14.2: Межі та безперервність
- Page ID
- 61909
- Обчислити межу функції двох змінних.
- Дізнайтеся, як функція двох змінних може наближатися до різних значень у граничній точці, залежно від шляху наближення.
- Створіть умови неперервності функції двох змінних.
- Перевірте безперервність функції двох змінних в точці.
- Обчисліть межу функції з трьох або більше змінних і перевірити безперервність функції в точці.
Зараз ми розглянули функції більш ніж однієї змінної і побачили, як їх графікувати. У цьому розділі ми бачимо, як взяти межу функції більш ніж однієї змінної, і що це означає, щоб функція більше однієї змінної була безперервною в точці своєї області. Виявляється, ці поняття мають аспекти, які просто не зустрічаються з функціями однієї змінної.
Межа функції двох змінних
Нагадаємо з розділу 2.5, що визначення межі функції однієї змінної:
\(f(x)\)Дозволяти визначено для всіх\(x≠a\) у відкритому інтервалі, що містить\(a\). \(L\)Дозволяти бути дійсним числом. Тоді
\[\lim_{x→a}f(x)=L \nonumber \]
якщо для кожного\(ε>0,\) існує такий\(δ>0\), що якщо\(0<|x−a|<δ\) для всіх\(x\) в області\(f\), то
\[|f(x)−L|<ε. \nonumber \]
Перш ніж ми зможемо адаптувати це визначення для визначення межі функції двох змінних, ми спочатку повинні побачити, як розширити ідею відкритого інтервалу в одній змінній до відкритого інтервалу в двох змінних.
Розглянемо\((a,b)∈\mathbb{R}^2.\) точку\(δ\) Диск, центрований у точці,\((a,b)\) визначається як відкритий диск радіусу,\(δ\) центрований у\((a,b)\) точці, тобто
\[\{(x,y)∈\mathbb{R}^2∣(x−a)^2+(y−b)^2<δ^2\} \nonumber \]
як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\).
Ідея\(δ\) диска з'являється у визначенні межі функції двох змінних. Якщо\(δ\) мало, то всі точки\((x,y)\) в\(δ\) диску знаходяться близько до\((a,b)\). Це повністю аналогічно тому, що х близький до a у визначенні межі функції однієї змінної. В одному вимірі ми виражаємо це обмеження як
\[a−δ
У більш ніж одному вимірі ми використовуємо\(δ\) диск.
\(f\)Дозволяти бути функцією двох змінних,\(x\) і\(y\). Межа\(f(x,y)\) як\((x,y)\) підходів\((a,b)\) є\(L\), написано
\[\lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y)=L \nonumber \]
якщо для кожного\(ε>0\) існує досить маленька\(δ>0\) така, що для всіх точок\((x,y)\) в\(δ\) диску навколо\((a,b)\), крім можливо для\((a,b)\) себе, значення\(f(x,y)\) не більше ніж\(ε\) далеко від\(L\) (рис.\(\PageIndex{2}\)).
Використовуючи символи, пишемо наступне: Для будь-якого\(ε>0\) існує число\(δ>0\) таке, що
\[|f(x,y)−L|<ε \nonumber \]
щоразу
\[0<\sqrt{(x−a)^2+(y−b)^2}<δ. \nonumber \]
Доведення того, що межа існує за допомогою визначення межі функції двох змінних може бути складним завданням. Замість цього ми використовуємо наступну теорему, яка дає нам ярлики для пошуку меж. Формули в цій теоремі є продовженням формул в теоремі граничних законів в «Граничних законі».
