Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.2: Еліпс

Еліпс - це фігура, яку можна намалювати, встромивши дві шпильки в аркуш паперу, прив'язавши до шпильок довжину струни, натягнувши натягнуту олівцем струну і намалювавши отриману фігуру. Під час цього процесу сума двох відстаней від олівця до одного штифта і від олівця до іншого штифта залишається постійною і дорівнює довжині струни. Цей метод малювання еліпса дає нам формальне визначення, яке ми приймемо в цьому розділі, еліпса, а саме:

Еліпс - це локус точки, яка рухається таким чином, що сума її відстаней від двох нерухомих точок, які називаються вогнищами, є постійною (див. Рис. II.6).

альт
FIGURE II.6

Назвемо суму цих двох відстаней (тобто довжини рядка)2a. Ставлення відстані між осередками до довжини струни називається ексцентриситетомe еліпса, так що відстань між вогнищами дорівнює2ae, іe є числом між 0 і 1.

Найдовша вісь еліпса - це його велика вісь, і трохи думки покаже, що його довжина дорівнює довжині рядка; тобто2a. Найкоротша вісь - це незначна вісь, а її довжина зазвичай позначається2b. Ексцентриситет пов'язаний із співвідношенням такимb/a чином, який ми коротко обговоримо.

Співвідношення

η=(ab)/a

називається еліптичністю еліпса. Це лише альтернативна міра нециркулярності. Це пов'язано з ексцентриситетом, і ми отримаємо це відношення незабаром, теж. До цього часуII.7 на малюнку зображено відношення між ними.

альт
FIGURE II.7

Ми використаємо наше визначення еліпса, щоб отримати його Рівняння в прямокутних координатах. Ми розмістимо два осередки наx осі -у координатах (−ae, 0) та (ae, 0) (див. Рис. II.8).

альт
FIGURE II.8

Визначення цього вимагаєPF1+PF2=2a. Тобто:

[(x+ae)2+y2]12+[(xae)2+y2]12=2a,

і це рівняння до еліпса. Читач повинен вміти, трохи трохи незручною алгебри, показати, що це можна написати зручніше, як

x2a2+y2a2(1e2)=1.

Поставившиx=0, видно, що еліпс перетинаєy -вісь на±a1e2 і, отже, щоa1e2 дорівнює півмалій осіb. Таким чином, ми маємо знайоме Рівняння до еліпса.

x2a2+y2b2=1

а також важливе співвідношення міжa,b іe:

b2=a2(1e2)

Читач також тепер може вивести зв'язок між еліптичністюη та ексцентричністюe:

η=1(1e2).

Це також може бути написано

e2=η(2η)

абоe2+(η1)2=1.

Це показує, до речі, що графікη протиe, який ми намалювали на малюнкуII.7, є частиною кола радіуса 1 по центруe=0, η=1.

На малюнкахII.9 я намалював еліпси ексцентриситетів від 0,1 до 0,9 з кроком 0,1, а на малюнкуII.10 я намалював еліпси еліптичності від 0,1 до 0,9 з кроком 0,1. Ви можете виявити, що еліптичність дає вам краще уявлення, ніж ексцентриситет неокружності еліпса. Для вправи слід малювати в положеннях вогнищ кожного з цих еліпсів, і вирішити, чи дає ексцентриситет або еліптичність краще уявлення про «ексцентриситет» вогнищ. Відзначимо, що ексцентриситети орбіт Марса і Меркурія складають, відповідно, близько 0,1 і 0,2 (це самі ексцентричні з планетарних орбіт крім комет Плутона), і оку важко помітити, що вони взагалі відходять від кіл - хоча, коли осередки намальовані, очевидно що вогнища «екс-центричні».

альт
FIGURE II.9: Число всередині кожного еліпса - це його ексцентриситет.

альт
FIGURE II.10: Фігура всередині або під кожним еліпсом - це його еліптичність.

У теорії планетарних орбіт Сонце буде знаходитися в одному фокусі. Припустимо, що це буде наF2 (див. МалюнокII.8). У цьому випадку відстаньF2 B дорівнює перигелієвій відстаніq, і дорівнює

q=a(1e).

