3.6: Імпульсне представлення
- Page ID
- 76992
Теорема Фур'є (див. Розділ [s2.9]), застосована до одновимірних хвильових функцій, дає,\[\begin{aligned} \psi(x,t) &=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \bar{\psi}(k,t)\,{\rm e}^{+{\rm i}\,k\,x}\,dk,\\[0.5ex] \bar{\psi}(k,t) &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^\infty \psi(x,t)\,{\rm e}^{-{\rm i}\,k\,x}\,dx,\end{aligned}\] де\(k\) представляє хвильове число. Однак,\(p=\hbar\,k\). Отже, ми також можемо записати, \[\begin{aligned} \label{e3.64} \psi(x,t) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\,\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(p,t)\,{\rm e}^{+{\rm i}\,p\,x/\hbar}\,dp,\\[0.5ex] \phi(p,t) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\,\hbar}}\int_{-\infty}^\infty \psi(x,t)\,{\rm e}^{-{\rm i}\,p\,x/\hbar}\,dx,\label{e3.65}\end{aligned}\]де\(\phi(p,t)= \bar{\psi}(k,t)/\sqrt{\hbar}\) знаходиться імпульсний простір, еквівалентний хвильовій функції у реальному просторі\(\psi(x,t)\).
На цьому етапі зручно вводити корисну функцію під назвою дельта-функція Дірака. Ця функція, позначена\(\delta(x)\), була вперше розроблена Полом Діраком, і має такі досить незвичайні властивості:\(\delta(x)\) дорівнює нулю for\(x\neq 0\), і нескінченна при\(x=0\). Однак сингулярність at\(x=0\) така, що \[\label{e3.64a} \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\,dx = 1.\]Дельта-функція є прикладом того, що відоме як узагальнена функція: тобто її значення взагалі недостатньо визначене\(x\), але її інтеграл чітко визначено. Розглянемо інтеграл\[\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\delta(x)\,dx.\] Оскільки\(\delta(x)\) лише ненульовий нескінченно близький до\(x=0\), ми можемо безпечно замінити\(f(x)\) на\(f(0)\) попередній інтеграл (припускаючи\(f(x)\), що добре поводиться\(x=0\)), щоб дати,\[\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\delta(x)\,dx = f(0)\,\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\,dx=f(0),\] де було зроблено використання Рівняння ( [е3.64а]). Просте узагальнення цього результату дає \[\label{e3.69} \int_{-\infty}^\infty f(x)\,\delta(x-x_0)\,dx = f(x_0),\], який також можна розглядати як альтернативне визначення дельта-функції.
Припустимо, що\(\psi(x) = \delta(x-x_0)\). З рівнянь ([e3.65]) і ([e3.69]) випливає, що
\ почати {рівняння}\ phi (p) =\ frac {\ mathrm {e} ^ {-i p x_ {0}/\ hbar}} {\ sqrt {2\ pi\ hbar}}\ кінець {рівняння}
Отже, Рівняння ([e3.64]) дає важливий результат\[\delta(x-x_0)= \frac{1}{2\pi\,\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{+{\rm i}\,p\,(x-x_0)/\hbar}\,dp.\] Аналогічно, \[\label{e3.72} \delta(p-p_0)= \frac{1}{2\pi\,\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{+{\rm i}\,(p-p_0)\,x/\hbar}\,dx.\]
Виявляється, ми можемо так само легко сформулювати квантову механіку, використовуючи хвильову функцію імпульсного простору\(\phi(p,t)\), як хвильова функція реального простору\(\psi(x,t)\). Колишня схема відома як імпульсне представлення квантової механіки. У уявленні імпульсу хвильові функції - це перетворення Фур'є еквівалентних хвильових функцій у реальному просторі, а динамічні змінні представлені різними операторами. Крім того, за аналогією з Equation ([e3.55]) очікуване значення деякого оператора\(O(p)\) набуває вигляду \[\label{e4.55a} \langle O\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\phi^\ast(p,t)\,O(p)\,\phi(p,t)\,dp.\]