Нехай\(f(x,y)\) і\(g(x,y)\) буде визначено для всіх\((x,y)≠(a,b)\) в околицях навколо\((a,b)\), і припустимо, що околиці містяться повністю всередині області\(f\). Припустимо, що\(L\) і\(M\) є дійсними числами такі, що
\[\lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y)=L \nonumber \]
і
\[\lim_{(x,y)→(a,b)}g(x,y)=M, \nonumber \]
і нехай\(c\) буде постійною. Тоді кожне з наступних тверджень тримає:
Постійний закон:
\[\lim_{(x,y)→(a,b)}c=c \nonumber \]
Закони ідентичності:
\[\lim_{(x,y)→(a,b)}x=a \nonumber \]
\[\lim_{(x,y)→(a,b)}y=b \nonumber \]
Закон про суму:
\[\lim_{(x,y)→(a,b)}(f(x,y)+g(x,y))=L+M \nonumber \]
Закон різниці:
\[\lim_{(x,y)→(a,b)}(f(x,y)−g(x,y))=L−M \nonumber \]
Постійний множинний закон:
\[\lim_{(x,y)→(a,b)}(cf(x,y))=cL \nonumber \]
Закон про продукт:
\[\lim_{(x,y)→(a,b)}(f(x,y)g(x,y))=LM \nonumber \]
Коефіцієнтне право:
\[\lim_{(x,y)→(a,b)}\dfrac{f(x,y)}{g(x,y)}=\dfrac{L}{M} \text{ for } M≠0 \nonumber \]
Закон про владу:
\[\lim_{(x,y)→(a,b)}(f(x,y))^n=L^n \nonumber \]
для будь-якого натурального цілого числа\(n\).
Кореневий закон:
\[\lim_{(x,y)→(a,b)}\sqrt[n]{f(x,y)}=\sqrt[n]{L} \nonumber \]
для всіх\(L\) якщо\(n\) непарний і позитивний, а для\(L≥0\) якщо n парний і позитивний.
Докази цих властивостей аналогічні таким для меж функцій однієї змінної. Ми можемо застосувати ці закони для знаходження меж різних функцій.
Знайдіть кожне з наступних обмежень:
- \(\displaystyle \lim_{(x,y)→(2,−1)}(x^2−2xy+3y^2−4x+3y−6)\)
- \(\displaystyle \lim_{(x,y)→(2,−1)}\dfrac{2x+3y}{4x−3y}\)
Рішення
а. спочатку використовуйте закони суми та різниці, щоб розділити терміни:
\[\begin{align*} \lim_{(x,y)→(2,−1)}(x^2−2xy+3y^2−4x+3y−6)\\ = \left(\lim_{(x,y)→(2,−1)}x^2 \right)− \left(\lim_{(x,y)→(2,−1)}2xy \right)+ \left(\lim_{(x,y)→(2,−1)}3y^2 \right)−\left(\lim_{(x,y)→(2,−1)}4x\right) \\ + \left(\lim_{(x,y)→(2,−1)}3y \right)−\left(\lim_{(x,y)→(2,−1)}6\right). \end{align*}\]
Далі використовуйте постійний кратний закон на другому, третьому, четвертому і п'ятому межах:
\[\begin{align*} =(\lim_{(x,y)→(2,−1)}x^2)−2(\lim_{(x,y)→(2,−1)}xy)+3(\lim_{(x,y)→(2,−1)}y^2)−4(\lim_{(x,y)→(2,−1)}x) \\[4pt] +3(\lim_{(x,y)→(2,−1)}y)−\lim_{(x,y)→(2,−1)}6.\end{align*}\]
Тепер скористайтеся законом влади на першому і третьому лімітах, а товарний закон про другу межу:
\[\begin{align*} \left(\lim_{(x,y)→(2,−1)}x\right)^2−2\left(\lim_{(x,y)→(2,−1)}x\right) \left(\lim_{(x,y)→(2,−1)}y\right)+3\left(\lim_{(x,y)→(2,−1)}y\right)^2 \\ −4\left(\lim_{(x,y)→(2,−1)}x\right)+3\left(\lim_{(x,y)→(2,−1)}y\right)−\lim_{(x,y)→(2,−1)}6. \end{align*}\]
Останній, використовуйте закони ідентичності на перших шести лімітах і постійний закон про останню межу:
\[\begin{align*} \lim_{(x,y)→(2,−1)}(x^2−2xy+3y^2−4x+3y−6) = (2)^2−2(2)(−1)+3(−1)^2−4(2)+3(−1)−6 \\[4pt] =−6. \end{align*}\]