ВідстаньF2 A - це афелійна відстань Q (деякими вимовляється афелієм та афелієм іншими - і обидва мають захисні позиції), і вона дорівнює

Q=a(1+e).

Лінія, паралельна малій осі і проходить через вогнище, називається широкою прямою кишкою (множина: latera recta). Довжина semi latus прямої кишки зазвичай позначаєтьсяl (іноді шляхомp). Його довжина отримується шляхом введенняx=ae рівняння до еліпса, і буде легко виявлено, що

l=a(1e2).

Довжина прямої кишки semi latus є важливою величиною в теорії орбіти. Буде встановлено, наприклад, що енергія планети тісно пов'язана з напівпровідною віссюa її орбіти, тоді як її кутовий імпульс тісно пов'язаний з напівстатевої прямої кишки.

Коло, діаметр якого є великою віссю еліпса, називається ексцентриковим колом або, бажано, допоміжним колом (фігуроюII.11). Його рівняння

x2+y2=a2.


альт
FIGURE II.11

В теорії орбіти кутv (позначається деякимиf авторами) називається справжньою аномалією планети на її орбіті. КутE називається ексцентричної аномалією, і важливо знайти зв'язок між ними.

Спочатку зауважимо, що, якщо ексцентрична аномалія єE, абсцисиP і зP є кожноюacosE. ОрдинатаP єasinE. Поставившиx=acosE в Рівняння до еліпса, ми відразу виявляємо, що ординатаP єbsinE. Далі слід кілька відрахувань. Одна з них полягає в тому, що будь-яка точка, абсциса та ордината якої мають форму

x=acosE,y=bsinE

знаходиться на еліпсі напіввеликоїa осі та напівмалої осіb. Ці два рівняння можна розглядати як параметричні рівняння до еліпса. Їх можна використовувати для опису еліпса так само легко, як

x2a2+y2b2=1

і справді це рівнянняE - елімінатор параметричних рівнянь.

СпіввідношенняPM/PM для будь-якої лінії, перпендикулярної до великої осі, дорівнюєb/a. Отже, площа еліпса вb/a рази перевищує площу допоміжного кола; а оскільки площа допоміжного кола єπa2, то випливає, що площа еліпса єπab.

На малюнкуII.11 відстаньr називається вектором радіуса (векторами радіусів множини), а з теореми Піфагора його довжина задається

r2=b2sin2E+a2(cosEe)2.

Замінюючиsin2E і1cos2Ea2(1e2) дляb2, ми незабаром виявимо, що

r=a(1ecosE)

Потім відразу випливає, що бажане співвідношення міжv іE є

cosv=cosEe1ecosE.

З тригонометричних ідентичностей це також можна записати

sinv=1e2sinE1ecosE

абоtanv=1e2sinEcosEe

абоtan12v=1+e1etan12E.

Також можуть бути корисні зворотні формули:

cosE=e+cosv1+ecosv

sinE=sinv1e2e+cosv

tanE=sinv1e2e+cosv

tan12E=1e1+etan12v.

Існує ряд різних геометричних властивостей еліпса, деякі, але не обов'язково всі, з яких можуть виявитися корисними в орбітальних розрахунках. Деякі з них ми опишемо в наступному.

Дотичні до еліпса

Знайдіть, де прямаy=mx+c перетинає еліпс

x2a2+y2b2=1.

Відповідь на це питання можна знайти, підставившиmx+cy в Рівняння на еліпс. Після деякої перестановки, квадратне рівняння вx результаті:

(a2m2+b2)x2+2a2cmx+a2(c2b2)=0.

Якщо це рівняння має два дійсних кореня, корінняx - це координати двох точок, де лінія перетинає еліпс. Якщо він не має справжніх коренів, лінія пропускає еліпс. Якщо він має два збігаються реальних кореня, лінія дотична до еліпса. Умова для цього знаходить шляхом встановлення дискримінанту квадратного рівняння в нуль, з якого встановлено, що

c2=a2m2+b2.

Таким чином, пряма лінія форми

y=mx±a2m2+b2

дотична до еліпса.

