8.2: Джерела загальної теорії відносності (частина 2)
- Page ID
- 77790
Енергія гравітаційних полів, що не входять до тензора енергії напружень
Узагальнюючи історію результатів Крейцера і Бартлетта-ван Бюрена, ми виявляємо, що спостереження з високою точністю підтверджують одну з визначальних властивостей загальної теорії відносності, яка полягає в тому, що всі форми енергії еквівалентні масі. Тобто знаменитий E = mc 2 Ейнштейна може бути поширений на гравітаційні ефекти, за умови, що джерелом гравітаційних полів насправді є не скаляр m, а тензор напруженості T.
Але є виняток з цієї рівноручної обробки всіх видів енергії, яка полягає в тому, що енергія самого гравітаційного поля не включена в Т, і навіть взагалі не є чітко визначеним поняттям локально. У ньютонівському гравітації ми можемо мати збереження енергії, якщо віднести до гравітаційного поля негативну щільність потенційної енергії\(− \frac{\textbf{g}^{2}}{8 \pi}\). Але принцип еквівалентності говорить нам, що g не тензор, бо ми завжди можемо змусити г зникнути локально, перейшовши в кадр вільно падаючого спостерігача, і все ж закони перетворення тензора ніколи не змінять ненульовий тензор на нульовий тензор при зміні координат. Оскільки гравітаційне поле не є тензором, немає можливості додати для нього термін в визначення стрес-енергії, яка є тензором. Граматика і лексика тензорних позначень спеціально розроблені для того, щоб не допустити записування такої речі, так що мова загальної відносності навіть не здатний висловити думку про те, що гравітаційні поля самі б сприяли Т.
вправа\(\PageIndex{2}\)
Самоперевірка: (1) Переконайте себе, що негативний знак у виразі має\(− \frac{\textbf{g}^{2}}{8 \pi}\) сенс, розглядаючи випадок, коли дві рівні маси починаються далеко один від одного, а потім падають разом і об'єднуються, щоб скласти єдине тіло з подвоєною масою. (2) Ньютонівське гравітаційне поле - це градієнт гравітаційний потенціал\(\phi\), який відповідає в ньютонівській межі часової складової метрики. З цією мотивацією, припустимо, хтось пропонує узагальнити ньютонівську щільність енергії\(− \frac{(\nabla \phi)^{2}}{8 \pi}\) до подібного виразу\(−(\nabla_{a} g^{a}_{b})(\nabla_{c} g^{b}_{c})\), наприклад, де зараз\(\nabla\) коваріантна похідна, а g - метрика, а не напруженість ньютонівського поля. Що йде не так?
Як конкретний приклад ми бачимо, що бінарна пульсарна система Халсе-Тейлора (розділ 6.2) поступово втрачає орбітальну енергію, і що швидкість втрати енергії точно відповідає загальному прогнозу відносності швидкості гравітаційного випромінювання. Відбувається чисте зменшення форм енергії, таких як маса спокою та кінетична енергія, які враховуються в тензорі енергії стресу Т. Ми можемо врахувати відсутню енергію, приписуючи її вихідним гравітаційним хвилям, але ця енергія не включена в Т, і ми повинні розробити спеціальні методики для оцінки цієї енергії. Ці методи застосовуються лише до певних спеціальних типів просторучасу, таких як асимптотично плоскі, і вони не дозволяють однозначно визначену щільність енергії віднести до певної невеликої області простору (бо якби вони це зробили, це порушило б принцип еквівалентності).
Приклад 3: Гравітаційна енергія локально не вимірюється
Коли відкрита нова форма енергії, ми встановлюємо, що це форма енергії, полягає в тому, що вона може бути перетворена в інші форми енергії або з них. Наприклад, Беккерель виявив радіоактивність, помітивши, що фотографічні пластини, залишені в ящику столу разом з солями радію, помутніли: якась нова форма енергії була перетворена в раніше відомі форми, такі як хімічна енергія. Тільки в цьому обмеженому сенсі енергія коли-небудь локально спостережувана, і це обмеження заважає нам осмислено визначити певні заходи енергії. Наприклад, ми ніколи не можемо виміряти місцевий електричний потенціал у тому ж сенсі, що ми можемо виміряти місцевий барометричний тиск; потенціал 137 вольт має значення лише щодо якоїсь іншої області простору, прийнятої на землю. Давайте використаємо акронім MELT для позначення вимірювання енергії шляхом локального перетворення цієї енергії з однієї форми в іншу.