б. перш ніж застосовувати закон частки, нам потрібно переконатися, що межа знаменника ненульова. Використовуючи закон різниці, постійний множинний закон та закон ідентичності,
\[\begin{align*} \lim_{(x,y)→(2,−1)}(4x−3y) =\lim_{(x,y)→(2,−1)}4x−\lim_{(x,y)→(2,−1)}3y \\[4pt] =4(\lim_{(x,y)→(2,−1)}x)−3(\lim_{(x,y)→(2,−1)}y) \\[4pt] =4(2)−3(−1)=11. \end{align*}\]
Так як межа знаменника ненульова, застосовується часткове право. Тепер обчислюємо межу чисельника, використовуючи закон різниці, постійний кратний закон та закон ідентичності:
\[\begin{align*} \lim_{(x,y)→(2,−1)}(2x+3y) =\lim_{(x,y)→(2,−1)}2x+\lim_{(x,y)→(2,−1)}3y \\[4pt] =2(\lim_{(x,y)→(2,−1)}x)+3(\lim_{(x,y)→(2,−1)}y) \\[4pt] =2(2)+3(−1)=1. \end{align*}\]
Тому відповідно до актоіентного закону ми маємо
\[\begin{align*} \lim_{(x,y)→(2,−1)}\dfrac{2x+3y}{4x−3y} =\dfrac{\displaystyle \lim_{(x,y)→(2,−1)}(2x+3y)}{\displaystyle \lim_{(x,y)→(2,−1)}(4x−3y)} \\[4pt] =\dfrac{1}{11}. \end{align*}\]
Оцініть наступний ліміт:
\[\lim_{(x,y)→(5,−2)}\sqrt[3]{\dfrac{x^2−y}{y^2+x−1}}. \nonumber \]
- Підказка
-
Використовуйте граничні закони.
- Відповідь
-
\[\displaystyle \lim_{(x,y)→(5,−2)}\sqrt[3]{\dfrac{x^2−y}{y^2+x−1}}=\dfrac{3}{2} \nonumber \]
Оскільки ми беремо межу функції двох змінних, точка\((a,b)\) знаходиться в\(\mathbb{R}^2\), і можна наблизитися до цієї точки з нескінченної кількості напрямків. Іноді при обчисленні ліміту відповідь змінюється в залежності від шляху, прийнятого назустріч\((a,b)\). Якщо це так, то межа не існує. Іншими словами, межа повинна бути унікальною, незалежно від пройденого шляху.
Показати, що жодна з таких обмежень не існує:
- \(\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\dfrac{2xy}{3x^2+y^2}\)
- \(\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\dfrac{4xy^2}{x^2+3y^4}\)
Рішення
а Область функції\(f(x,y)=\dfrac{2xy}{3x^2+y^2}\) складається з усіх точок на\(xy\) -площині, крім точки\((0,0)\) (рис.\(\PageIndex{3}\)). Щоб показати, що межа не існує як\((x,y)\) підходи\((0,0)\), відзначимо, що неможливо задовольнити визначення межі функції двох змінних через те, що функція приймає різні значення по різних лініях, що проходять через точку\((0,0)\). Спочатку розглянемо лінію\(y=0\) в\(xy\) -площині. Підставляючи\(y=0\) в\(f(x,y)\) дає
\[f(x,0)=\dfrac{2x(0)}{3x^2+0^2}=0 \nonumber \]
за будь-яке значення\(x\). Тому значення\(f\) залишається постійним для будь-якої точки на\(x\) -осі, а при\(y\) наближенні до нуля функція залишається фіксованою на нулі.
Далі розглянемо рядок\(y=x\). Підставляючи\(y=x\) в\(f(x,y)\) дає
\[f(x,x)=\dfrac{2x(x)}{3x^2+x^2}=\dfrac{2x^2}{4x^2}=\tfrac{1}{2}. \nonumber \]
Це справедливо для будь-якої точки на лінії\(y=x\). Якщо ми дозволимо\(x\) наблизитися до нуля, залишаючись на цьому рядку, значення функції залишається фіксованим на\(\tfrac{1}{2}\), незалежно від того, наскільки малим\(x\) є.