II.12На малюнку зображено кілька таких ліній, дляa=2b іtan1 m) нахилів (від0 до180 з кроком10

FIGURE II.12
альт

Коло режисера

Рівняння, яке ми щойно вивели для дотичної до еліпса, можна переставити на читання

m2(a2x2)+2mx+b2y2=0.

Тепер добуток нахилів двох ліній, які знаходяться під прямим кутом один до одного, є1 (Рівняння 2.2.17). Тому, якщо ми замінимоm у наведеному вище Рівняння на,1/m ми отримаємо ще одну дотичну до еліпса, під прямим кутом до першого. Рівняння до цієї другої дотичної стає (після множення наm)

m2(b2y2)2mx+a2x2=0.

Якщо ми усунемоm з цих двох рівнянь, ми отримаємо рівняння вx,y яке описує точку, де зустрічаються два перпендикулярні тангенси; тобто рівняння, яке опише криву, яка є локусом точки перетину двох перпендикулярних тангенсів. Виходить, що ця крива є окружністю радіусаa2+b2, і називається вона директорським колом.

Це простіше, ніж може здатися спочатку усунутиm з Рівняння. Ми просто повинні додати рівняння2.3.22 і2.3.23:

m2(a2+b2x2y2)+a2+b2x2y2=0.

По-справжньомуm, це може бути тільки в тому випадку, якщо

x2+y2=a2+b2,

який є необхідним локусом окружності директора радіусаa2+b2. Вона проілюстрована на малюнкуII.13.

Тепер ми виведемо рівняння до лінії, яка є дотичною до еліпса в точці(x1, y1).

(x1, y1)=(acosE1,bsinE1)(x2, y2)=(acosE2,bsinE2)Дозволяти і бути дві точки на еліпсі.

Лінія, що з'єднує ці дві точки

ybsinE1xacosE1=b(sinE2sinE1)a(cosE2cosE1)=2bcos12(E2+E1)sin12(E2E1)2asin12(E2+E1)sin12(E2E1)=bcos12(E2+E1)asin12(E2+E1).

альт
FIGURE II.13

Тепер давайтеE2 наблизитисяE1, врешті-решт збігаючись з ним. Отримане рівняння

ybsinExacosE=bcosEasinE,

в якому ми більше не розрізняємоE1 іE2, є Рівняння прямої, яка є дотичною до еліпса в(acosE ,bsinE). Це можна написати

xcosEa+ysinEb=1

або, з точки зору(x1, y1),

x1xa2+y1yb2=1,

яка є дотичною до еліпса в(x1, y1).

Цікава властивість дотичної до еліпса, доказ якого я залишаю читачеві, полягає в тому, щоF1P іF2P зробити рівні кути з дотичною вP. Якби внутрішня частина еліпса була дзеркалом, що відбиваєF1, а точкове джерело світла було б розміщено наF2. (Подивіться на фігуруII.6 абоII.8.) Це мало цікаве медичне застосування. У пацієнта є камінь в нирках. Пацієнта просять полежати в еліптичній ванні, з нирковим каменем приF2. Невеликий вибух детонується приF1; вибухонебезпечна звукова хвиля, щоF1 виходить з, фокусується як імплозія наF2 і нирковий камінь приF2 руйнується. Не намагайтеся це вдома.

Директори

Дві лініїx=±a/e називаються директрисами (одниною директрисою) еліпса (фігураII.14).

альт
FIGURE II.14

Еліпс має властивість, що для будь-якої точкиP на еліпсі відношення відстаніPF2 до фокусу до відстаніPN до директриси є постійним і дорівнює ексцентриситету еліпса. Дійсно, ця властивість іноді використовується як визначення еліпса, і всі Рівняння і властивості, які ми маємо до сих пір похідні, можна вивести з такого визначення. Ми, однак, прийняли інше визначення, і властивість focus-directrix повинна бути виведена. Це просто, бо, (нагадуючи, що абцисаF2 єae) ми бачимо з малюнкаII.14, що квадрат потрібного співвідношення є

(xae)2+y2(a/ex)2.

Про заміну

b2(1(xa)2)=a2(1e2)(1(xa)2)=(1e2)(a2x2)

боy2, наведене вище вираз, як видно, звести доe2.