Причина роботи MELT полягає в тому, що енергія (або фактично імпульс чотири-вектор) локально зберігається, що виражається властивістю нульової дивергенції тензора напруження-енергії. Без консервації не існує поняття трансформації. Рівняння поля Ейнштейна передбачають цю властивість нульової розбіжності, і польові рівняння були добре перевірені різними спостереженнями, включаючи багато спостережень (таких як тести сонячної системи та спостереження за системою Халсе-Тейлора), які в ньютонівських термінами будуть описані як залучені (нелокальні) перетворення між кінетичною енергією і енергією гравітаційного поля. Така згода з спостереженням досягається прийомом Т = 0 у вакуумі незалежно від гравітаційного поля. Тому будь-яке локальне перетворення енергії гравітаційного поля в іншу форму енергії було б неузгоджене з попереднім спостереженням. Це означає, що MELT неможливий для енергії гравітаційного поля.
Зокрема, припустимо, що спостерігач А здійснює локальний РОЗПЛАВ енергії гравітаційного поля, і що А бачить це як процес, в якому гравітаційне поле зменшується за інтенсивністю, викликаючи виділення якоїсь іншої форми енергії, такої як тепло. Тепер розглянемо ситуацію, яку бачить спостерігач Б, який вільно падає в тому ж місцевому регіоні. Б говорить про те, що ніколи не було ніякого гравітаційного поля в першу чергу, і тому бачить тепло як порушення локального збереження енергії. У кадрі Б це ненульова розбіжність тензора напруження-енергія, яка фальсифікує рівняння поля Ейнштейна.
Деякі приклади
Закінчуємо це вступ до тензора стрес-енергії деякими наочними прикладами.
Приклад 4: Ідеальна рідина
Для ідеальної рідини ми маємо $T_ {ab} = (\ rho + P) v_ {a} v_ {b} - spG_ {ab},\ tag {8.1.11}\]
де s = 1 для нашого + − −− підпису або −1 для підпису − + ++, а v представляє координатну швидкість кадру спокою рідини.
Припустимо, що метрика діагональна, але її складові змінюються, g \(\alpha \beta\)= діаг (A 2, −B 2,.). Правильно нормований вектор швидкості спостерігача при (координаті-) спокої дорівнює v \(\alpha\)= (A −1, 0, 0, 0). Зниження показника дає v \(\alpha\)= (sA, 0, 0, 0). Різні форми тензора енергії стресу виглядають наступним чином:
\[\begin{split} T_{00} &= A^{2} \rho \qquad \; \; \; T_{11} = B^{2} P \\ T^{0}_{0} &= s \rho \qquad \quad \; \; T^{1}_{1} = -sP \\ T^{00} &= A^{-2} \rho \qquad T^{11} = B^{-2} P \ldotp \end{split}\]
Приклад 5: мотузка, що звисає в просторі Шварцшильда
Припустимо, ми хочемо опустити відро на мотузці до горизонту подій чорної діри. Деякі якісні зауваження щодо цієї ідеї ми вже зробили на прикладі 14 на стор. 64. Цей, здавалося б, примхливий приклад виявляється гарною демонстрацією деяких прийомів, а також може бути використаний в думкових експериментах, які ілюструють визначення маси в загальній теорії відносності і які досліджують деякі ідеї про квантову гравітацію. 5
Метрика Шварцшильда (розділ 6.2)
\[ds^{2} = t^{2} dt^{2} - t^{-2} dr^{2} + \ldots, \tag{8.1.12}\]
де f = (1 −\ f (\ frac {2m} {r}\)) 1/2, і. являє собою кутові члени. В кінцевому підсумку нам знадобляться такі символи Крістоффеля:
\[\begin{split} \Gamma^{t}_{tr} &= \frac{f'}{f} \\ \Gamma^{\theta}_{\theta r} &= \Gamma^{\phi}_{\phi r} = r^{-1} \end{split}\]