Виберіть значення для ε, яке менше, ніж\(1/2\) —скажімо,\(1/4\). Тоді, незалежно від того, наскільки маленький\(δ\) диск ми малюємо навколо\((0,0)\), значення\(f(x,y)\) для точок всередині цього\(δ\) диска буде включати обидва\(0\) і\(\tfrac{1}{2}\). Тому визначення межі в точці ніколи не задовольняється, і межа не існує.
б Подібним чином до а., ми можемо наблизитися до початку по будь-якій прямій лінії, що проходить через початок. Якщо ми спробуємо\(x\) -axis (тобто\(y=0\)), то функція залишається фіксованою на нулі. Те ж саме справедливо і для\(y\) -осі. Припустимо, ми наближаємося до початку по прямій лінії ухилу\(k\). Рівняння цієї лінії є\(y=kx\). Тоді межа стає
\[\begin{align*} \lim_{(x,y)→(0,0)}\dfrac{4xy^2}{x^2+3y^4} = \lim_{(x,y)→(0,0)}\dfrac{4x(kx)^2}{x^2+3(kx)^4} \\ = \lim_{(x,y)→(0,0)}\dfrac{4k^2x^3}{x^2+3k^4x^4} \\ =\lim_{(x,y)→(0,0)}\dfrac{4k^2x}{1+3k^4x^2} \\ = \dfrac{\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}(4k^2x)}{\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}(1+3k^4x^2)} \\ = 0. \end{align*}\]
незалежно від величини\(k\). Здавалося б, межа дорівнює нулю. Що робити, якщо замість цього ми вибрали криву, що проходить через початок? Для прикладу можна розглянути параболу, задану рівнянням\(x=y^2\). \(y^2\)Заміна замість\(x\) in\(f(x,y)\) дає
\[\begin{align*}\lim_{(x,y)→(0,0)}\dfrac{4xy^2}{x^2+3y^4} = \lim_{(x,y)→(0,0)}\dfrac{4(y^2)y^2}{(y^2)^2+3y^4} \\ = \lim_{(x,y)→(0,0)}\dfrac{4y^4}{y^4+3y^4} \\ = \lim_{(x,y)→(0,0)}1 \\ = 1. \end{align*}\]
За тією ж логікою в частині a неможливо знайти δ диск навколо походження, який задовольняє визначенню межі для будь-якого значення\(ε<1.\) Тому,
\[\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\dfrac{4xy^2}{x^2+3y^4} \nonumber \]
не існує.
Покажіть, що
\[\lim_{(x,y)→(2,1)}\dfrac{(x−2)(y−1)}{(x−2)^2+(y−1)^2} \nonumber \]
не існує.
- Підказка
-
Виберіть лінію з нахилом,\(k\) що проходить через точку\((2,1).\)
- Відповідь
-
Якщо\(y=k(x−2)+1,\) тоді\(\lim_{(x,y)→(2,1)}\dfrac{(x−2)(y−1)}{(x−2)^2+(y−1)^2}=\dfrac{k}{1+k^2}\). Так як відповідь залежить від\(k,\) ліміту не існує.
Внутрішні точки і граничні точки
Щоб вивчити безперервність і диференційовність функції двох або більше змінних, спочатку потрібно вивчити нову термінологію.
\(S\)Дозволяти бути підмножиною\(\mathbb{R}^2\) (Рисунок\(\PageIndex{4}\)).
- Точка\(P_0\) називається внутрішньою точкою,\(S\) якщо є\(δ\) диск з центром навколо\(P_0\) міститься повністю в\(S\).
- Точка\(P_0\) називається крайовою точкою,\(S\) якщо кожен\(δ\) диск, центрований навколо,\(P_0\) містить точки як всередині, так і зовні\(S\).
\(S\)Дозволяти бути підмножиною\(\mathbb{R}^2\) (Рисунок\(\PageIndex{4}\)).
