Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

14.8: Множники Лагранжа

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

Цілі навчання
  • Використовувати метод множників Лагранжа для вирішення задач оптимізації з одним обмеженням.
  • Використовувати метод множників Лагранжа для вирішення задач оптимізації з двома обмеженнями.

Розв'язування задач оптимізації функцій двох і більше змінних може бути аналогічним вирішенню таких задач в однозмінному численні. Однак методи боротьби з декількома змінними дозволяють нам вирішувати більш різноманітні задачі оптимізації, для яких нам потрібно мати справу з додатковими умовами або обмеженнями. У цьому розділі ми розглянемо один з найбільш поширених і корисних методів вирішення задач оптимізації з обмеженнями.

Мультиплікатори Лагранжа

У попередньому розділі була досліджена прикладна ситуація, яка передбачає максимізацію функції прибутку з урахуванням певних обмежень. У цьому прикладі обмеження включали максимальну кількість м'ячів для гольфу, які можуть бути вироблені і продані в1 місяць(x), і максимальну кількість рекламних годин, які можуть бути придбані на місяць(y). Припустимо, вони були об'єднані в єдине бюджетне обмеження20x+4y≤216, наприклад, що враховували як витрати на виробництво м'ячів для гольфу, так і кількість рекламних годин, придбаних на місяць. Мета все ж полягає в тому, щоб максимізувати прибуток, але зараз існує інший тип обмеження на значенняx іy. Це обмеження і відповідна функція прибутку

f(x,y)=48x+96y−x^2−2xy−9y^2 \nonumber

є прикладом задачі оптимізації, а функціяf(x,y) називається об'єктивною функцією. Даліf(x,y) йде графік різних кривих рівня функції.

Серія обертаються еліпсів, які стають все більшими. Найменша з них маркується f (x, y) = 400, а найбільша маркується f (x, y) = 150.
Малюнок\PageIndex{1}: Графік, що показує криві рівня функції,f(x,y)=48x+96y−x^2−2xy−9y^2 що відповідаютьc=150,250,350, і400.

На\PageIndex{1} малюнку значенняc представляє різні рівні прибутку (тобто значення функціїf). У міруc збільшення значення крива зміщується вправо. Оскільки наша мета - максимізувати прибуток, ми хочемо вибрати криву якнайдалі вправо. Якби не було обмежень на кількість м'ячів для гольфу, які компанія могла б виробляти, або кількість доступних одиниць реклами, то ми могли б виробляти стільки м'ячів для гольфу, скільки хочемо, і не було б максимального прибутку для компанії. На жаль, у нас є бюджетне обмеження, яке моделюється нерівністю20x+4y≤216. Щоб побачити, як це обмеження взаємодіє з функцією прибутку, на малюнку\PageIndex{2} показаний графік лінії,20x+4y=216 накладеної на попередній графік.

Серія обертаються еліпсів, які стають все більшими. На найменшому еліпсі, який є червоним, є дотична лінія, позначена рівнянням 20x+ 4y = 216, яка, здається, торкається еліпса поблизу (10, 4).
Малюнок\PageIndex{2}: Графік кривих рівня функції,f(x,y)=48x+96y−x^2−2xy−9y^2 що відповідаєc=150,250,350, і395. Червоний графік - це функція обмеження.

Як вже говорилося раніше, максимальний прибуток виникає, коли крива рівня знаходиться якнайдалі вправо. Однак рівень виробництва, відповідний цьому максимальному прибутку, також повинен задовольняти бюджетному обмеженню, тому точка, в якій відбувається цей прибуток, також повинна лежати на (або ліворуч) червоній лінії на малюнку\PageIndex{2}. Огляд цього графіка показує, що ця точка існує там, де пряма є дотичною до кривої рівняf. Проби і помилки виявляють, що цей рівень прибутку, здається395,y є навколо, колиx і обидва просто менше, ніж5. Повертаємося до вирішення цієї проблеми пізніше в цьому розділі. З теоретичної точки зору, в точці, де крива прибутку дотична до лінії обмеження, градієнт обох функцій, оцінених в цій точці, повинен вказувати в одному (або протилежному) напрямку. Нагадаємо, що градієнт функції більше однієї змінної є вектором. Якщо два вектора вказують в однакових (або протилежних) напрямках, то один повинен бути постійним кратним іншому. Ця ідея лежить в основі методу множників Лагранжа.

