Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.3: Вимірювання

Цілі навчання

  • Вимірювання відносності

Ми хотіли б мати загальну систему вимірювання відносності, але поки що у нас є лише неповний печворк. Довжину часового вектора можна визначити як час, виміряний на годиннику, який рухається вздовж вектора. Вектор, подібний до пробілу, має довжину, яка вимірюється на лінійці, рух якої такий, що в рамці відліку лінійки кінцеві точки вектора є одночасними. Але не існує третього вимірювального приладу, призначеного для вимірювання світлоподібних векторів.

Також ми автоматично отримуємо повну систему вимірювання, лише визначивши координати Мінковського. Наприклад, ми ще не знаємо, як знайти довжину часового вектора, такого як(Δt,Δx)=(2,1), і ми підозрюємо, що вона не буде рівною2, оскільки експеримент Хафела-Кітінга говорить нам, що годинник, який переживає рух, представленийΔx=1, ймовірно, не погодиться з годинником, що переноситься спостерігач, годинник якого ми використовували при визначенні цих координат.

Інваріанти

Вся тема вимірювання схильна бути заплутаною, тому що мінливий ландшафт відносності змушує нас відчувати себе так, ніби ми увійшли в пейзаж Сальвадора Далі, що тануть кишенькові годинники. Хороший спосіб повернути наші підшипники - шукати інваріантні величини: вони однакові у всіх системах відліку. Евклідовий інваріант, такий як довжина або кут, - це той, який не змінюється під обертаннями: усі спостерігачі погоджуються про його значення, незалежно від орієнтацій їхніх систем відліку. Для релятивістського інваріанту ми вимагаємо крім того, щоб спостерігачі погоджувалися незалежно від того, який стан руху вони мають. (Перетворення, яке змінюється від однієї інерційної системи відліку до іншої, без будь-якого обертання, називається імпульсом.)

Електричний заряд - хороший приклад інваріанта. Електрони в атомах зазвичай мають швидкості0.01 до0.1 (в наших релятивістських одиницях, де c=1), тому якщо заряд електрона залежав від його руху відносно спостерігача, атоми не були б електрично нейтральними. Експерименти були зроблені, щоб перевірити це до феноменальної точності однієї частини в1021, з нульовими результатами.

Вектор ніколи не може бути інваріантним, оскільки він змінює напрямок при обертанні. (Деякі вектори, такі як швидкості, також змінюються під імпульсом.) У механіці першокурсників будь-яка кількість, наприклад енергія, яка не була вектором, зазвичай потрапляла в категорію, яку ми називали скалярами. Однак у відносності термін «скалярний» має набагато більш обмежувальне визначення, про яке ми поговоримо в розділі 6.2.

До речі, новачки в теорії відносності іноді плутаються з приводу інваріантності на відміну від збереження. Вони не одне і те ж, і ні інше не означає. Наприклад, імпульс має напрямок у просторі, тому він явно не є інваріантним - але ми побачимо в розділі 4.3, що існує релятивістська версія вектора імпульсу, яка зберігається. Як і в ньютонівській механіці, нам байдуже, чи всі спостерігачі погоджуються з імпульсом системи - ми дбаємо лише про те, щоб закон збереження імпульсу був дійсним і мав однакову форму у всіх рамках. І навпаки, є кількості, які є інваріантними, але не збереженими, прикладом є маса.

Метрика

рис. 1.3.1.png
Малюнок1.3.1: Два прямокутника світла мають однакову площу.

Площа в1+1 розмірах також є інваріантною, як доведено в розділі 2.5. Інваріантність площі має мало значення сама по собі, але вона забезпечує хороший крок до релятивістської системи вимірювання. Припустимо, що у нас відбуваються подіїA (Карл VII відновлений на престолі) іB (Жанна д'Арк страчена). Тепер уявіть, що технологічно просунуті інопланетяни хочуть бути присутніми на обохA іB, але в проміжок часу вони бажають полетіти на своєму космічному кораблі, бути присутніми на якомусь іншому заходіP (можливо, прес-конференції, на якій вони дають оновлену інформацію про події, що відбуваються на землі), але поверніться назад вчасно дляB. Оскільки ніщо не може йти швидшеc (що ми приймаємо рівним1),P не може бути занадто далеко. Безліч всіх можливих подійP утворює прямокутник, фігуру1.3.1, в1+1 -мірній площині, який маєA іB на протилежних кутах і краї якого мають ухили рівні±1. Цей тип прямокутника ми називаємо світло-прямокутником.