- \(S\)називається відкритим набором, якщо кожна точка\(S\) є внутрішньою точкою.
- \(S\)називається замкнутою множиною, якщо вона містить всі його граничні точки.
Прикладом відкритого набору є\(δ\) диск. Якщо включити межу диска, то він стає замкнутим набором. Набір, який містить деякі, але не всі його граничні точки, не є ні відкритими, ні закритими. Наприклад, якщо ми включимо половину межі\(δ\) диска, але не іншу половину, то набір не є ні відкритим, ні закритим.
\(S\)Дозволяти бути підмножиною\(\mathbb{R}^2\) (Рисунок\(\PageIndex{4}\)).
- Відкрита\(S\) множина є зв'язаною множиною, якщо вона не може бути представлена як об'єднання двох або більше непорожніх відкритих підмножин.
- Набір\(S\) — це область, якщо вона відкрита, підключена та непорожня.
Визначення межі функції двох змінних вимагає, щоб\(δ\) диск містився всередині області функції. Однак, якщо ми хочемо знайти межу функції в граничній точці домену,\(δ\) диск не міститься всередині домену. За визначенням, деякі точки\(δ\) диска знаходяться всередині домену, а деякі - зовні. Тому нам потрібно тільки розглядати точки, які знаходяться всередині і\(δ\) диска, і області функції. Це призводить до визначення межі функції в граничній точці.
\(f\)Дозволяти бути функція двох змінних\(y\),\(x\) і, і припустимо\((a,b)\) знаходиться на межі області\(f\). Потім межа\(f(x,y)\) як\((x,y)\) підходів\((a,b)\)\(L\), написано
\[\lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y)=L, \nonumber \]
якщо для будь-якого\(ε>0,\) існує\(δ>0\) таке число, що для будь-якої точки\((x,y)\) всередині області\(f\) і в межах відповідної невеликої відстані\(δ\) додатне значення\(f(x,y)\) не більше ніж\(ε\) далеко від\(L\) (рис.\(\PageIndex{2}\)).\((a,b),\) Використовуючи символи, ми можемо написати: Для будь-якого\(ε>0\) існує\(δ>0\) таке число, що
\[|f(x,y)−L|<ε\, \text{whenever}\, 0<\sqrt{(x−a)^2+(y−b)^2}<δ. \nonumber \]
Довести
\[\lim_{(x,y)→(4,3)}\sqrt{25−x^2−y^2}=0. \nonumber \]
Рішення
Домен функції\(f(x,y)=\sqrt{25−x^2−y^2}\) - це коло радіуса\(\big\{(x,y)∈\mathbb{R}^2∣x^2+y^2≤25\big\}\),\(5\) зосереджене на початку, разом з його внутрішньою частиною, як показано на малюнку\(\PageIndex{5}\).
Ми можемо використовувати граничні закони, які застосовуються до лімітів на кордоні доменів, а також внутрішніх точок:
\[\begin{align*} \lim_{(x,y)→(4,3)}\sqrt{25−x^2−y^2} =\sqrt{\lim_{(x,y)→(4,3)}(25−x^2−y^2)} \\ = \sqrt{\lim_{(x,y)→(4,3)}25−\lim_{(x,y)→(4,3)}x^2−\lim_{(x,y)→(4,3)}y^2} \\ =\sqrt{25−4^2−3^2} \\ = 0 \end{align*}\]
Див. Наступний графік.
Оцініть наступний ліміт:
\[\lim_{(x,y)→(5,−2)}\sqrt{29−x^2−y^2}. \nonumber \]
- Підказка
-
Визначте домен домену\(f(x,y)=\sqrt{29−x^2−y^2}\).
- Відповідь
-
\[\lim_{(x,y)→(5,−2)}\sqrt{29−x^2−y^2} \nonumber \]
Неперервність функцій двох змінних
У Continuity ми визначили неперервність функції однієї змінної і побачили, як вона спирається на межу функції однієї змінної. Зокрема, три умови необхідні для\(f(x)\) того, щоб бути безперервним у точці\(x=a\)
- \(f(a)\)існує.