Метод множників Лагранжа: одне обмеження

Теорема\PageIndex{1}:g Дозволятиf і бути функції двох змінних з неперервними частинними похідними в кожній точці деякої відкритої множиниf, що містить гладку кривуg(x,y)=0. Припустимоg(x,y)=0, що при обмеженні точками на кривій має локальний екстремум в точці(x_0,y_0) і що\vecs ∇g(x_0,y_0)≠0. Потім йде число,λ зване множником Лагранжа, для якого

\vecs ∇f(x_0,y_0)=λ\vecs ∇g(x_0,y_0). \nonumber

Доказ

Припустимо, що обмежений екстремум виникає в точці(x_0,y_0). Крім того, ми припускаємо, що рівнянняg(x,y)=0 можна плавно параметризувати як

x=x(s) \; \text{and}\; y=y(s)

деs - параметр довжини дуги з контрольною точкою(x_0,y_0) вs=0. Тому кількістьz=f(x(s),y(s)) має відносний максимальний або відносний мінімумs=0, і це означає, що\dfrac{dz}{ds}=0 в цей момент. З ланцюгового правила,

\begin{align*} \dfrac{dz}{ds} &=\dfrac{∂f}{∂x}⋅\dfrac{∂x}{∂s}+\dfrac{∂f}{∂y}⋅\dfrac{∂y}{∂s} \\[4pt] &=\left(\dfrac{∂f}{∂x}\hat{\mathbf i}+\dfrac{∂f}{∂y}\hat{\mathbf j}\right)⋅\left(\dfrac{∂x}{∂s}\hat{\mathbf i}+\dfrac{∂y}{∂s}\hat{\mathbf j}\right)\\[4pt] &=0, \end{align*}

де всі похідні оцінюються наs=0. Однак першим фактором у точковому добутку є градієнтf, а другий коефіцієнт - вектор дотичної одиниці\vec{\mathbf T}(0) до кривої обмеження. Оскільки точка(x_0,y_0) відповідаєs=0, то з цього рівняння випливає, що

\vecs ∇f(x_0,y_0)⋅\vecs{\mathbf T}(0)=0, \nonumber

що означає, що градієнт є або нульовим вектором,\vecs 0 або він є нормальним для кривої обмеження при обмеженому відносному екстремумі. Однак крива обмеженняg(x,y)=0 є кривою рівня для функції,g(x,y) так що якщо\vecs ∇g(x_0,y_0)≠0 потім\vecs ∇g(x_0,y_0) є нормальним для цієї кривої на(x_0,y_0) Це випливає, то, що є деякі скалярніλ такі, що

\vecs ∇f(x_0,y_0)=λ\vecs ∇g(x_0,y_0) \nonumber

\square

Щоб застосувати теорему\PageIndex{1} до задачі оптимізації, подібної до проблеми виробника м'ячів для гольфу, нам потрібна стратегія вирішення проблем.

Стратегія вирішення проблем: кроки для використання множників Лагранжа
  1. Визначтеf(x,y) цільову функцію та функцію обмеженняg(x,y). Чи передбачає задача оптимізації максимізації або мінімізації цільової функції?
  2. Налаштуйте систему рівнянь за наступним шаблоном:\begin{align} \vecs ∇f(x_0,y_0) &=λ\vecs ∇g(x_0,y_0) \\[4pt] g(x_0,y_0) &=0 \end{align}. \nonumber
  3. Вирішити дляx_0 іy_0.
  4. Найбільша з значеньf при розв'язках, знайдених в кроці,3 максимізуєf; найменші з цих значень мінімізуютьсяf.
Приклад\PageIndex{1}: Using Lagrange Multipliers

Використовуйте метод множників Лагранжа, щоб знайти мінімальне значенняf(x,y)=x^2+4y^2−2x+8y підлягає обмеженнюx+2y=7.

