10.1: Спінові оператори

Ми говорили про три різні спінові спостережувані для частинки спін-1/2: компонент кутового імпульсу вздовж, відповідно,$x$,$y$, і$z$ осей. У квантовій механіці існує оператор, який відповідає кожному спостережуваному. Оператори для трьох компонентів спина є$\hat{S}_{x}$,$\hat{S}_{y}$, і$\hat{S}_{z}$. Якщо ми використовуємо векторне представлення стовпців різних спінових власних станів вище, то ми можемо використовувати наступне уявлення для операторів спіна:

\ [\ hat {S} _ {x} =\ frac {\ hbar} {2}\ ліворуч [\ почати {масив} {ll}
0 &
1\ 0
\ кінець {масив}\ право]\ квад\ капелюх {S} _ {y} =\ frac {\ hbar} {2}\ лівий [\ початок {масив} {cc}
0 & -i\\
i
\ кінець {масив}\ право]\ квад\ капелюх {S} _ {z} =\ frac {\ hbar } {2}\ left [\ begin {масив} {cc}
1 & 0\\
0 & -1
\ end {масив}\ право]\ tag {10.2}\]

Також умовно можна визначити три «спінові матриці Паулі»$\sigma_{x}$$\sigma_{y}$, і$\sigma_{z}$, які є:

\ [\ сигма_ {x} =\ лівий [\ почати {масив} {ll}
0 & 1\
1 & 0
\ кінець {масив}\ право]\ quad\ sigma {y} =\ лівий [\ початок {масив} {cc}
0 & -i\\
i & 0
\ end {масив}\ правий]\ quad\ sigma {z} =\ лівий [\ почати {масив} cc}
1 & підсилювач; 0\\
0 & -1
\ кінець {масив}\ право]\ тег {10.3}\]

Зрозуміло, що тоді спінові оператори можуть бути побудовані з відповідних матриць Паулі, просто множивши кожну на$\hbar / 2$.

Ви можете переконатися, що це гарне уявлення спінових операторів, переконавшись, що всі різні спостереження про спінові стани відтворюються за допомогою цих операторів та цих векторів для прогнозування їх з теорії. Наприклад,$|+y\rangle$ є власним станом для компонента y спіна, тому векторне представлення стовпця$|+y\rangle$ має бути власним вектором$\hat{S}_{y}$. Це? Спробуємо:

\ [\ почати {вирівняний}
\ капелюх {S} _ {y} |+y\ діапазон &=\ frac {\ hbar} {2}\ лівий [\ begin {масив} {cc}
0 & -i\\
i & 0
\ end {масив}\ вправо]\ лівий [\ початок {масив} {l}
1/\ sqrt {2}\
i/\ sqrt {2}
{масив}\ право]\\
&=\ FRAC {\ hbar} {2}\ лівий [\ почати {масив} {c}
(0) (1/\ sqrt {2}) + (-i) (i/\ sqrt {2})\\
(i) (1/\ sqrt {2}) + (0) (i/\ sqrt {2})
\ кінець {масив}\ праворуч]\\
&=\ frac {\ hbar} {2}\ лівий [\ begin {масив} {l}
1/\ sqrt {2}\\
i /\ sqrt {2}
\ кінець {масив}\ праворуч]\\
&=\ frac {\ hbar} {2} |+y\ діапазон
\ кінець {вирівняний}\ тег {10.4}\]

По крайней мере, в цьому випадку матричні і стовпцеві$|+y\rangle$ векторні зображення$\hat{S}_{y}$ і працюють.