Оскільки просторовий час має сферичну симетрію, в кінцевому підсумку зручніше розглядати мотузку, форма якої, а не циліндрична, є конусом, визначеним деяким набором\((\theta, \phi)\). Для зручності беремо цей набір для покриття блоку суцільним кутом. Кінцеві результати, отримані таким чином, можуть бути легко перетворені в твердження про циліндричну мотузку. Ми дозволяємо μ бути масою на одиницю довжини мотузки, а Т - натяг. Обидва вони можуть залежати від r Відповідна щільність енергії і напруження при розтягуванні є\(\rho = \frac{\mu}{A} = \frac{\mu}{r^{2}}\) і S =\(\frac{T}{A}\). Щоб підключити це до тензора енергії стресу, ми почнемо з порівняння з випадком ідеальної рідини з прикладу 4. Оскільки мотузка зроблена з волокон, які мають міцність тільки в радіальному напрямку, у нас буде T \(\theta \theta\)= T \(\phi \phi\)= 0. Крім того, напруга є розтягуванням, а не стисненням, що відповідає негативному тиску. Координати Шварцшильда є ортогональними, але не ортонормальними, тому правильно нормована швидкість статичного спостерігача має коефіцієнт f в ній: v \(\alpha\)= (f −1, 0, 0, 0), або, знижуючи індекс, v \(\alpha\)= (f, 0, 0, 0). Результати прикладу 4 показують, що змішано-індексна форма T буде найбільш зручною, оскільки вона може бути виражена без безладних факторів f.
\[T^{\kappa}_{\nu} = diag(\rho, S, 0, 0) = r^{-2} diag(\mu, T, 0, 0) \ldotp \tag{8.1.13}\]
Записуючи тензор напруження-енергії в такому вигляді, який не залежить від t, ми прийняли статичну рівновагу поза горизонтом подій. Усередині горизонту координата r - це час, як один, сам простор не статичний, і ми не очікуємо знайти статичні рішення, з причин, наведених у прикладі 14.
Збереження енергії задовольняється автоматично, так як немає тимчасової залежності. Збереження радіального імпульсу виражається
\[\nabla_{\kappa} T^{\kappa}_{r} = 0, \tag{8.1.14}\]
або
\[0 = \nabla_{r} T^{r}_{r} + \nabla_{t} T^{t}_{r} + \nabla_{\theta} T^{\theta}_{r} + \nabla_{\phi} T^{\phi}_{r} \ldotp \tag{8.1.15}\]
Було б спокусливо викинути все, крім першого терміну, так як T діагональний, і тому\(T^{t}_{r} = T^{\theta}_{r} = T^{\phi}_{r} = 0\). Однак коваріантна похідна може бути ненульовою, навіть коли диференційований символ зникає однаково. Виписуючи ці чотири терміни, ми маємо
\[\begin{split} 0 &= \partial_{r} T^{r}_{r} + \Gamma^{r}_{rr} T^{r}_{r} - \Gamma^{r}_{rr} T^{r}_{r} \\ &+ \Gamma^{t}_{tr} T^{r}_{r} - \Gamma^{t}_{tr} T^{t}_{t} \\ &+ \Gamma^{\theta}_{\theta r} T^{r}_{r} \\ &+ \Gamma^{\phi}_{\phi r} T^{r}_{r}, \end{split}\]
де кожен рядок відповідає одній коваріантній похідній. Оцінюючи це, ми маємо
\[0 = T' + \frac{f'}{f} T - \frac{f'}{f} \mu, \tag{8.1.16}\]
де простих чисел позначають диференціювання по відношенню до r. зверніть увагу, що оскільки жодних термінів виду не\(\partial_{r} T^{t}_{t}\) відбувається, цей вираз дійсний незалежно від того, приймаємо ми μ як постійним, так і змінним. Таким чином ми вільні брати\(\rho \propto r^{−2}\), так що\(\mu\) є постійним, а це означає, що наш результат однаково застосовний до однорідної циліндричної мотузки. Цей результат перевіряється за допомогою комп'ютерного програмного забезпечення в прикладі 6.