Рішення

Давайте слідувати стратегії вирішення проблем:

1. Мета функції полягаєf(x,y)=x^2+4y^2−2x+8y. в тому, щоб визначити функцію обмеження, ми повинні спочатку відняти7 з обох сторін обмеження. Цеx+2y−7=0. дає функцію обмеження дорівнює лівій стороні, так щоg(x,y)=x+2y−7. Задача просить нас вирішити для мінімального значенняf, з урахуванням обмежень (рис.\PageIndex{3}).

Два обертаються еліпса, один всередині іншого. На найбільшому еліпсі, який позначений f (x, y) = 26, є дотична лінія, позначена рівнянням x + 2y = 7, яка, здається, торкається еліпса поблизу (5, 1).
Малюнок\PageIndex{3}: Графік кривих рівня функції,f(x,y)=x^2+4y^2−2x+8y що відповідаєc=10 і26. Червоний графік - це функція обмеження.

2. Потім ми повинні обчислити градієнти обохf іg:

\begin{align*} \vecs \nabla f \left( x, y \right) &= \left( 2x - 2 \right) \hat{\mathbf{i}} + \left( 8y + 8 \right) \hat{\mathbf{j}} \\ \vecs \nabla g \left( x, y \right) &= \hat{\mathbf{i}} + 2 \hat{\mathbf{j}}. \end{align*}

Рівняння\vecs \nabla f \left( x_0, y_0 \right) = \lambda \vecs \nabla g \left( x_0, y_0 \right) стає

\left( 2 x_0 - 2 \right) \hat{\mathbf{i}} + \left( 8 y_0 + 8 \right) \hat{\mathbf{j}} = \lambda \left( \hat{\mathbf{i}} + 2 \hat{\mathbf{j}} \right), \nonumber

які можна переписати як

\left( 2 x_0 - 2 \right) \hat{\mathbf{i}} + \left( 8 y_0 + 8 \right) \hat{\mathbf{j}} = \lambda \hat{\mathbf{i}} + 2 \lambda \hat{\mathbf{j}}. \nonumber

Далі встановлюємо коефіцієнти\hat{\mathbf{i}} і\hat{\mathbf{j}} рівні один одному:

\begin{align*} 2 x_0 - 2 &= \lambda \\ 8 y_0 + 8 &= 2 \lambda. \end{align*}

Рівнянняg \left( x_0, y_0 \right) = 0 стаєx_0 + 2 y_0 - 7 = 0. Тому система рівнянь, яку потрібно розв'язати, є

\begin{align*} 2 x_0 - 2 &= \lambda \\ 8 y_0 + 8 &= 2 \lambda \\ x_0 + 2 y_0 - 7 &= 0. \end{align*}

3. Це лінійна система з трьох рівнянь в трьох змінних. Починаємо з вирішення другого рівняння дляλ і підстановки його в перше рівняння. Це даєλ=4y_0+4, тому підставляючи це в перше рівняння дає2x_0−2=4y_0+4.\nonumber Розв'язування цього рівняння дляx_0 даєx_0=2y_0+3. Потім підставляємо це в третє рівняння:

\begin{align*} (2y_0+3)+2y_0−7 =0 \\[4pt]4y_0−4 =0 \\[4pt]y_0 =1. \end{align*}

Так якx_0=2y_0+3, це даєx_0=5.

4. Далі, ми оцінюємоf(x,y)=x^2+4y^2−2x+8y в точці(5,1),f(5,1)=5^2+4(1)^2−2(5)+8(1)=27. \nonumber Щоб переконатися, що це відповідає мінімальному значенню на функцію обмеження, давайте спробуємо деякі інші точки на обмеження з обох сторін точки(5,1), такі як перехопленняg(x,y)=0, Які є(7,0) і(0,3.5).

Отримуємоf(7,0)=35 \gt 27 іf(0,3.5)=77 \gt 27.

Таким чином, виявляється, щоf має відносний27 мінімум at(5,1), з урахуванням заданого обмеження.

