1.3: Незведені зображення та таблиці символів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 24290

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Перетворення подібності дають незводні уявлення, γ _i, які призводять до корисного інструменту в теорії груп — таблиці символів. Загальна стратегія визначення γ _i наступна: A, B і C - матричні зображення операцій симетрії довільного базисного множини (тобто елементів, на яких виконуються операції симетрії). Існує деяка подібність оператора перетворення такий, що

\ [\ почати {масив} {л}
\ pmb A ^ {\ прайм} =v^ {-1}\ cdot\ pmb A\ cdot v\
\\ pmb B ^ {\ прайм} =v^ {\ pmb\ pmb\ cdot v\
\ pmb ^ {\ прайм} = v^ {-1}\ cdot\ pmb C\ cdot v
\ кінець {масив}\]

де v однозначно виробляє блочно-діагоналізовані матриці, які представляють собою матриці, що володіють квадратними масивами по діагоналі і нулями поза блоками

\ begin {рівняння}
\ mathbf {A} ^ {\ прайм} =\ лівий [\ початок {масив} {rrr}
\ mathrm {A} _ {1}
&\ &\ mathrm {~A} _ {2}
&\ mathrm {~A} _ {3}
\ кінець {масив}\ праворуч]\ quad\ mathbf {B} ^ {\ прайм} =\ ліворуч [\ почати {масив} {llll}
\ математика {B} _ {1} &\
&\ mathrm {~B} _ {2} &\ &
&\ mathrm {~B} _ {3}
\ кінець {масив}\ справа]\ quad\ mathbf {C} ^ {\ прайм} =\ лівий [\ почати {масив} {lll}
\ mathrm {C} _ {1} &\\
&\ математика {C} _ {2} &\\
& amp; &\ mathrm {C} _ {3}
\ end {масив}\ праворуч]
\ кінець {рівняння}

Матриці A, B і C є скорочуваними. Підматриці A _i, B i і C _{_i} підкоряються тим же властивостям множення, що і A, B і C. Якщо застосування перетворення подібності не призводить до подальшої блокової діагоналізації A', B' і C', то блоки є незведеними уявленнями. Символ - сума діагональних елементів γ _i.

Як приклад, продовжимо нашу зразкову групу: E, C _{3, C ₃} ², σ _{v, σ _v} ', σ _v» шляхом визначення довільної основи... трикутника

Базисна множина описується вершинами трикутників, точками A, B і C. Властивостями трансформації цих точок при операціях симетрії групи є:

\ [E\ left [\ begin {масив} {l}
A\
B\\
C
\ кінець {масив}\ праворуч] =\ лівий [\ begin {масив} {l}
A\\
B
\
C\ end {масив}\ право] =\ лівий [\ begin {масив} {lll}
1 & 0\
0 & ; 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\ кінець {масив}\ праворуч]\ лівий [\ почати {масив} {л}
A\\
B\
C
\ кінець {масив}\ право]\ quad\ sigma {V}\ лівий [\ begin {масив} {l}
A\\
B\\
C
\ end {масив}\ праворуч] =\ лівий [\ почати {масив} {l}
A\\
C\
B
\ кінець {масив}\ справа] =\ лівий [\ початок {масив} {lll}
1 & 0\ 0 & 0 & 1\
0 & 1\ 0 & 0 &
0 & 0 & 0
\ end {масив}\ праворуч]\ ліворуч [\ begin {масив} {l}
A\\
B\\
C
\ end {масив}\ право]\]

\ [C _ {3}\ left [\ begin {масив} {l}
A\\
B\
C
\ кінець {масив}\ справа] =\ лівий [\ begin {масив} {l}
B\\
C\\
A
\ end {масив}\ право] =\ left [\ begin {масив} {lll}
0 & 1 & 0\
0 & 0 & 1\\
1 & 0
\ end {масив}\ праворуч]\ лівий [\ почати {масив} {л}
A\\
B\\
кінець {масив}
\ праворуч]\ quad\ sigma_ {V} ^ {\ прайм}\ лівий [\ begin {масив} {l}
A\
B\\
C
\ end {масив}\ праворуч] =\ лівий [\ почати {масив} {l}
B\
A\
C
\ end {масив}\ право] =\ лівий [\ begin {масив} {lll}
0 & 1\\ 1 & 0\
0 & 0\ 0 & 0 & 0 &
0 & 0 & 1
\ end {масив} \ праворуч]\ ліворуч [\ begin {масив} {l}
A\\
B\\
C
\ end {масив}\ справа]\]