Враховуйте імпульс. Ми можемо написати\[\begin{aligned} \langle p\rangle& = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^\ast(x,t)\left(-{\rm i}\,\hbar\, \frac{\partial}{\partial x}\right)\psi(x,t)\,dx \nonumber\\[0.5ex]&= \frac{1}{2\pi\,\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \phi^\ast(p',t)\,\phi(p,t)\,p\,{\rm e}^{+{\rm i}\,(p-p')\,x/\hbar}\,dx\,dp\,dp',\end{aligned}\], де було використано рівняння ([e3.64]). Однак з Рівняння ([e3.72]) випливає, що\[\langle p\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\phi^\ast(p',t)\,\phi(p,t)\,p\,\delta(p-p')\,dp\,dp'.\] Отже, використовуючи Рівняння ([e3.69]), ми отримуємо\[\langle p\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\phi^\ast(p,t)\,p\,\phi(p,t)\,dp = \int_{-\infty}^{\infty}p\,|\phi|^{\,2}\,dp.\] Очевидно, імпульс представлений оператором\(p\) у уявленні імпульсу. Попередній вираз також настійно пропонує [порівняно з рівнянням ([e3.22])], що\(|\phi(p,t)|^{\,2}\) можна інтерпретувати як щільність ймовірності вимірювання імпульсу, що дає значення\(p\) в часі\(t\). Звідси випливає, що\(\phi(p,t)\) повинен задовольняти аналогічну умову нормалізації рівняння ([e3.4]): тобто \[\label{enormp} \int_{-\infty}^{\infty} |\phi(p,t)|^{\,2}\,dp = 1.\]
Розглянемо зміщення. Ми можемо написати\[\begin{aligned} \langle x\rangle& = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^\ast(x,t)\,x\,\psi(x,t)\,dx \\[0.5ex]&=\frac{1}{2\pi\,\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \phi^\ast(p',t)\,\phi(p,t)\left(-{\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial}{\partial p}\right){\rm e}^{+{\rm i}\,(p-p')\,x/\hbar}\,dx\,dp\,dp'.\nonumber\end{aligned}\] Інтеграція по частинам дає\[\langle x\rangle= \frac{1}{2\pi\,\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \phi^\ast(p',t)\,{\rm e}^{+{\rm i}\,(p-p')\,x/\hbar}\left({\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial}{\partial p}\right)\phi(p,t)\,dx\,dp\,dp'.\] Отже, використовуючи рівняння ([e3.72]) і ([e3.69]), ми отримуємо\[\langle x\rangle= \frac{1}{2\pi\,\hbar}\int_{-\infty}^{\infty} \phi^\ast(p) \left({\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial}{\partial p}\right)\phi(p)\,dp.\] Очевидно, що переміщення представлено оператором\[x\equiv{\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial}{\partial p}\] у уявленні імпульсу.
Наостанок розглянемо нормалізацію імпульсно-космічної хвильової функції\(\phi(p,t)\). \[\int_{-\infty}^{\infty} \psi^\ast(x,t)\,\psi(x,t)\,dx = \frac{1}{2\pi\,\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \phi^\ast(p',t)\,\phi(p,t)\,{\rm e}^{+{\rm i}\,(p-p')\,x/\hbar}\,dx\,dp\,dp'.\]Таким чином, з Рівняння ([e3.69]) і ([e3.72]), що \[\label{e3.83} \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,t)|^{\,2}\,dx =\int_{-\infty}^{\infty}|\phi(p,t)|^{\,2}\,dp.\]Отже, якщо правильно\(\psi(x,t)\) нормалізовано [див Рівняння ([e3.4])]\(\phi(p,t)\), то, як визначено в Рівняння ([e3.65]), також належним чином нормалізується [ див. Рівняння ([enormp])].
Існування представлення імпульсу ілюструє важливий момент. А саме, існує безліч різних, але цілком рівнозначних способів математично формулювання квантової механіки. Наприклад, можна також представляти хвильові функції як вектори рядків і стовпців, а динамічні змінні - як матриці, що діють на ці вектори.