Це диференціальне рівняння, яке говорить нам про те, як змінюється напруга розтягування в мотузці по його довжині. Коефіцієнт\(\frac{f'}{f} = \frac{m}{r(r −2m)}\) вибухає на горизонті подій, що, як і очікувалося, оскільки ми не очікуємо, що зможемо опустити мотузку до або нижче горизонту.
Давайте перевіримо межу Ньютона, де гравітаційне поле - g, а потенціал -\(\Phi\). У цій межі ми маємо f ≈ 1 −\(\Phi\),\(\frac{f'}{f}\) ≈ g (з g > 0) і\(\mu\) >> T, в результаті чого
\[0 = T' - g \mu \ldotp \tag{8.1.17}\]
що є очікуваним ньютонівським відношенням.
Повертаючись до повного загально-релятивістського результату, можна показати, що для завантаженої мотузки без власної маси ми маємо кінцевий результат для\(lim_{r \rightarrow \infty}\) Т, навіть коли відро підводиться довільно близько до горизонту. (Розв'язок в даному випадку якраз T =\(\frac{T_{\infty}}{f}\), де T ∞ - напруга при r = ∞.) Однак це вводить в оману без застереження, що для\(\mu\) < T швидкість поперечних хвиль у мотузці більша за c, що неможливо для будь-якої відомої форми матерії - це порушило б умову нульової енергії, розглянуту в наступному розділі.
5 Браун, «Міцність на розрив і видобуток чорних дір», arxiv.org/abs/ 1207.3342
Приклад 6: Мотузка з використанням комп'ютерної алгебри
Результат прикладу 5 можна перевірити наступним кодом Maxima:
Енергетичні умови
Фізичні теорії повинні відповідати на питання. Наприклад:
- Чи завжди досить маленький фізичний об'єкт має світову лінію, яка є приблизно геодезичною?
- Чи руйнуються масивні зірки, утворюючи особливості чорної діри?
- Чи зародився наш Всесвіт в особливості Великого вибуху?
- Якщо наш Всесвіт наразі не має порушень причинно-наслідкового зв'язку, таких як замкнуті часоподібні криві, виставлені метрикою Петрова (розділ 7.5), чи можемо ми бути впевнені, що вона ніколи не розвине порушення причинно-наслідкового зв'язку в майбутньому?
Ми хотіли б «довести», чи відповіді на подібні питання так чи ні, але фізичні теорії не є формальними математичними системами, в яких результати можуть бути «доведені» абсолютно. Наприклад, основна структура загальної відносності - це не набір аксіом, а перелік інгредієнтів, таких як принцип еквівалентності, який ухилився від формального визначення. 6
Навіть польові рівняння Ейнштейна, які, здається, цілком чітко визначені, не є математично формальними прогнозами поведінки фізичної системи. Польові рівняння агностичні на питання про те, які види матеріальних полів сприяють тензору напруження-енергії. Фактично, будь-який простор-час взагалі є рішенням рівнянь поля Ейнштейна, за умови, що ми готові визнати відповідний тензор стрес-енергії. Ми ніколи не можемо відповісти на запитання, подібні до вищезазначених, не припускаючи чогось про тензор енергії стресу.
У прикладі 14 ми побачили, що випромінювання має P =,\(\frac{\rho}{3}\) а пил має P = 0. Обидва мають\(\rho\) ≥ 0. Якщо Всесвіт складається з нічого, крім пилу та випромінювання, то ми можемо отримати наступні чотири обмеження на тензорі енергії-імпульсу:
| трасування енергетичного стану | \(\rho - 3P \geq 0\) |
| сильний енергетичний стан | \(\rho + 3P \geq 0\; and\; \rho + P \geq 0\) |
| домінантний енергетичний стан | \(\rho \geq 0\; and\; |P| \leq \rho\) |
| слабкий енергетичний стан | \(\rho \geq 0\; and\; \rho + P \geq 0\) |
| нульовий енергетичний стан | \(\rho + P \geq 0\) |
Вони розташовані приблизно по порядку від найсильніших до найслабших. Всі вони пов'язані з ідеєю, що негативна масова енергія, здається, не існує у нашому Всесвіті, тобто, що гравітація завжди приваблива, а не відштовхуюча. З цією мотивацією, здавалося б, повинен бути тільки один спосіб констатувати енергетичний стан:\(\rho\) > 0. А ось символи\(\rho\) і Р відносяться до форми тензора напруження-енергії в спеціальній системі відліку, інтерпретується як та, яка знаходиться в спокої щодо середнього руху навколишнього речовини. (Такий каркас навіть не гарантовано існуватиме, якщо справа не діє як ідеальна рідина.) У цьому кадрі тензор діагональний. Перемикаючись на якусь іншу систему відліку,\(\rho\) і P частини тензора змішувалися б, і це може бути можливо в кінцевому підсумку з негативною щільністю енергії. Слабкий енергетичний стан - це обмеження, яке нам потрібно для того, щоб переконатися, що щільність енергії ніколи не є негативною в будь-якому кадрі.
