий]\ quad\ sigma {z} =\ лівий [\ почати {масив} cc}
    1 & підсилювач; 0\\
    0 & -1
    \ кінець {масив}\ право]\ тег {10.3}\]

    Зрозуміло, що тоді спінові оператори можуть бути побудовані з відповідних матриць Паулі, просто множивши кожну на\(\hbar / 2\).

    Ви можете переконатися, що це гарне уявлення спінових операторів, переконавшись, що всі різні спостереження про спінові стани відтворюються за допомогою цих операторів та цих векторів для прогнозування їх з теорії. Наприклад,\(|+y\rangle\) є власним станом для компонента y спіна, тому векторне представлення стовпця\(|+y\rangle\) має бути власним вектором\(\hat{S}_{y}\). Це? Спробуємо:

    \ [\ почати {вирівняний}
    \ капелюх {S} _ {y} |+y\ діапазон &=\ frac {\ hbar} {2}\ лівий [\ begin {масив} {cc}
    0 & -i\\
    i & 0
    \ end {масив}\ вправо]\ лівий [\ початок {масив} {l}
    1/\ sqrt {2}\
    i/\ sqrt {2}
    {масив}\ право]\\
    &=\ FRAC {\ hbar} {2}\ лівий [\ почати {масив} {c}
    (0) (1/\ sqrt {2}) + (-i) (i/\ sqrt {2})\\
    (i) (1/\ sqrt {2}) + (0) (i/\ sqrt {2})
    \ кінець {масив}\ праворуч]\\
    &=\ frac {\ hbar} {2}\ лівий [\ begin {масив} {l}
    1/\ sqrt {2}\\
    i /\ sqrt {2}
    \ кінець {масив}\ праворуч]\\
    &=\ frac {\ hbar} {2} |+y\ діапазон
    \ кінець {вирівняний}\ тег {10.4}\]

    По крайней мере, в цьому випадку матричні і стовпцеві\(|+y\rangle\) векторні зображення\(\hat{S}_{y}\) і працюють.