Вправа\PageIndex{1}

Використовуйте метод множників Лагранжа, щоб знайти максимальне значення

f(x,y)=9x^2+36xy−4y^2−18x−8y \nonumber

за умови обмеження3x+4y=32.

Підказка

Використовувати стратегію розв'язання задач для методу множників Лагранжа.

Відповідь

Підлягає заданому обмеженню,f має максимальне значення976 в точці(8,2).

Давайте тепер повернемося до проблеми, поставленої на початку розділу.

Приклад\PageIndex{2}: Golf Balls and Lagrange Multipliers

Виробник м'ячів для гольфу Pro-T розробив модель прибутку, яка залежить відx кількості проданих м'ячів для гольфу на місяць (вимірюється тисячами) та кількості годин на місяць реклами y, відповідно до функції

z=f(x,y)=48x+96y−x^2−2xy−9y^2, \nonumber

деz вимірюється тисячами доларів. Функція бюджетних обмежень, що стосуються витрат на виробництво тисяч м'ячів для гольфу та рекламних одиниць, дається20x+4y=216. Знайти значенняx іy які максимізувати прибуток, і знайти максимальний прибуток.

Рішення:

Знову ж таки, дотримуємося стратегії вирішення проблем:

  1. Мета функції полягаєf(x,y)=48x+96y−x^2−2xy−9y^2. в тому, щоб визначити функцію обмеження, ми спочатку віднімаємо216 з обох сторін обмеження, потім розділити обидві сторони на4, що дає5x+y−54=0. функція обмеження дорівнює лівій стороні, томуg(x,y)=5x+y−54. проблема просить нас вирішити для максимальне значенняf, з урахуванням цього обмеження.
  2. Отже, ми обчислюємо градієнти обохf іg:\begin{align*} \vecs ∇f(x,y) &=(48−2x−2y)\hat{\mathbf i}+(96−2x−18y)\hat{\mathbf j}\\[4pt]\vecs ∇g(x,y) &=5\hat{\mathbf i}+\hat{\mathbf j}. \end{align*} рівняння\vecs ∇f(x_0,y_0)=λ\vecs ∇g(x_0,y_0) стає(48−2x_0−2y_0)\hat{\mathbf i}+(96−2x_0−18y_0)\hat{\mathbf j}=λ(5\hat{\mathbf i}+\hat{\mathbf j}),\nonumber яке можна переписати, як(48−2x_0−2y_0)\hat{\mathbf i}+(96−2x_0−18y_0)\hat{\mathbf j}=λ5\hat{\mathbf i}+λ\hat{\mathbf j}.\nonumber Ми потім встановлюємо коефіцієнти\hat{\mathbf i} і\hat{\mathbf j} рівні один одному:\begin{align*} 48−2x_0−2y_0 =5λ \\[4pt] 96−2x_0−18y_0 =λ. \end{align*} Рівнянняg(x_0,y_0)=0 стає5x_0+y_0−54=0. Тому система рівнянь, яку потрібно розв'язати, є\begin{align*} 48−2x_0−2y_0 =5λ \\[4pt] 96−2x_0−18y_0 =λ \\[4pt]5x_0+y_0−54 =0. \end{align*}
  3. Ми використовуємо ліву частину другого рівняння для заміниλ в першому рівнянні:\begin{align*} 48−2x_0−2y_0 &=5(96−2x_0−18y_0) \\[4pt]48−2x_0−2y_0 &=480−10x_0−90y_0 \\[4pt] 8x_0 &=432−88y_0 \\[4pt] x_0 &=54−11y_0. \end{align*} Тоді ми підставляємо це в третє рівняння:\begin{align*} 5(54−11y_0)+y_0−54 &=0\\[4pt] 270−55y_0+y_0-54 &=0\\[4pt]216−54y_0 &=0 \\[4pt]y_0 &=4. \end{align*} Оскількиx_0=54−11y_0, це даєx_0=10.
  4. Потім ми підставляємо(10,4) вf(x,y)=48x+96y−x^2−2xy−9y^2, який дає\begin{align*} f(10,4) &=48(10)+96(4)−(10)^2−2(10)(4)−9(4)^2 \\[4pt] &=480+384−100−80−144 \\[4pt] &=540.\end{align*} Тому максимальний прибуток, який може бути досягнутий,$540,000 з урахуванням бюджетних обмежень, - це рівень виробництва м'ячів10,000 для гольфу та4 годин реклами, купленої на місяць. Давайте перевіримо, щоб переконатися, що це дійсно максимум. Кінцеві точки лінії, яка визначає обмеження,(10.8,0) і(0,54) Давайте оцінюємоf в обох цих точках:\begin{align*} f(10.8,0) &=48(10.8)+96(0)−10.8^2−2(10.8)(0)−9(0^2) \\[4pt] &=401.76 \\[4pt] f(0,54) &=48(0)+96(54)−0^2−2(0)(54)−9(54^2) \\[4pt] &=−21,060. \end{align*} Друге значення являє собою втрату, оскільки не виробляються м'ячі для гольфу. Жодне з цих значень не перевищує540, тому здається, що наш екстремум є максимальним значеннямf, з урахуванням заданого обмеження.
Вправа\PageIndex{2}: Optimizing the Cobb-Douglas function