- \(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)\)існує.
- \(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=f(a).\)
Ці три умови необхідні і для неперервності функції двох змінних.
Функція\(f(x,y)\) є безперервною\((a,b)\) в точці своєї області, якщо виконуються такі умови:
- \(f(a,b)\)існує.
- \(\displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y)\)існує.
- \(\displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y)=f(a,b).\)
Показати, що функція
\[f(x,y)=\dfrac{3x+2y}{x+y+1} \nonumber \]
безперервний в точці\((5,−3).\)
Рішення
Існує три умови, які слід задовольнити, відповідно до визначення безперервності. У цьому прикладі\(a=5\) і\(b=−3.\)
1. \(f(a,b)\)існує. Це вірно тому, що область функції f складається з тих впорядкованих пар, для яких знаменник ненульовий (тобто\(x+y+1≠0\)). Точка\((5,−3)\) задовольняє цій умові. Крім того,
\[f(a,b)=f(5,−3)=\dfrac{3(5)+2(−3)}{5+(−3)+1}=\dfrac{15−6}{2+1}=3. \nonumber \]
2. \(\displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y)\)існує. Це також вірно:
\[\begin{align*} \lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y) =\lim_{(x,y)→(5,−3)}\dfrac{3x+2y}{x+y+1} \\ =\dfrac{\displaystyle \lim_{(x,y)→(5,−3)}(3x+2y)}{\displaystyle \lim_{(x,y)→(5,−3)}(x+y+1)} \\ = \dfrac{15−6}{5−3+1} \\ = 3. \end{align*}\]
3. \(\displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y)=f(a,b).\)Це правда, тому що ми щойно показали, що обидві сторони цього рівняння дорівнюють трьом.
Показати, що функція
\[f(x,y)=\sqrt{26−2x^2−y^2}\nonumber \]
безперервний в точці\((2,−3)\).
- Підказка
-
Використовуйте тричасткове визначення безперервності.
- Відповідь
-
- Домен\(f\) містить впорядковану пару\((2,−3)\), оскільки\(f(a,b)=f(2,−3)=\sqrt{16−2(2)^2−(−3)^2}=3\)
- \(\displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y)=3\)
- \(\displaystyle \lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y)=f(a,b)=3\)
Неперервність функції будь-якої кількості змінних також може бути визначена через дельта та епсилон. Функція двох змінних є безперервною\((x_0,y_0)\) в точці своєї області, якщо для кожного\(ε>0\) існує\(δ>0\) таке, що, коли\(\sqrt{(x−x_0)^2+(y−y_0)^2}<δ\) це правда,\(|f(x,y)−f(a,b)|<ε.\) Це визначення може бути об'єднано з формальним визначенням (тобто епсилон - дельта визначення) безперервності функції однієї змінної для доведення наступних теорем:
Якщо\(f(x,y)\) безперервний при\((x_0,y_0)\), і\(g(x,y)\) безперервний при\((x_0,y_0)\),\(f(x,y)+g(x,y)\) то безперервний при\((x_0,y_0)\).
Якщо\(g(x)\) безперервний при\(x_0\) і\(h(y)\) безперервний при\(y_0\),\(f(x,y)=g(x)h(y)\) то безперервний при\((x_0,y_0).\)
\(g\)Дозволяти бути функція двох змінних від області\(D⊆\mathbb{R}^2\) до діапазону\(R⊆R.\) Припустимо\(g\) є безперервним в якийсь момент\((x_0,y_0)∈D\) і визначити\(z_0=g(x_0,y_0)\). Дозволяти f бути функція, яка\(R\)\(R\) відображає такі, що\(z_0\) знаходиться в області\(f\). Останній, припустимо,\(f\) є безперервним в\(z_0\). Потім\(f∘g\) безперервно при\((x_0,y_0)\), як показано на малюнку\(\PageIndex{7}\).
Давайте тепер використаємо попередні теореми, щоб показати неперервність функцій у наступних прикладах.