Площа цього прямокутника буде однаковою незалежно від системи відліку. Зокрема, ми могли б вибрати спеціальну систему відліку, панель2 малюнка, таку, щоA іB відбуваються в одному і тому ж місці. (Вони не зустрічаються в одному і тому ж місці, наприклад, в рамі сонця, тому що земля крутиться і обходить сонце.) Так як швидкість c=1однакова у всіх рамках відліку, а сторони прямокутника мали укоси±1 в рамі1, вони все одно повинні мати ухили±1 в рамі2. Прямокутник стає квадратом, діагоналі якого є рамкоюo іs для2. Довжина цих діагоналей дорівнює часу, щоτ минув на годиннику, який знаходиться в стані спокою в кадрі2, тобто годиннику, який ковзає по простору з постійною швидкістю відA доB, возз'єднавшись з планетою Земля, коли її орбіта приводить її доB. Площа сірих областей можна інтерпретувати як половину квадрата цього ковзаючого годинникового часу, яке називається належним часом. «Правильне» тут використовується в дещо архаїчному сенсі «власний» або «себе», як у «Ватикан не лежить в межах самої Італії. » Правильний час, який ми відзначаємоτ, можна визначити лише для часових світових ліній, оскільки світлоподібна або космічна світова лінія неможлива для матеріального годинника.

З точки зору координат (Мінковського), припустимо, що подіїA іB розділені на відстаньx і часt. Тоді взагаліt2x2 дає квадрат ковзання-годинника часу.

Доказ: Через те, як площа масштабується з масштабуванням координат, вираз повинен мати форму(...)t2+(...)tx+(...)x2, де кожен(...) представляє безодиничну константу. txКоефіцієнт повинен дорівнювати нулю за ізотропією простору. t2Коефіцієнт повинен дорівнювати для1 того, щоб дати правильну відповідь в разіx=0, де координатами є координати спостерігача в спокої щодо годинника. Так як площа зникає дляx=t,x2 коефіцієнт повинен дорівнювати1. Коли|x| більше|t|, подіїA іB знаходяться настільки далеко один від одного в просторі і настільки близько один до одного в часі, що неможливо було б мати причинно-наслідковий зв'язок між ними, оскількиc=1 це максимальна швидкість причини та наслідків. У цій ситуаціїt2x2 негативний і не може бути інтерпретований як годинник часу, але його можна інтерпретувати як мінус квадрат відстані міжA іB, як вимірюється в системі відліку, в якійA іB є одночасними.

Узагальнюючи до3+1 розмірів і до будь-якого вектораv, а не просто зміщення в просторові/часі, ми маємо вимір вектора, визначеного

v2tv2xv2yv2z

В особливому випадку, коли vє зміщенням просторучасу, це можна назвати просторово-часовим інтервалом. За винятком знаків, це дуже схоже на теорему Піфагора, яка є окремим випадком векторного крапкового добутку. Тому ми визначаємо функцію, якаg називається метрикою.

g(u,v)=utvtuxvxuyvyuzvz

Через аналогію з евклідовим точковим добутком ми часто використовуємо позначенняuv для цієї величини, і іноді називаємо його внутрішнім твором. Метрика є центральним об'єктом відносності. Взагалі відносність, яка описує гравітацію як кривизну просторучасу, коефіцієнти, що виникають на правій стороні±1, більше не є, але повинні змінюватися від точки до точки. Навіть у спеціальній теорії відносності, де коефіцієнти можна зробити постійними, визначенняg довільне аж до ненульової мультиплікативної константи, і зокрема багато авторів визначаютьg як негативне нашого визначення. Знакова конвенція, яку ми використовуємо, є найпоширенішою у фізиці частинок, тоді як протилежне частіше зустрічається у класичній теорії відносності. Набір знаків,+ або+++, називається підписом метрики. У розділі 1.1 ми розробили ідею ортогональності просторово-часових векторів з фізичною інтерпретацією, що якщо спостерігач рухається вздовж вектораo, вектор s, ортогональний до,o є вектором одночасності. Це відповідає зникненню внутрішнього добуткуos=0, і лише недосконало аналогічно ідеї про те, що евклідові вектори перпендикулярні, якщо їх крапковий добуток дорівнює нулю. Зокрема, ненульовий евклідовий вектор ніколи не перпендикулярний самому собі, але для будь-якого світлоподібного вектораv ми маємоvv=0. Метрика не дає нам міри довжини світлоподібних векторів. Фізично ні лінійка, ні годинник не можуть виміряти такий вектор.