\ [C _ {3} ^ {2}\ лівий [\ почати {масив} {l}
A\\
B\
C
\ кінець {масив}\ справа] =\ лівий [\ begin {масив} {l}
C\\
A\
B
\ end {масив}\ право] =\ лівий [\ begin {масив} {lll}
0 & 0\\
1 & 0\\ 0 & 1 &
0\ end {масив}
\ праворуч]\ лівий [\ почати {масив} {л}
A\\
B\\ кінець {масив}
\ праворуч]\ quad\ sigma_ {V} ^ {\ прайм\ прайм}\ лівий [\ begin {масив} {l}
A\\
B\\

C
\ end {масив}\ право] =\ лівий [\ почати {масив} {l}
C\\
B\\
A
\ кінець {масив}\ право] =\ лівий [\ begin {масив} {lll}
0 & 0 & 1\
0 & 0\ 1\ 1 & 0\
1 & 0 & 0
\ end {масив}\ правий]\ лівий [\ begin {масив} {l}
A\\
B\
C
\ end {масив}\ право]\]

Ці матриці не блочно-діагональні, однак відповідне перетворення подібності виконає завдання,

\ (v=\ лівий [\ початок {масив} {ccc}
\ frac {1} {\ sqrt {3}} &\ frac {2} {\ sqrt {6}} & 0\\ frac {1} {\ sqrt {3}} & -\ frac {1} {\ sqrt {2}\\ frac {1} {
\ sqrt {3}} & -\ frac {1} {\ sqrt {6}} & -\ frac {1} {\ sqrt {2}}
\ end {масив}\ право]\ quad;
\ квад v^ {-1} =\ лівий [\ початок {масив} {ccc}
\ frac {1} {\ sqrt {3}} &\ frac {1} {\ sqrt {3}} &\ frac {1} {\ sqrt {2} {
\ sqrt {6}} & -\ frac {1} {\ sqrt {6}}} & -\ frac {1} {\ sqrt {6}}\\
0 &\ frac {1} {\ sqrt {2}} & -\ frac {1} {\ sqrt {2}}
\ end {масив}\ право ]\)

Застосовуючи перетворення подібності з C ₃ як приклад,

\ (v^ {-1}\ cdot\ pmb C _ {3}\ cdot v=\ лівий [
\ почати {масив} {ccc}\ frac {1} {\ sqrt {3}} &\ frac {2} {\ sqrt {3}}} & -
\ frac {1} {\ sqrt {6}} & -\ frac {1} {\ sqrt {6}}\\
0 &\ frac {1} {\ sqrt {2}} & -\ frac {1} {\ sqrt {2}}
\ кінець {масив}\ праворуч]\ cdot\ ліворуч [\ почати {масив} {ccc}
0 & 1\ 0 &
0 & 1\ 1 & 0 & 0 & 0
\ кінець {масив}\ праворуч]\ cdot\ ліворуч [\ begin {масив} {ccc}
\ frac {1} {\ sqrt {3}} &\ frac {2} {\ sqrt {6} & 0\\
\ гідророзриву
{1} {\ sqrt {3}} & -\ frac {1} {\ sqrt {6}} &\ frac {1} {\ sqrt {2}}
\\ frac {1} {\ sqrt {1} {\ sqrt {6}} & -\ frac {1} {\ sqrt {2}}
\ кінець масиву {}\ право]\)