Покажіть, що функції\(f(x,y)=4x^3y^2\) і\(g(x,y)=\cos(4x^3y^2)\) є безперервними всюди.
Рішення
\(h(y)=y^2\)Поліноми\(g(x)=4x^3\) і є неперервними в кожному дійсному числі, а отже, за добутком теореми неперервних функцій,\(f(x,y)=4x^3y^2\) є неперервними\((x,y)\) в кожній точці\(xy\) -площині. Оскільки\(f(x,y)=4x^3y^2\) є безперервним у кожній точці\((x,y)\)\(xy\) -площині і\(g(x)=\cos x\) є безперервним у кожному дійсному числі\(x\), безперервність складу функцій говорить нам, що\(g(x,y)=\cos(4x^3y^2)\) є безперервним у кожній точці\((x,y)\) в\(xy\) -площині.
Покажіть, що функції\(f(x,y)=2x^2y^3+3\) і\(g(x,y)=(2x^2y^3+3)^4\) є безперервними всюди.
- Підказка
-
Використовуйте неперервність суми, добутку та складу двох функцій.
- Відповідь
-
\(h(y)=y^3\)Поліноми\(g(x)=2x^2\) і є неперервними в кожному дійсному числі; отже, за добутком теореми неперервних функцій,\(f(x,y)=2x^2y^3\) є безперервним\((x,y)\) у кожній точці\(xy\) -площини. Крім того, будь-яка постійна функція є безперервною скрізь,\(g(x,y)=3\) тому безперервна в кожній точці\((x,y)\) в\(xy\) -площині. Тому\(f(x,y)=2x^2y^3+3\) є безперервним у кожній\((x,y)\) точці на\(xy\) -площині. Останній,\(h(x)=x^4\) є неперервним у кожному дійсному числі\(x\), тому за неперервністю композитних функцій теорема\(g(x,y)=(2x^2y^3+3)^4\) є безперервною\((x,y)\) в кожній точці\(xy\) -площині.
Функції трьох і більше змінних
Межа функції трьох або більше змінних відбувається легко в додатках. Наприклад, припустимо, що у нас є функція\(f(x,y,z)\), яка дає температуру у фізичному місці\((x,y,z)\) в трьох вимірах. Або, можливо, функція\(g(x,y,z,t)\) може вказувати тиск повітря в певному місці\((x,y,z)\) в той час\(t\). Як ми можемо взяти ліміт в точці\(\mathbb{R}^3\)? Що означає бути безперервним у точці в чотирьох вимірах?
Відповіді на ці питання спираються на розширення поняття\(δ\) диска більш ніж на два виміри. Тоді ідеї межі функції трьох і більше змінних і безперервності функції трьох і більше змінних дуже схожі на визначення, наведені раніше для функції двох змінних.
\((x_0,y_0,z_0)\)Дозволяти бути точкою в\(\mathbb{R}^3\). Потім\(δ\) -куля в трьох вимірах складається з усіх точок\(\mathbb{R}^3\) лежачи на відстані менше, ніж\(δ\) від\((x_0,y_0,z_0)\) —тобто
\[\big\{(x,y,z)∈\mathbb{R}^3∣\sqrt{(x−x_0)^2+(y−y_0)^2+(z−z_0)^2}<δ\big\}. \nonumber \]
Щоб визначити\(δ\) -куля у вищих розмірах, додайте додаткові терміни під радикалом, щоб відповідати кожному додатковому виміру. Наприклад, з огляду на точку\(P=(w_0,x_0,y_0,z_0)\) в\(\mathbb{R}^4\),\(δ\) куля навколо\(P\) може бути описаний
\[\big\{(w,x,y,z)∈\mathbb{R}^4∣\sqrt{(w−w_0)^2+(x−x_0)^2+(y−y_0)^2+(z−z_0)^2}<δ\big\}. \nonumber \]
Щоб показати, що межа функції трьох змінних існує в точці\((x_0,y_0,z_0)\), достатньо показати\((x_0,y_0,z_0)\), що для будь-якої точки\(δ\) кулі з центром значення функції в цій точці довільно близьке до фіксованого значення (граничне значення). Усі граничні закони для функцій двох змінних мають також функції більше двох змінних.