Ще одна цікава властивість фокусу та директриси, хоча властивість, ймовірно, не має великого застосування до теорії орбіти, полягає в тому, що якщо дотична до еліпса в точціP перетинає директрису вQ, тоP іQ субтенд прямий кут у фокусі. (Див. МалюнокII.15).

альт
FIGURE II.15

Таким чином, тангенсP=(x1, y1) при

x1xa2+y1yb2=1

і це просто показати, що вона перетинає директрисуx=a/e в точці

(ae,b2y1(1x1ae)).

Координати фокусуF2 є(ae,0). Нахил лініїPF2 є,(x1ae)/y1 а нахил лініїQF2 дорівнює

b2y1(1x1ae)aeae.

Легко показати, що твір цих двох схилів є1, а значить, щоPF2 іQF2 знаходяться під прямим кутом.

Сполучених діаметрів

Ліва рука малюнкаII.16 показує коло і два перпендикулярних діаметра. На малюнку правої руки показано, як виглядатиме коло при погляді під деяким косим кутом. Коло стало еліпсом, а діаметри вже не перпендикулярні. Діаметри називаються сполученими діаметрами еліпса. Один сполучений з іншим, а інший - сполучений з одним. Вони мають властивість - або визначення - що кожна бісекція всіх хорд паралельно іншій, оскільки ця властивість бісекції, яка, очевидно, утримується перпендикулярними діаметрами кола, незмінна в проекції.

альт
FIGURE II.16

Легко намалювати два сполучені діаметри еліпса ексцентриситетуe або скориставшись цією останньою згаданою властивістю, або зазначивши, що добуток нахилів двох сполучених діаметрів єe21. Доказ цього залишається для задоволення читача.

Проблема сходів.

Жодна книга з елементарної прикладної математики не обходиться без проблеми сходів. Сходи довжиноюa+b спирається на гладку вертикальну стіну і рівний горизонтальний підлогу. Конкретна сходинка знаходиться на відстаніa від верхньої частини сходів іb знизу сходів. Покажіть, що, коли сходи ковзає, сходинка описує еліпс. (Цей результат підкаже інший спосіб малювання еліпса.) ДивII.17. Малюнок.

FIGURE II.17
альт

Якщо ви не зробили цю проблему через одну хвилину, ось підказка. Нехай кут, який робить сходи з підлогою, в будь-який момент будеE. Ось і закінчується підказка.

Читач може знати, що деякі геометричні властивості, які ми обговорювали в останніх кількох параграфах, більше представляють рекреаційний інтерес і можуть не мати великого прямого застосування в теорії орбіт. У наступному підрозділі ми повертаємося до властивостей і рівнянь, які дуже актуальні для орбітальної теорії - мабуть, найважливіше з усіх для розуміння комп'ютера орбіти.

Полярне рівняння до еліпса

Ми отримаємо рівняння в полярних координатах до еліпса, фокусом якого є полюс полярних координат, а велика вісь якого - початкова лінія(θ=0) полярних координат. На малюнкуII.18 ми вказали кутθ полярних координат, і читачеві може виникнути думка, що ми раніше використовували символv для цього кута і називали його справжньою аномалією. Дійсно в даний часv іθ ідентичні, але трохи пізніше ми розберемо їх між собою.

альт
FIGURE II.18

З нашого визначення еліпсаs=2ar, і так

s2=4a24ar+r2.

З формули косинуса для плоского трикутника

s2=4a2e2+r2+4aercosθ.

Про прирівнювання цих виразів ми незабаром отримаємо

a(1e2)=r(1+ecosθ).

Ліва сторона дорівнює підлозі прямої кишкиl, і тому ми приходимо до полярного рівняння до еліпса, фокусуємося як полюс, велика вісь як початкова лінія:

r=11+ecosθ.

Якщо велика вісь нахилена під кутомω до початкової лінії (малюнкаII.19), рівняння стає

r=l1+ecos(θω)=l1+ecosv.

альт
FIGURE II.19

Різниця міжθ іv зараз очевидна. θкут полярнихω координат, кут між великою віссю і початковою лінією (ωбуде називатися в орбітальної теорії як «аргумент перигелія»), іv, справжня аномалія, - кут між вектором радіуса і початковою лінією.