7.1: Приклад - Прискорені координати

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77233

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Поясніть, як узагальнити правила з глави 6 до будь-якої зміни координат
Як знайти форму метрики, вираженої в не-мінковських координатах.

У попередньому дослідженні фізики ви бачили багато прикладів, коли одна система координат полегшує життя, ніж інша. Для блоку, що штовхається вгору по похилій площині, найбільш зручним вибором може бути нахил осей x і y. Для знаходження моменту інерції диска використовуємо циліндричні координати. Те ж саме справедливо і в відносності. Координати Мінковського не завжди є найзручнішими. У розділі 6 ми навчилися класифікувати фізичні величини як ковектори, скаляри та вектори, і ми вивчили правила того, як ці три типи величин трансформуються у дві спеціальні зміни координат:

Коли ми масштабуємо всі координати на коефіцієнт\(α\), компоненти векторів, скалярів і ковекторів\(α^p\) масштабуються по\(p = +1\), де\(0\), і\(-1\), відповідно.
Під імпульсом три випадки вимагають відповідно перетворення Лоренца, без перетворення та зворотного перетворення Лоренца.

У цьому розділі ми дізнаємося, як узагальнити це до будь-якої зміни координат, ¹, а також як знайти форму метрики, вираженої в координатах, що не Мінковського.

Почнемо з конкретного прикладу, який має певний фізичний інтерес. У розділі 5.2 ми побачили, що ми можемо мати «гравітацію без сили тяжіння»: експеримент, проведений у рівномірному гравітаційному полі, можна інтерпретувати як експеримент у плоскому просторі часу (так що застосовується спеціальна відносність), але з вимірами, вираженими в прискореному кадрі земної поверхні. В експерименті «Фунт-Ребка» всі результати могли бути виражені в інерційній (вільно падаючій) системі відліку, використовуючи координати Мінковського, але це було б вкрай незручно, тому що, наприклад, вони не хотіли скидати свої дорогі атомні годинники і знімати показання перед Годинники потрапили в підлогу і були знищені.

Оскільки це «гравітація без гравітації», нам насправді не потрібна планета, що захаращує картину. Уявіть собі всесвіт, що складається з безмежного, порожнього, плоского просторучасу. Опишіть його спочатку за допомогою координат Мінковського\((t,x,y,z)\). Тепер припустимо, ми хочемо знайти новий набір координат\((T,X,Y ,Z)\), який відповідає системі відліку спостерігача на борту космічного корабля, що прискорюється в\(x\) напрямку з постійним прискоренням.

Відповідь Галілея була б\(X = x - \tfrac{1}{2}at^2\). Але це незадовільно з релятивістської точки зору з кількох причин. \(t = c/a\)У спостерігача буде рухатися зі швидкістю світла, але відносність не дозволяє кадрів відліку рухатися при\(c\) (Розділ 3.4). При\(t > c/a\), рух спостерігача було б швидше\(c\), ніж, але це неможливо в\(3 + 1\) розмірах (розділ 3.8).

Ці проблеми пов'язані з тим, що власне прискорення спостерігача, тобто показання на акселерометрі на борту корабля, не є постійним, якщо\(x = \tfrac{1}{2}at^2\). Ми побачили в прикладі 3.5.2, що постійне власне прискорення\(τ\) описується тим\(x = \tfrac{1}{a} \cosh a\tau\)\(t = \tfrac{1}{a} \sinh a\tau\), де належний час. Для цього руху швидкість наближається лише\(c\) асимптотично. Це говорить про наступне для зв'язку між двома наборами координат:

\[t = X \sinh T\]

\[x = X \cosh T\]

\[y = Y\]

\[z = Z\]

Наприклад, якщо корабель слідує за світовою лінією\((T,X) = (τ,1)\), то його рух в неприскореному кадрі є\((t,x) = (\sinh τ,\cosh τ)\), який має бажану форму с\(a = 1\).

\((T,X,Y ,Z)\)Координати, звані координатами Ріндлера, мають багато, але не всі властивості, які ми хотіли б для прискореного кадру. В ідеалі ми хотіли б мати все наступне:

правильне прискорення є постійним для будь-якої світової лінії постійної\((X,Y ,Z)\)
правильне прискорення однаково для всіх таких світових ліній, тобто фіктивне гравітаційне поле рівномірне
опис прискореного кадру - це всього лише зміна координат, тобто ми просто говоримо про flat spacetime спеціальної відносності, з подіями перейменованими.

Виявляється, ми можемо вибрати два з трьох з них, але неможливо задовольнити всі три одночасно. Координати Ріндлера задовольняють умовам 1 і 3, але не 2. Це пов'язано з тим, що належне прискорення світової лінії постійної\((X,Y ,Z)\) може бути легко показано\(1/X\), що залежить від\(X\). При цьому ми не говоримо про координати Риндлера як про «координати» прискореного спостерігача.

Координати Ріндлера мають таку властивість, що якщо стрижень простягається уздовж\(X\) - осі, а зовнішні сили прикладені до нього саме таким чином, щоб кожна точка на стрижні мала постійну\(X\), то вона розганяється по своїй довжині без будь-яких навантажень.

Діагоналі - це горизонти подій. Їх перетин лежить уздовж кожної константи-\(T\) лінії; див. приклад 1.4.7.

Посилання

¹ Ми вимагаємо, щоб зміна координат була плавною у значенні, визначеному на p. 127, тобто це має бути дифеоморфізм.