Домінуюча енергетична умова схожа на слабку енергетичну умову, але вона також гарантує, що жоден спостерігач не побачить потік енергії, що протікає зі швидкістю, більшою за c.
Сильний енергетичний стан по суті стверджує, що гравітація ніколи не відштовхує; вона порушується космологічною константою (див. Розділ 8.2).
Приклад 7: Електромагнітна хвиля
У прикладі 1 ми побачили, що пил, збільшений вздовж осі x, дав тензор енергії напруженості
\[T_{\mu \nu} = \gamma^{2} \rho \begin{pmatrix} 1 & v \\ v & v^{2} \end{pmatrix}, \tag{8.1.18}\]
де ми тепер придушити y і z частини, які зникають. Для v → 1 це стає
\[T_{\mu \nu} = \rho' \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \tag{8.1.19}\]
де\(\rho'\) - щільність енергії, виміряна в новому кадрі. Як джерело гравітаційних полів, ця ультрарелятивістська пил не відрізняється від будь-якої іншої форми речовини з v = 1 по осі х, тому це також тензор напруження-енергії електромагнітної хвилі з місцевою щільністю енергії ρ 0, що поширюється по осі х. (Повний вираз тензора енергії напруження-довільного електромагнітного поля див. У статті Вікіпедії «Тензор електромагнітного напруження-енергії».)
Це тензор стрес-енергії, який представляє потік енергії зі швидкістю, рівною c, тому ми очікуємо, що він буде лежати точно на межі, накладеної домінуючим енергетичним умовою (DEC). Наша заява ОВК, однак, була зроблена для діагонального тензора напруження-енергії, що є тим, що бачить спостерігач у спокої щодо питання. Але ми знаємо, що неможливо мати спостерігача, який, як уявляв підліток Ейнштейн, їде поруч з електромагнітною хвилею на мотоциклі. Один із способів впоратися з цим - узагальнити наше визначення енергетичного стану. Для ОВК виходить, що це можна зробити, вимагаючи, щоб матриця Т при множенні на вектор на або всередині майбутнього світлового конуса давала інший вектор на конусі або всередині нього.
Менш елегантний, але більш конкретний обхідний шлях полягає в наступному. Повертаючись до вихідного виразу для T посиленого пилу зі швидкістю v, відпускаємо v = 1 +\(\epsilon\), де |\(\epsilon\) | << 1. Це дає тензор стрес-енергії, який (ігноруючи мультиплікативні константи) виглядає так:
\[\begin{pmatrix} 1 & 1 + \epsilon \\ 1 + \epsilon & 1 + 2 \epsilon \end{pmatrix} \ldotp \tag{8.1.20}\]
Якщо негативний, у нас\(\epsilon\) є ультрарелятивістський пил, і ми можемо переконатися, що він задовольняє DEC, не підвищуючи назад до решти кадру. Для цього ми можемо знайти власні вектори матриці, які (ігноруючи умови порядку\(\epsilon^{2}\)) є (1, 1 +\(\epsilon\)) та (1, 1 −\(\epsilon\)), з власними значеннями 2 + 2\(\epsilon\) та 0 відповідно. Для\(\epsilon\) < 0 першим з них є timelike, другий spacelike. Ми інтерпретуємо їх просто як базисні вектори t і x кадру решти, в якому ми спочатку описували пил. Використовуючи їх в якості основи, тензор стрес-енергії набуває вигляду діаг (2 + 2\(\epsilon\), 0). За винятком постійного фактора, який ми не спромоглися відстежувати, це оригінальна форма T в кадрі відпочинку пилу, і він явно задовольняє DEC, оскільки P = 0.
