7.6: Вібрації рівномірної сфери

Це тривимірна задача і хвильове рівняння

$$c^2 \nabla^2 \Psi = \ddot \Psi. \label{7.6.1}$$

Хвильова функція тут$\Psi$, яка є функцією координат і часу, може розглядатися як щільність сфери; вона описує, як щільність сфери змінюється в просторі та з часом.

У задачах сферичної симетрії зручно записувати це в сферичних координатах. Вираз для$\nabla^2$ сферичних координат є досить тривалим. Ви, напевно, не запам'ятали його, але ви його бачили або знаєте, де його шукати. Стаціонарні рішення мають вигляд

$$\Psi (r, \theta, \phi ; t) = \psi ( r, \theta, \phi ) . \chi ( t ) . \label{7.6.2}$$

Чи потрібно знати математичні подробиці цих функцій? Ймовірно, ні, якщо це не ваш намір мати кар'єру в теоретичній спектроскопії. Якщо ви збираєтеся мати кар'єру в теоретичній спектроскопії, це, ймовірно, не завадило б зробити детальний розрахунок - але на практиці великий розрахунок може бути і робиться без посилання на детальну алгебру; все, що необхідно знати і ознайомитися з властивості функцій і як вони реагують на декілька операторів, що зустрічаються в квантовій механіці. На даному етапі ми якраз розглядаємо деякі загальні принципи, і не потрібно турбуватися про деталі алгебри, які можуть бути досить задіяні.

Сферичні координати$r$$\theta$,$\phi$ є незалежними змінними, а отже, незалежна від часу частина хвильової функції може бути записана як добуток трьох функцій:

$$\psi ( r, \theta, \phi ) = R(r). \Theta ( \theta) . \Phi ( \phi ) . \label{7.6.3}$$

Знову ж таки, не відразу потрібно знати докладні форми цих функцій - ви знайдете їх в різних книгах з фізики або хімії або спектроскопії. Найпростішим$\Phi$ є - це проста синусоїдальна функція, зазвичай записана як$e^{- i m \phi}$. $\Theta$Функція трохи складніша, і вона включає речі, які називаються многочленами Лежандра. Функція$R$ включає дещо менш знайомі многочлени, які називаються поліномами Лагерра. Але є граничні умови. При цьому$\phi$ йде тільки від$0$ до$2\pi$, і в цьому інтервалі може бути тільки ціле число половинних хвиль. Так само$\theta$ йде тільки від$0$ до$\pi$, і$r$ йде тільки від$0$ до$a$, де$a$ знаходиться радіус сфери. Всі три з цих функцій мають інтегральні «квантові числа», пов'язані з ними. У цьому немає нічого таємничого, і не потрібно бачити детальну алгебру, щоб зрозуміти, чому це повинно бути так; це одне з неминучих обмежень фіксованих граничних умов. Функція$R$, радіальна частина хвильової функції, має пов'язане з нею ціле число$n$, яке може приймати тільки інтегральні значення$1, \ 2. \ 3,…$. Функція$\Theta$, меридіональна хвильова функція, пов'язана з нею ціле число$l$, яке для заданої радіальної функції (тобто заданого значення$n$) може мати тільки n різних інтегральних значень$0, \ 1, \ 2, \ … \ …n−1$. Нарешті, функція$\Phi$, азимутальна хвильова функція, пов'язана з нею ціле число m, яке для заданої меридіональної функції (тобто заданого значення$l$) може мати тільки$2l+1$ різні інтегральні значення$−l, \ −l+1, \ … \ 0, \ …l−1, \ l$. Таким чином$n$, для заданого кількість можливих хвильових функцій дорівнює

$$\sum_0^{n-1} 2l + 1. \nonumber$$

Вам доведеться пам'ятати, як підсумувати арифметичні ряди, щоб оцінити це, тому, будь ласка, зробіть це. Відповідь є$n^2$.

Коли я вперше натрапив на ці квантові числа, це було пов'язано з хвильовою механікою атома водню, і я подумав, що в атомній фізиці є щось дуже загадкове. Мене заспокоїли лише швидше пізніше - як я сподіваюся, вас зараз заспокоїли - що введення цих квантових чисел не має нічого спільного з якимись особливими таємничими властивостями атомів, але виходить цілком природно з класичної теорії вібруючих сфер. Дійсно, якщо ви задумаєтеся про це, було б дуже важко дійсно повірити, що хвильові функції вібруючих сфер не передбачають чисел, які повинні були бути цілими числами з обмеженнями на них.

Незалежну від часу частину хвильової функції можна записати:

$$\psi_{lmn} ( r, \theta, \phi ) = R_{nl} ( r ) . \Theta_{lm} ( \theta ) . \Phi_m ( \phi ) . \label{7.6.4}$$

Часто кутові частини хвильової функції об'єднуються в єдину функцію:

$$Y_{lm} ( \theta, \phi ) = \Theta_{lm} ( \theta ) . \Phi_m ( \phi ) . \label{7.6.5}$$

Функції$Y_{lm}$ відомі як сферичні гармоніки.

При виконанні різних маніпуляцій над хвилевими функціями дуже часто все, що трапляється, це те, що ви отримуєте подібну функцію, але з різними значеннями цілих чисел («квантові числа»). Той, хто робить багато таких обчислень, незабаром звикає до цього, і, отже, замість того, щоб виписувати досить тривалі функції в повному обсязі, що робиться просто перерахувати квантове число функції між двома спеціальними символами, відомими як «кет». (Це половина кронштейна.) Таким чином, хвильова функція може бути записана просто як$|lmn \rangle$. Це часто робиться в квантовій механіці атомів. Я ніколи не бачив, щоб це було зроблено в інших, більш «класичних» галузях фізики, але я не бачу причин, чому це не слід робити, і смію сказати, що це в деяких колах.

Проблема вібруючої сфери рівномірної щільності досить проста. Подібними проблемами стикаються геофізики або планетарні вчені при обговоренні інтер'єрів Землі або Місяця або інших планет, або астрофізики, що вивчають «геліосейсмологію» або «астеросейсмологію» - хіба що ви повинні пам'ятати там, що ви не маєте справу з однорідними сферами.