Компанія визначила, що рівень її виробництва визначається функцієюf(x,y)=2.5x^{0.45}y^{0.55} Кобба-Дугласа, якаx представляє загальну кількість робочих годин у1 році таy представляє загальний капітал для компанії. Припустимо1 одиницю витрат праці$40 і1 одиницю капітальних витрат$50. Використовуйте метод множників Лагранжа, щоб знайти максимальне значенняf(x,y)=2.5x^{0.45}y^{0.55} підлягає бюджетному обмеженню$500,000 в рік.

Підказка

Використовувати стратегію розв'язання задач для методу множників Лагранжа.

Відповідь

З урахуванням даного обмеження, максимальний рівень виробництва13890 відбувається з5625 робочими годинами та$5500 загальним капіталом.

У випадку об'єктивної функції з трьома змінними та єдиною функцією обмеження можна також використовувати метод множників Лагранжа для розв'язання задачі оптимізації. Прикладом об'єктивної функції з трьома змінними може бути функція Кобба-Дугласа у Вправи\PageIndex{2}:f(x,y,z)=x^{0.2}y^{0.4}z^{0.4}, деx представляє вартість робочої сили,y представляє вкладення капіталу таz представляє вартість реклами. Метод такий же, як і для методу з функцією двох змінних; рівняння, що підлягають розв'язанню

\begin{align*} \vecs ∇f(x,y,z) &=λ\vecs ∇g(x,y,z) \\[4pt] g(x,y,z) &=0. \end{align*}

Приклад\PageIndex{3}: Lagrange Multipliers with a Three-Variable objective function

Максимізувати функцію, щоf(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 підлягає обмеженнюx+y+z=1.

Рішення

1. Мета функції полягаєf(x,y,z)=x^2+y^2+z^2. в тому, щоб визначити функцію обмеження, ми віднімаємо1 з кожної сторони обмеження:x+y+z−1=0 що дає функцію обмеження якg(x,y,z)=x+y+z−1.

2. Далі ми обчислюємо\vecs ∇f(x,y,z) і\vecs ∇g(x,y,z):\begin{align*} \vecs ∇f(x,y,z) &=⟨2x,2y,2z⟩ \\[4pt] \vecs ∇g(x,y,z) &=⟨1,1,1⟩. \end{align*} Це призводить до рівнянь\begin{align*} ⟨2x_0,2y_0,2z_0⟩ &=λ⟨1,1,1⟩ \\[4pt] x_0+y_0+z_0−1 &=0 \end{align*}, які можна переписати в наступному вигляді:\begin{align*} 2x_0 &=λ\\[4pt] 2y_0 &=λ \\[4pt] 2z_0 &=λ \\[4pt] x_0+y_0+z_0−1 &=0. \end{align*}

3. Оскільки кожне з перших трьох рівнянь маєλ на правій стороні, ми знаємо, що2x_0=2y_0=2z_0 і всі три змінні рівні один одному. Підстановкаy_0=x_0 іz_0=x_0 в останнє рівняння дає3x_0−1=0, такx_0=\frac{1}{3}y_0=\frac{1}{3} і іz_0=\frac{1}{3} яке відповідає критичній точці на кривій обмеження.

