14.7: Теорема диференціації
L(dnydtn)=snˉy−sn−1y0−sn−2(dydt)0−sn−3(d2ydt2)0−......−s(dn−2ydtn−2)0−(dn−1ydtn−1)0.
Це виглядає грізно, і у вас буде спокуса пропустити це - але не варто, тому що це важливо! Однак, щоб зробити його більш приємним, я зазначу, що один рідко, якщо коли-небудь, потребує похідних вище, ніж другий, тому я перепишу це для першого і другого похідних, і вони будуть виглядати набагато менш страшно.
L˙y=sˉy−y0
і
L¨y=s2ˉy−sy0−˙y0.
Тут нульовий індекс означає «оцінюється при t = 0».
Рівняння 14.7.2 легко доведено інтеграцією частинами:
ˉy=Ly=∫∞0ye−stdt=−1s∫∞0yde−st=−1s[ye−st]∞0+1s∫∞t=0e−stdy=1sy0+1s∫˙ydt=1sy0+1sL˙y.
∴L˙y=sˉy−y0.
З цьогоL¨y=ˉ˙y−˙y0=sL˙y−˙y0=s(sˉy−y0)−˙y0=s2ˉy−sy0−˙y0.
Застосовуйте це знову і знову, і ви прийдете до рівняння 14.7.1