Для\(\epsilon\) > 0, v = 1 +\(\epsilon\) - це швидкість, більша за швидкість світла, і немає можливості побудувати прискорення, відповідне −v. Тим не менш, ми можемо знайти систему відліку, в якій тензор енергії напруженості діагональний, що дозволяє нам перевірити DEC. Вирази, знайдені вище для власних векторів та власних значень, все ще дійсні, але тепер тимчасові та просторові символи двох базисних векторів були замінені місцями. Тензор напружено-енергії має вигляд diag (0, 2 + 2\(\epsilon\)), with\(\rho\) = 0 і P > 0, що порушує ОВК. Як і в цьому прикладі, будь-який потік мас-енергії при швидкостях більше c порушить ОВК.
DEC підкоряється\(\epsilon\) < 0 і порушується\(\epsilon\) для> 0, а оскільки\(\epsilon\) = 0 дає тензор енергії напруженості, рівний тензору електромагнітної хвилі, ми можемо сказати, що світло знаходиться саме на кордоні між формами матерії, які виконують DEC, і тими, які не роблять. як нестрога нерівність, випливає, що світло підкоряється ОВК.
Приклад 8: Немає «швидкості потоку»
Вищевикладене обговорення, можливо, спонукало читача вважати, що взагалі можна зачитати «швидкість потоку енергії» від значення T в точці. Це неправда.
Складність полягає в різниці між течією з накопиченням і без нього, що іноді є дійсним, а іноді ні. Навесні в Сьєрра-Неваді сніготанення швидше додає води в альпійські озера, ніж може витікати, і рівень води підвищується. Це потік з накопиченням. Восени відбувається зворотне, і у нас потік з виснаженням (негативним накопиченням).
На малюнку 8.1.5 (1) показаний другий приклад, в якому розмежування здається дійсним. Заряд протікає через лампочку, але оскільки в ланцюзі постійного струму немає накопичення заряду, ми не можемо виявити потік електростатичним вимірюванням; провід не притягує крихітні шматочки паперу під ним на столі.
Але ми знаємо, що за допомогою різних вимірювань ми могли б виявити потік заряду на малюнку 8.1.5 (1). Наприклад, магнітне поле від дроту відхиляло б сусідній магнітний компас. Це показує, що різниця між потоком з накопиченням і без нього може бути іноді дійсною, а іноді і недійсною. Потік без накопичення може бути виявлений або не може бути виявлений; це залежить від фізичного контексту.
На малюнку 8.1.5 (2) електричний заряд і магнітний диполь накладені в точці. Вектор Пойнтінга P, що визначається як E × B, використовується в електромагнетизмі як міра потоку енергії, і він говорить правду, наприклад, коли сонце зігріває ваше сонце в спекотний день. Однак на малюнку 8.1.5 (2) всі поля статичні. Здається, ніби потоку енергії бути не може. Але це не означає, що вектор Пойнтінга бреше нам. Це говорить нам, що існує схема потоку, але це потік без накопичення; вектор Пойнтінга утворює кругові петлі, які закриваються на собі, і електромагнітна енергія транспортується всередину і з будь-якого об'єму з однаковою швидкістю. Можливо, ми б вважали за краще мати математичне правило, яке дало нуль для потоку в цій ситуації, але прийнятно, що наше правило P = E × B дає ненульовий результат, оскільки воно не неправильно прогнозує накопичення, що і є те, що було б виявлено.
