7.1: Приклад - Прискорені координати

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 7: Координати
- 7.2: Трансформація векторів

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Поясніть, як узагальнити правила з глави 6 до будь-якої зміни координат
Як знайти форму метрики, вираженої в не-мінковських координатах.

У попередньому дослідженні фізики ви бачили багато прикладів, коли одна система координат полегшує життя, ніж інша. Для блоку, що штовхається вгору по похилій площині, найбільш зручним вибором може бути нахил осей x і y. Для знаходження моменту інерції диска використовуємо циліндричні координати. Те ж саме справедливо і в відносності. Координати Мінковського не завжди є найзручнішими. У розділі 6 ми навчилися класифікувати фізичні величини як ковектори, скаляри та вектори, і ми вивчили правила того, як ці три типи величин трансформуються у дві спеціальні зміни координат:

Коли ми масштабуємо всі координати на коефіцієнт $α$ , компоненти векторів, скалярів і ковекторів $α^p$ масштабуються по $p = +1$ , де $0$ , і $-1$ , відповідно.
Під імпульсом три випадки вимагають відповідно перетворення Лоренца, без перетворення та зворотного перетворення Лоренца.

У цьому розділі ми дізнаємося, як узагальнити це до будь-якої зміни координат, ¹, а також як знайти форму метрики, вираженої в координатах, що не Мінковського.

Почнемо з конкретного прикладу, який має певний фізичний інтерес. У розділі 5.2 ми побачили, що ми можемо мати «гравітацію без сили тяжіння»: експеримент, проведений у рівномірному гравітаційному полі, можна інтерпретувати як експеримент у плоскому просторі часу (так що застосовується спеціальна відносність), але з вимірами, вираженими в прискореному кадрі земної поверхні. В експерименті «Фунт-Ребка» всі результати могли бути виражені в інерційній (вільно падаючій) системі відліку, використовуючи координати Мінковського, але це було б вкрай незручно, тому що, наприклад, вони не хотіли скидати свої дорогі атомні годинники і знімати показання перед Годинники потрапили в підлогу і були знищені.

Оскільки це «гравітація без гравітації», нам насправді не потрібна планета, що захаращує картину. Уявіть собі всесвіт, що складається з безмежного, порожнього, плоского просторучасу. Опишіть його спочатку за допомогою координат Мінковського $(t,x,y,z)$ . Тепер припустимо, ми хочемо знайти новий набір координат $(T,X,Y ,Z)$ , який відповідає системі відліку спостерігача на борту космічного корабля, що прискорюється в $x$ напрямку з постійним прискоренням.

Відповідь Галілея була б $X = x - \tfrac{1}{2}at^2$ . Але це незадовільно з релятивістської точки зору з кількох причин. $t = c/a$ У спостерігача буде рухатися зі швидкістю світла, але відносність не дозволяє кадрів відліку рухатися при $c$ (Розділ 3.4). При $t > c/a$ , рух спостерігача було б швидше $c$ , ніж, але це неможливо в $3 + 1$ розмірах (розділ 3.8).

Ці проблеми пов'язані з тим, що власне прискорення спостерігача, тобто показання на акселерометрі на борту корабля, не є постійним, якщо $x = \tfrac{1}{2}at^2$ . Ми побачили в прикладі 3.5.2, що постійне власне прискорення $τ$ описується тим $x = \tfrac{1}{a} \cosh a\tau$ $t = \tfrac{1}{a} \sinh a\tau$ , де належний час. Для цього руху швидкість наближається лише $c$ асимптотично. Це говорить про наступне для зв'язку між двома наборами координат:

$t = X \sinh T$

$x = X \cosh T$

$y = Y$

$z = Z$

Наприклад, якщо корабель слідує за світовою лінією $(T,X) = (τ,1)$ , то його рух в неприскореному кадрі є $(t,x) = (\sinh τ,\cosh τ)$ , який має бажану форму с $a = 1$ .

$(T,X,Y ,Z)$ Координати, звані координатами Ріндлера, мають багато, але не всі властивості, які ми хотіли б для прискореного кадру. В ідеалі ми хотіли б мати все наступне:

правильне прискорення є постійним для будь-якої світової лінії постійної $(X,Y ,Z)$
правильне прискорення однаково для всіх таких світових ліній, тобто фіктивне гравітаційне поле рівномірне
опис прискореного кадру - це всього лише зміна координат, тобто ми просто говоримо про flat spacetime спеціальної відносності, з подіями перейменованими.

Виявляється, ми можемо вибрати два з трьох з них, але неможливо задовольнити всі три одночасно. Координати Ріндлера задовольняють умовам 1 і 3, але не 2. Це пов'язано з тим, що належне прискорення світової лінії постійної $(X,Y ,Z)$ може бути легко показано $1/X$ , що залежить від $X$ . При цьому ми не говоримо про координати Риндлера як про «координати» прискореного спостерігача.

Координати Ріндлера мають таку властивість, що якщо стрижень простягається уздовж $X$ - осі, а зовнішні сили прикладені до нього саме таким чином, щоб кожна точка на стрижні мала постійну $X$ , то вона розганяється по своїй довжині без будь-яких навантажень.

Діагоналі - це горизонти подій. Їх перетин лежить уздовж кожної константи- $T$ лінії; див. приклад 1.4.7.

Посилання

¹ Ми вимагаємо, щоб зміна координат була плавною у значенні, визначеному на p. 127, тобто це має бути дифеоморфізм.