Метрика в одиницях СІ

Одиниці зc=1 відомі як природні одиниці. (Вони є природними для відносності в тому ж сенсі, що одиниці з˜h=1 є природними для квантової механіки.) Будь-яке рівняння, виражене в натуральних одиницях, може бути перевиражено в одиницях СІ простим доцільним вставляти коефіцієнти,c де вони потрібні, щоб отримати одиниці, які мають сенс. Результат для метрики може бути

g(u,v)=c2utvtuxvxuyvyuzvz

або

g(u,v)=utvt(uxvxuyvyuzvz)/c2

Не має значення, який ми вибираємо, оскільки метрика довільна до постійного коефіцієнта. Перший вираз дає результат в метрах, друге - секунди.

Ортогональні світлові промені?

На просторово-часовій діаграмі в1+1 розмірах зображуємо світловий конус з двома лініямиx=±t, намальованими під кутом90 градусів відносно один одного. Чи є ці лінії ортогональними? .

Ні. Наприклад, якщоu=(1,1) іv=(1,1), тоuv є2, не нуль.

Піонер 10

Космічний зонд Pioneer 10 був запущений в 1972 році, а в 1973 році був першим кораблем, який пролетів планетою Юпітер. Вона перетнула орбіту планети Нептун в 1983 році, після чого телеметричні дані отримували аж до 2002 року. Наступна таблиця дає положення космічного корабля щодо Сонця рівно опівночі 1 січня 1983 року та 1 січня 1995 року. Дата 1983 приймається бутиt=0.

т (и) х у z
0 1 784 × 10 12 м 3 951 × 10 12 м 0,237 × 10 12 м
3,7869 × 10 8 с 2,420 × 10 12 м 8,827 × 10 12 м 0,488 × 10 12 м

Порівняйте час, що минув на космічному кораблі, з часом в рамках відліку, прив'язаного до сонця.

Ми можемо перетворити ці дані в природні одиниці, причому одиниця відстані є другою (тобто світловою секундою, відстань світла проходить за одну секунду), а одиниця часу - секунди. Конвертуючи і здійснюючи це віднімання, ми маємо:

Δt Δx Δy Δz
3,786912 × 10 8 с 0,2121 × 10 4 с 1,626 × 10 4 с 0,084 × 10 4 с

Порівнюючи показники часових і просторових чисел, ми можемо побачити, що космічний апарат рухався зі швидкістю на порядку швидкості світла, тому релятивістські ефекти повинні бути невеликими, але не зовсім незначними.104 Оскільки інтервал схожий на час, ми можемо взяти його квадратний корінь і інтерпретувати його як час, що минув на космічному кораблі. Результат єτ=3.786911996×108s. Це0.4s менше часу, що минув у системі відліку сонця.

Гамма-фактор

рис. 1.3.2.png
Малюнок1.3.2: Близнюк «парадокс».

1.3.2Малюнок - релятивістська версія прикладу 1.1.1. Ми маємо намір проаналізувати його за допомогою метрики, і оскільки метрика дає однаковий результат у будь-якому кадрі, ми вибрали для зручності представлення її в кадрі, в якому земля знаходиться в стані спокою. У насv єa=(t,0) іb=(t,vx), де швидкість космічного корабля щодо землі. Застосування метрики дає належний часt для земляного близнюка іt1v2 для подорожуючого близнюка. Ті ж результати застосовуються дляc іd. Результатом є те, що земний близнюк переживає час, який більший за коефіцієнтомγ (грецька буква гамма), визначений якγ=1/1v2. Якщоv поручc,γ може бути великим, і ми виявляємо, що коли астронавт-близнюк повертається додому, ще молодий, земний близнюк може бути старим і сірим. Свого часу це називалося парадоксом близнюків, і це вважалося парадоксальним або тому, що це, здавалося, кидає виклик здоровому глузду, або тому, що подорожуючий близнюк міг стверджувати, що вона була в спокої, поки земля рухалася. Порушення здорового глузду - це насправді те, що спостерігалося в експерименті Хафела-Кітінга, і останній аргумент є помилковим з тих же причин, що і в галілейській версії, наведеній у прикладі 1.1.1.