Малюнок\(\PageIndex{5}\)
Тепер припустимо, що ми представили цей тензор енергії стресу, виміряний в одній точці і виражений в деяких одиницях:
\[T^{\mu \nu} = \begin{pmatrix} 4.037 \pm 0.002 & 4.038 \pm 0.002 \\ 4.036 \pm 0.002 & 4.036 \pm 0.002 \end{pmatrix} \ldotp \tag{8.1.21}\]
Щоб в межах експериментальних смуг помилок, він має правильну форму, щоб бути багато різних речей: (1) Ми могли б мати Всесвіт, наповнений ідеально рівномірним пилом, рухаючись вздовж осі x з деякою ультрарелятивістською швидкістю v настільки велика, що\(\epsilon\) in v = 1 -\(\epsilon\), як у прикладі 7, не виявляється виявлено відрізняється від нуля. (2) Це може бути точка, відібрана з електромагнітної хвилі, що рухається вздовж осі x. (3) Це може бути точка, взята з малюнка 8.1.5 (2). (У випадках 2 і 3 недіагональні елементи - це просто вектор Пойнтінга.)
У випадках 1 і 2 ми були б схильні інтерпретувати цей тензор напруги енергії, кажучи, що його позадіагональна частина вимірює потік масової енергії вздовж осі x, тоді як у випадку 3 ми б відкинули таку інтерпретацію. Проблема тут полягає не стільки в нашій інтерпретації T, скільки в наших ньютонівських очікуваннях щодо того, що є чи не спостерігається про потоки, які течуть без накопичення. У ньютонівській механіці потік маси спостерігається, незалежно від того, чи є накопичення, оскільки він несе імпульс; однак потік енергії не можна виявити, якщо накопичення немає. Проблема тут полягає в тому, що релятивістично ми не можемо підтримувати цю різницю між масою та енергією. Рівняння поля Ейнштейна говорять нам, що потік або буде сприяти в рівній мірі стрес-енергії, а отже, і в навколишнє гравітаційне поле.
Потік енергії на малюнку 8.1.5 (2) сприяє гравітаційному полю, і його внесок змінюється, наприклад, якщо магнітне поле зворотне. Цифра насправді є непоганим якісним відображенням просторучасу навколо обертової, зарядженої чорної діри. Однак на великих відстанях гравітаційний ефект позадіагональних термінів у T стає малим, оскільки вони середні майже до нуля на досить великій сферичній області. Віддалене гравітаційне поле наближається до точки маси з однаковою масовою енергією
Приклад 9: Імпульс у статичних полах
Продовжуючи хід думок, описаний в прикладі 8, ми можемо придумати ситуації, які здаються ще більш парадоксальними. На малюнку 8.1.5 (2) загальний імпульс полів зникає симетрією. Однак ця симетрія може бути порушена зміщенням електричного заряду на Δ R перпендикулярно магнітному дипольному вектору D. Загальний імпульс більше не зникає, і тепер лежить у напрямку D × ↑ R. Але ми довели в прикладі 2, що центр масової енергії системи знаходиться в стані спокою тоді і тільки тоді, коли її загальний імпульс дорівнює нулю. Оскільки центр масової енергії цієї системи, безумовно, знаходиться в стані спокою, де інший імпульс, який скасовує імпульс електричного та магнітного полів?
Припустимо, наприклад, що магнітний диполь складається з петлі мідного дроту з біжить навколо нього струмом. Якщо ми відкриємо вимикач і гасимо диполь, то виявиться, що система повинна віддалитися! Це здається неможливим, так як поля статичні, а електричний заряд не взаємодіє з магнітним диполем.
Бабсон та ін. 7 проаналізували ряд прикладів цього типу. У теперішньому таємничий «інший імпульс» можна віднести до релятивістського дисбалансу між моментами електронів в різних ділянках дроту. Тонкий момент щодо цих прикладів полягає в тому, що навіть у випадку ідеалізованого диполя зникаючого невеликого розміру, це має значення, яку структуру ми припускаємо для диполя. Зокрема, імпульс поля ненульовий для диполя, виготовленого з контуру струму нескінченно малих розмірів, але нульовим для диполя, виготовленого з двох магнітних монополів. 8
7 ранку. Фіз 77 (2009) 826
8 Мілтон і Мейль, arxiv.org/abs/1208.4826
Посилання
6 «Теорія теорій гравітації: звіт про відсутність прогресу», Сотіріу, Фараоні та Лібераті, http://arxiv.org/abs/0707.2748