Знайти
\[\lim_{(x,y,z)→(4,1,−3)}\dfrac{x^2y−3z}{2x+5y−z}. \nonumber \]
Рішення
Перш ніж ми можемо застосувати закон частки, нам потрібно переконатися, що межа знаменника ненульова. Використовуючи закон різниці, закон ідентичності та постійний закон,
\[\begin{align*}\lim_{(x,y,z)→(4,1,−3)}(2x+5y−z) =2(\lim_{(x,y,z)→(4,1,−3)}x)+5(\lim_{(x,y,z)→(4,1,−3)}y)−(\lim_{(x,y,z)→(4,1,−3)}z) \\ = 2(4)+5(1)−(−3) \\ = 16. \end{align*}\]
Так як це ненульове значення, то далі знаходимо межу чисельника. Використовуючи закон про продукт, закон влади, закон різниці, постійний множинний закон та закон ідентичності,
\[\begin{align*} \lim_{(x,y,z)→(4,1,−3)}(x^2y−3z) =(\lim_{(x,y,z)→(4,1,−3)}x)^2(\lim_{(x,y,z)→(4,1,−3)}y)−3\lim_{(x,y,z)→(4,1,−3)}z \\ =(4^2)(1)−3(−3) \\ = 16+9 \\ = 25 \end{align*}\]
Останній, застосовуючи частковий закон:
\[\lim_{(x,y,z)→(4,1,−3)}\dfrac{x^2y−3z}{2x+5y−z}=\dfrac{\displaystyle \lim_{(x,y,z)→(4,1,−3)}(x^2y−3z)}{\displaystyle \lim_{(x,y,z)→(4,1,−3)}(2x+5y−z)}=\dfrac{25}{16} \nonumber \]
Знайти
\[\lim_{(x,y,z)→(4,−1,3)}\sqrt{13−x^2−2y^2+z^2} \nonumber \]
- Підказка
-
Використовуйте граничні закони і безперервність складу функцій.
- Відповідь
-
\[\lim_{(x,y,z)→(4,−1,3)}\sqrt{13−x^2−2y^2+z^2}=2 \nonumber \]
Ключові концепції
- Для вивчення обмежень і неперервності функцій двох змінних ми використовуємо\(δ\) диск з центром навколо заданої точки.
- Функція декількох змінних має межу, якщо для будь-якої точки\(δ\) кулі з центром у\(P\) точці значення функції в цій точці довільно близьке до фіксованого значення (граничного значення).
- Граничні закони, встановлені для функції однієї змінної, мають природні розширення функцій більш ніж однієї змінної.
- Функція двох змінних є безперервною в точці, якщо межа існує в цій точці, функція існує в цій точці, а межа і функція рівні в цій точці.
Глосарій
- гранична точка
- точка\(R\) є\(P_0\) крайовою точкою, якщо кожен\(δ\) диск, центрований навколо,\(P_0\) містить точки як всередині, так і зовні\(R\)
- закритий набір
- множина\(S\), яка містить усі його граничні точки
- підключений набір
- відкритий набір\(S\), який не може бути представлений як об'єднання двох або більше нероз'єднаних, непорожніх відкритих підмножин
- \(δ\)диск
- відкритий диск радіуса з\(δ\) центром у точці\((a,b)\)
- \(δ\)м'яч
- всі точки\(\mathbb{R}^3\) лежачи на відстані менше, ніж\(δ\) від\((x_0,y_0,z_0)\)
- внутрішня точка
- точка\(P_0\)\(\mathbb{R}\) є граничною точкою, якщо є\(δ\) диск, зосереджений навколо, повністю\(P_0\) міститься в\(\mathbb{R}\)
- відкритий набір
- множина\(S\), яка не містить жодної з його граничних точок
- область
- відкрита, підключена, непорожня підмножина\(\mathbb{R}^2\)