У нас в цілому таке тлумачення:

Час розширення

Годинник працює найшвидше в рамках відліку спостерігача, який знаходиться в стані спокою щодо годинника. Спостерігач в русі щодо тактової частотиv сприймає годинник як біжать повільніше в разиγ.

рис. 1.3.3.png
Малюнок1.3.3: Графікγ як функціяv.

Хоча це формулюється з точки зору годинників, ми інтерпретуємо це як те, що говорить нам щось про сам час. Ставлення полягає в тому, що ми повинні визначити поняття з точки зору операцій, необхідних для його вимірювання: час визначається як те, що вимірює годинник. Ця філософія, яка була надзвичайно впливовою серед фізиків, називається операціоналізмом і була розроблена П.У.Бріджманом в 1920-х роках Наше оперативне визначення часу працює, оскільки на швидкість всіх фізичних процесів однаково впливає розширення часу. На той час, коли близнюки в фігурі1.3.2 возз'єдналися, подорожуючий близнюк не тільки чув менше кліщів від її антикварних механічних кишенькових годинників, але вона також мала менше серцевих скорочень, і атомний годинник корабля погоджується з її годинником в межах точності годинника.

Затримка часу симетрична в тому сенсі, що вона розглядає всі рамки відліку демократично. Якщо спостерігачіA іB не перебувають у спокої відносно один одного, тоA каже, щоBs час працює повільно, алеB каже,A що це повільний. На малюнку1.3.2 закони фізики не роблять різниці між рамками відліку, які збігаються з векторамиa іb; як і у відповідному Галілеєвському випадку прикладу 1.1.1, асиметрія виникає тому, щоa іc паралельні, але bі неd є.

Як показано в прикладі1.3.4 нижче, послідовність вимагає, щоб крім впливу на час ми мали подібний вплив на відстані:

скорочення довжини

Метр-палиця здається найдовшою спостерігачеві, який перебуває у спокої щодо неї. Спостерігач рухається відносно метра-палиці вv observes the stick to be shortened by a factor of γ.

Візуалізація стиснення довжини в плані просторово-часових діаграм представлена на малюнку 1.4.3. Наше сьогоднішнє обговорення обмежується1+1 розмірами3+1, але в, тільки довжина уздовж лінії руху скорочується.

Міжзоряна дорожня подорож

Аліса залишається на землі, поки її близнюк Бетті вирушає на космічному кораблі для Тау Кеті, сусідньої зірки. Тау Цеті-це12 light-years away, so even though Betty travels at 87% of the speed of light, it will take her a long time to get there: 14 years, according to Alice.

рис. 1.3.4.png
Малюнок 1.3.4: Міжзоряна дорожня подорож

Бетті відчуває розширення часу. На такій швидкості вонаγ є2.0, так що плавання буде здаватися їй лише минулими7 роками. Але існує ідеальна симетрія між рамками відліку Аліси та Бетті, тому Бетті погоджується з Алісою щодо їх відносної швидкості. Бетті бачить себе в стані спокою, тоді як сонце і Тау Кеті обидва рухаються назад зі швидкістю світла.87% Як же тоді вона може спостерігати Тау Кеті, щоб дістатися до неї лише за714 роки, коли на таку швидкість повинні пройти12 роки?

Потрібно враховувати скорочення довжини. Бетті бачить, що відстань між сонцем і Тау Ceti скорочується в рази2. Те ж саме відбувається з Алісою, яка спостерігає за Бетті та її космічним кораблем, щоб бути передбаченими.

