1.2: Координати Мінковського

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 1.1: Три моделі простору-часу
- 1.3: Вимірювання

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Визначте координати Мінковського
Побудувати координати Мінковського на графічному папері

Часто зручно називати точки у просторовічасі за допомогою координат, а певний тип іменування, обраний Ейнштейном та Мінковським, є типовим у спеціальній теорії відносності. Я буду посилатися на координати цієї системи як координати Мінковського, і вони є те, що я маю на увазі протягом цієї книги, коли я використовую літери, як $t$ і $x$ (або варіації $x_0$ , як $t_0$ , і т.д.) без подальшого пояснення. Щоб визначити координати Мінковського в $1 + 1$ розмірах, нам потрібно вибрати:

Подія, яку ми вважаємо походженням, $(t,x) = (0,0)$
Вектор-спостерігач $o$
Сторона світової лінії спостерігача, яку ми будемо називати $x$ позитивною стороною, і намалюємо праворуч на діаграмах.

Спостерігач повинен бути інерційним, так що, неодноразово роблячи копії $o$ і прокладаючи їх «кінчик до хвоста», ми отримуємо ланцюжок, яка лежить зверху світової лінії спостерігача і представляє галочки на годиннику спостерігача.

Координати Мінковського використовують одиниці с $c = 1$ . Явно ми визначаємо унікальний вектор, $s$ який є ортогональним до $o$ , вказує в позитивному напрямку і має довжину одного годинника. У практичному плані ортогональність може бути визначена синхронізацією Ейнштейна (приклад 1.1.4), а довжину, організувавши, що радіолокаційне відлуння рухається до кінчика $s$ та назад у двох кліщах.

рис. 1.2.1.png — Ілюстрація $\PageIndex{1}$ : Герман Мінковський (18641909).

Тепер ми будуємо графо-паперову решітку, фігуру $\PageIndex{2}$ , повторюючи вектори $o$ і $s$ . Ця сітка визначає назву $(t,x)$ для кожної точки простору/часу. Загалом, ми живемо у Всесвіті з $3$ просторовими розмірами або $3 + 1$ розмірним простором часу, але координати легко дозволяють це узагальнення, замість цього вибираючи подію $(t_0, x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0, 0)$ як походження. Однак зауважте, що якщо цікаві явища відбуваються на одній лінії, то просторові частини системи координат завжди можна повернути так, що всі події відбуваються на $x$ -осі, і ми можемо знову розглянути $1 + 1$ простір. Це буде так для більшої частини книги, оскільки це дозволяє полегшити візуалізацію та математичний аналіз, а включення двох інших напрямків не особливо просвітлює в більшості випадків.

рис. 1.2.2.png — Малюнок $\PageIndex{2}$ : Набір координат Мінковського.