\ (\ left [\ begin {масив} {ccc}
\ frac {1} {\ sqrt {3}} &\ frac {1} {\ sqrt {3}} &\ frac {1} {\ sqrt {3}}
\ frac {2} {\ sqrt {6}} & -\ frac {1} {\ sqrt {6}} &\ frac c {1} {\ sqrt {6}}\\
0 &\ frac {1} {\ sqrt {2}} & -\ frac {1} {\ sqrt {2}}
\ кінець {масив}\ право]\ cdot\ ліворуч [\ почати {масив} {ccc}
\ frac {1} {\ sqrt {3}} & -\ frac {1} {\ sqrt {6}} &\ frac {1} {
\ sqrt {3}} & -\ frac {1} {\ sqrt {6}} & -\ frac {1} {\ sqrt {2}}\\ frac {1} {
\ sqrt {3}} &\ frac {2} {\ sqrt {6}} & 0
\ end {масив}\ праворуч] =\ лівий [\ початок {масив} {ccc}
1 & 0\ 0 & -\
frac {1} {2} &\ frac {\ sqrt {3}} {2}\\
0 & -\ frac {\ sqrt {3}} {2} & -\ frac {1} {2}\ кінець {масив}\ праворуч] =\ pmb C _ {3} ^ {1} {2}
\ кінець {масив}\ праворуч] =\ pmb C _ {3} ^ {*}\)

якщо v ^-1 ⋅ C ₃ * ⋅ v застосовується знову, матриця далі не блокує діагональ. Така ж сума діагоналі отримується*хоча недіагональні елементи можуть змінюватися). В даному випадку С ₃ * є нескорочуваним поданням, γ _i.

Перетворення подібності, застосоване до інших скорочуваних уявлень, дає:

Таким чином, 3 × 3, що зменшується подання, γ _{червоне}, було розкладено під перетворенням подібності в 1 (1 × 1) та 1 (2 × 2) блок-діагоналізовані нескорочувані зображення, γI. Сліди (тобто сума діагональних елементів матриці) γ _i під кожною операцією дають символи (позначені) подання. Взявши сліди кожного з блоків:

Ця колекція символів для даного нескорочуваного подання, під операціями групи називається символьною таблицею. Як показує цей приклад, з абсолютно довільної основи і перетворення подібності народжується таблиця символів.

Трикутна базисна множина не розкриває всіх _γ irr групи, визначеної {E, C ₃, C ₃ ², σ _{v, σ v} ', σ _v', σ _v»}. Трикутник представляє декартовий координатний простір (x, y, z), для якого були визначені γ _i s. Може вибрати інші базисні функції в спробі розкрити інші γ _i s Наприклад, розглянути обертання навколо осі z,

Властивості перетворення цієї базової функції, R _z, під операції групи (буде вибрано лише 1 операцію з кожного класу, оскільки символи операторів у класі ідентичні):

E:\ (R_ {z}\ стрілка вправо R_ {z}\
\ квадрад C _ {3}: R _ {2}\ стрілка вправо R _ {2}\ квад\ сигма_ {v} (xy): R _ {2}\ стрілка вправо\ накладання {R} _ {2}\)

Зауважте, ці властивості перетворення породжують γ _i, який не міститься в трикутній основі. Отримано нову (1 х 1) основу, γ ₃, яка описує властивості перетворення для R _z. Короткий зміст γ _i для групи, визначеної E, C ₃, C ₃, ², σ _v, σ _v ', σ _v» дорівнює:

Чи повна ця таблиця символів? Незведені уявлення і їх характери підкоряються певним алгебраїчним зв'язкам. З цих 5 правил ми можемо встановити, чи це повна таблиця символів для цих 6 операцій симетрії.

П'ять важливих правил регулюють незвідні уявлення та їх характери:

Правило 1

Сума квадратів розмірностей\(\ell\),, незведеного подання γ _i дорівнює порядку, h, групи,

Оскільки символ під операцією ідентичності дорівнює розмірності γ _i (оскільки E завжди є одиничною матрицею), правило може бути переформульовано як,

Правило 2

Сума квадратів символів незведеного подання γ _i дорівнює h

Правило 3

Вектори, складові яких є символами двох різних незведених уявлень, є ортогональними.

\(\sum_{R}\left[x_{i}(R)\right]\left[x_{j}(R)\right]=0 \quad\)для\(\quad i \neq j\)

Правило 4

Для заданого подання символи всіх матриць, що належать операціям одного класу, ідентичні

Правило 5

Число γ _i s групи дорівнює кількості класів у групі.