Рухомий атомний годинник

рис. 1.3.5.png
Малюнок1.3.5: Час розширення вимірюється атомним годинником на низьких швидкостях. Теоретична крива, показана пунктирною лінією, обчислюється зγ=1/1v2; при цих малих швидкостях наближенняγ1+v2/2 відмінне, а графік не відрізняється від параболи. Цей графік відповідає крайньому крупному вигляду нижнього лівого кута фігури1.3.3. Смуги помилок на експериментальних точках мають приблизно такий же розмір, як і точки.

Розширюючисьγ у серії Тейлора\(\gamma \approx 1 - v^{2}/2\), so that when v is small, relativistic effects are approximately proportional to v2, ми знаходимо, тому дуже важко спостерігати їх на низьких швидкостях. Це стало причиною того, що експеримент Хафель-Кітінга був проведений на борту пасажирських літаків, які літають на високих швидкостях. Струмені, однак, літають на великій висоті, і це приносить в другий раз ефект розширення, загально-відносний вістичний один через гравітацію. Основна мета експерименту полягала в тому, щоб перевірити цей ефект. Лише через чотири десятиліття після Хафеле та Кітінга хтось зробив концептуально простий експеримент з атомним годинником, в якому єдиним ефектом був рух, а не гравітація. Однак у 2010 році Chou et al.7 вдалося побудувати атомний годинник, достатньо точний, щоб виявити розширення часу на швидкості настільки низькою, як10m/s. Figure 1.3.5 показує їх результати. Оскільки рухати весь годинник було непрактично, експериментатори лише перемістили атоми алюмінію всередині годинника, що насправді змусило його «галочкою».

Велика тимчасова дилатація

Ефекти розширення часу, описані в прикладі,1.3.5 були дуже невеликими. Якщо ми хочемо побачити великий ефект розширення часу, ми не можемо зробити це з чимось розміром атомних годин, які вони використовували; кінетична енергія була б більшою, ніж загальний мегатоннаж усіх світових ядерних арсеналів. Однак ми можемо прискорити субатомні частинки до швидкості, з якоюγ велика. Для експериментальних фізиків частинок відносність - це те, що ви робите цілий день, перш ніж відправитися додому і зупинитися в магазині за молоком. Ранній, низькоточний експеримент такого роду був проведений Россі і Холлом в 1941 році, використовуючи природні космічні промені. 1.3.6На малюнку показаний експеримент 1974 подібного типу, який перевіряв розширення часу, передбачене відносністю, з точністю близько однієї частини на тисячу.

рис. 1.3.6.png
Малюнок1.3.6: Зліва: Апарат, який використовується для перевірки релятивістського розширення часу, описаного в цьому прикладі. Видатні чорно-білі блоки - це великі магніти, що оточують круглу трубу з вакуумом всередині. (c) 1974 року ЦЕРН. Праворуч: Мюони прискорюються, щоб майжеc зазнати радіоактивного розпаду набагато повільніше, ніж за словами спостерігача в спокої стосовно мюонів. Перші дві точки даних (незаповнені кола) були схильні до великих систематичних помилок.

Частинкиμ, звані мюонами (названі на честь грецької літери «myoo»), вироблялися прискорювачем в ЦЕРН, недалеко від Женеви. Мюон - це, по суті, важча версія електрона. Мюони піддаються радіоактивному розпаду, триваючи в середньому лише2.197µs before they evaporate into an electron and two neutrinos. The 1974 experiment was actually built in order to measure the magnetic properties of мюони, але він виробляв високоточний тест розширення часу як побічний продукт. Оскільки мюони мають такий же електричний заряд, як електрони, їх можна захопити за допомогою магнітних полів. Мюони вводили в кільце, показане на малюнку 1.3.6, кружляли навколо нього, поки вони не зазнали радіоактивного розпаду. На швидкості, з якою рухалися ці мюони, у них булоγ=29.33, тому в середньому вони тривали29.33 times longer than the normal lifetime. In other words, they were like tiny alarm clocks that самознищуватися в випадково обраний час. Графік показує кількість підрахованих радіоактивних розпадів, як функція часу, що минув після того, як даний потік мюонів був введений в кільце для зберігання. Дві пунктирні лінії показують швидкості розпаду, передбачені з відносністю та без неї. Релятивістська лінія - це та, яка погоджується з експериментом.