За допомогою цих правил можна алгебраїчно побудувати таблицю символів. Повертаючись до нашого прикладу, побудуємо таблицю символів при відсутності довільної основи:

Правило 5: Е (С ₃, С ₃ ²) (σ _v, σ _v ', σ _v»)... 3 класи ⋅ 3 γ _i s

Правило 1:\(\ell_{1}^{2}+\ell_{2}^{2}+\ell_{3}^{2}=6 \quad \therefore \ell_{1}=\ell_{2}=1, \ell_{2}=2\)

Правило 2: Усі таблиці символів мають повністю симетричне зображення. Таким чином, одне з нескорочуваних уявлень, γ _i, має набір символів θ ₁ (E) = 1, θ ₁ (C ₃, C ₃ ²) = 1, θ ₁ (σ _v, σ _v ', σ _v») = 1. Застосовуючи правило 2, ми знаходимо для іншого незведеного подання розмірності 1,

\(1 \cdot 1 \cdot x_{2}( E )+2 \cdot 1 \cdot x_{2}\left( C _{3}\right)+3 \cdot 1 \cdot x_{2}\left(\sigma_{ v }\right)=0\)

Оскільки ₂ (Е) = 1,

\(1+2 \cdot x_{2}\left( C _{3}\right)+3 \cdot x_{2}\left(\sigma_{ v }\right)=0 \quad \therefore \quad \chi_{2}\left( C _{3}\right)=1, \chi_{2}\left(\sigma_{ v }\right)=-1\)

Для випадку γ ₃ (\(\ell\)₃ = 2) не існує унікального рішення правила 2

\(2+2 \cdot \chi_{3} \left(C_{3}\right) +3 \cdot \chi_{3} \left(\sigma_{v}\right)=0\)

Однак застосування правила 2 до γ ₃ дає нам одне рівняння для двох невідомих. Є кілька варіантів отримання другого незалежного рівняння:

Правило 1:\(1 \cdot 2^{2}+2\left[\chi_{3}\left(C_{3}\right)\right]^{2}+3\left[\chi_{3}\left(\sigma_{v}\right)\right]^{2}=6\)

Правило 3:\(1 \cdot 1 \cdot 2+2 \cdot 1 \cdot x_{3}\left(C_{3}\right)+3 \cdot 1 \cdot x_{3}\left(\sigma_{v}\right)=0\)
або
\(1 \cdot 1 \cdot 2+2 \cdot 1 \cdot x_{3}\left(C_{3}\right)+3 \cdot(-1) \cdot x_{3}\left(\sigma_{v}\right)=0\)

Одночасне вирішення врожайності\(\chi_{3}\left(C_{3}\right)=-1, \chi_{3}\left(\sigma_{x}\right)=0\)

Таким чином виходить той же результат, показаний на пг 4:

\ begin {масив} {c|ccc}
&\ mathrm {E} & 2\ mathrm {C} _ {3} & 3\ sigma_ {\ mathrm {v}}\\ hline\ Gamma_ {1} & 1 & 1\
\ Gamma_ {2} & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0
\\ Gamma_ {3} -1
\ end {масив}

Зверніть увагу, що виведення символьної таблиці в цьому розділі базується виключно на властивостях символів; таблиця була виведена алгебраїчно. Виведення на pg 4 було здійснено з перших принципів.

Повна таблиця символів:

• γ _i s з:

\(\ell=1 \Longrightarrow A\)або\(B\)
\(\ell=2 \Longrightarrow E\)
\(\ell=3 \Longrightarrow T\)

A симетрична (+1) по відношенню до C _n

B - антисиметричний (—1) по відношенню до C _n

індекси 1 і 2 позначають γ _i s, які є симетричними і антисиметричними відповідно C ₂ s; якщо C ₂ s не існує, то щодо σ _v
прості (') та подвійні прості (»), прикріплені до γ _i s, які є симетричними та антисиметричними відповідно до σ _h
для груп, що містять i, g індекс, приєднаний до γis, які симетричні i, тоді як u індекс позначає γis, які є антисиметричними до i