4. Потім ми оцінюємоf в точці\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right):f\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3} \nonumber Отже, можливий екстремум функції є\frac{1}{3}. Щоб переконатися, що це мінімум, виберіть інші точки, які задовольняють обмеженню з обох боків точки, яку ми отримали вище, і обчислитиf в цих точках. Наприклад,\begin{align*} f(1,0,0) &=1^2+0^2+0^2=1 \\[4pt] f(0,−2,3) &=0^2++(−2)^2+3^2=13. \end{align*} Обидва ці значення більше\frac{1}{3}, ніж, приводячи нас до думки, що екстремум є мінімумом, з урахуванням даного обмеження.

Вправа\PageIndex{3}

Використовуйте метод множників Лагранжа, щоб знайти мінімальне значення функції

f(x,y,z)=x+y+z \nonumber

за умови обмеженняx^2+y^2+z^2=1.

Підказка

Використовувати стратегію розв'язання задач для методу множників Лагранжа з цільовою функцією трьох змінних.

Відповідь

Оцінкаf в обох точках, які ми отримали, дає нам,\begin{align*} f\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) =\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3} \\ f\left(−\dfrac{\sqrt{3}}{3},−\dfrac{\sqrt{3}}{3},−\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) =−\dfrac{\sqrt{3}}{3}−\dfrac{\sqrt{3}}{3}−\dfrac{\sqrt{3}}{3}=−\sqrt{3}\end{align*} так як обмеження є безперервним, ми порівнюємо ці значення і робимо висновок, щоf має відносний мінімум−\sqrt{3} в точці\left(−\dfrac{\sqrt{3}}{3},−\dfrac{\sqrt{3}}{3},−\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right), з урахуванням даного обмеження.

Проблеми з двома обмеженнями

Метод множників Лагранжа може бути застосований до задач з більш ніж одним обмеженням. В даному випадку об'єктивною функцією,w є функція трьох змінних:

w=f(x,y,z) \nonumber

і вона підпорядковується двом обмеженням:

g(x,y,z)=0 \; \text{and} \; h(x,y,z)=0. \nonumber

Є два множника Лагранжа,λ_1 іλ_2, і система рівнянь стає

\begin{align*} \vecs ∇f(x_0,y_0,z_0) &=λ_1\vecs ∇g(x_0,y_0,z_0)+λ_2\vecs ∇h(x_0,y_0,z_0) \\[4pt] g(x_0,y_0,z_0) &=0\\[4pt] h(x_0,y_0,z_0) &=0 \end{align*}

Приклад\PageIndex{4}: Lagrange Multipliers with Two Constraints

Знайти максимальне і мінімальне значення функції

f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 \nonumber

з урахуванням обмеженьz^2=x^2+y^2 іx+y−z+1=0.

Рішення

Давайте слідувати стратегії вирішення проблем:

  1. Мета функції полягаєf(x,y,z)=x^2+y^2+z^2. в тому, щоб визначити функції обмеження, ми спочатку віднімаємоz^2 з обох сторін першого обмеження, яке даєx^2+y^2−z^2=0, такg(x,y,z)=x^2+y^2−z^2. Друга функція обмеження:h(x,y,z)=x+y−z+1.
  2. Потім ми обчислюємо градієнтиf,g, іh:\begin{align*} \vecs ∇f(x,y,z) &=2x\hat{\mathbf i}+2y\hat{\mathbf j}+2z\hat{\mathbf k} \\[4pt] \vecs ∇g(x,y,z) &=2x\hat{\mathbf i}+2y\hat{\mathbf j}−2z\hat{\mathbf k} \\[4pt] \vecs ∇h(x,y,z) &=\hat{\mathbf i}+\hat{\mathbf j}−\hat{\mathbf k}. \end{align*} рівняння\vecs ∇f(x_0,y_0,z_0)=λ_1\vecs ∇g(x_0,y_0,z_0)+λ_2\vecs ∇h(x_0,y_0,z_0) стає2x_0\hat{\mathbf i}+2y_0\hat{\mathbf j}+2z_0\hat{\mathbf k}=λ_1(2x_0\hat{\mathbf i}+2y_0\hat{\mathbf j}−2z_0\hat{\mathbf k})+λ_2(\hat{\mathbf i}+\hat{\mathbf j}−\hat{\mathbf k}), \nonumber яке може бути переписано як2x_0\hat{\mathbf i}+2y_0\hat{\mathbf j}+2z_0\hat{\mathbf k}=(2λ_1x_0+λ_2)\hat{\mathbf i}+(2λ_1y_0+λ_2)\hat{\mathbf j}−(2λ_1z_0+λ_2)\hat{\mathbf k}. \nonumber Далі, ми встановлюємо коефіцієнти\hat{\mathbf i} і\hat{\mathbf j} рівні один одному:\begin{align*}2x_0 &=2λ_1x_0+λ_2 \\[4pt]2y_0 &=2λ_1y_0+λ_2 \\[4pt]2z_0 &=−2λ_1z_0−λ_2. \end{align*} Два рівняння, що виникають з обмежень є z_0^2=x_0^2+y_0^2іx_0+y_0−z_0+1=0. Поєднання цих рівнянь з попередніми трьома рівняннями дає\begin{align*} 2x_0 &=2λ_1x_0+λ_2 \\[4pt]2y_0 &=2λ_1y_0+λ_2 \\[4pt]2z_0 &=−2λ_1z_0−λ_2 \\[4pt]z_0^2 &=x_0^2+y_0^2 \\[4pt]x_0+y_0−z_0+1 &=0. \end{align*}
  3. Перші три рівняння містять зміннуλ_2. Розв'язування третього рівняння дляλ_2 і заміна в перше і друге рівняння зменшує кількість рівнянь до чотирьох:\begin{align*}2x_0 &=2λ_1x_0−2λ_1z_0−2z_0 \\[4pt] 2y_0 &=2λ_1y_0−2λ_1z_0−2z_0\\[4pt] z_0^2 &=x_0^2+y_0^2\\[4pt] x_0+y_0−z_0+1 &=0. \end{align*} Далі вирішуємо перше і друге рівняння дляλ_1. Перше рівняння даєλ_1=\dfrac{x_0+z_0}{x_0−z_0}, друге рівняння даєλ_1=\dfrac{y_0+z_0}{y_0−z_0}. Ми ставимо праву частину кожного рівняння рівною один одному і перехресно множимо:\begin{align*} \dfrac{x_0+z_0}{x_0−z_0} &=\dfrac{y_0+z_0}{y_0−z_0} \\[4pt](x_0+z_0)(y_0−z_0) &=(x_0−z_0)(y_0+z_0) \\[4pt]x_0y_0−x_0z_0+y_0z_0−z_0^2 &=x_0y_0+x_0z_0−y_0z_0−z_0^2 \\[4pt]2y_0z_0−2x_0z_0 &=0 \\[4pt]2z_0(y_0−x_0) &=0. \end{align*} Отже, абоz_0=0 абоy_0=x_0. Якщоz_0=0, то першим стає обмеження0=x_0^2+y_0^2. Єдиним реальним рішенням цього рівняння єx_0=0 іy_0=0, який дає впорядковану трійку(0,0,0). Цей момент не задовольняє другому обмеженню, тому він не є рішенням. Далі розглянемоy_0=x_0, що зменшує кількість рівнянь до трьох:\begin{align*}y_0 &= x_0 \\[4pt] z_0^2 &= x_0^2 +y_0^2 \\[4pt] x_0 + y_0 -z_0+1 &=0. \end{align*} \nonumber підставляємо перше рівняння в друге і третє рівняння:\begin{align*} z_0^2 &= x_0^2 +x_0^2 \\[4pt] &= x_0+x_0-z_0+1 &=0. \end{align*} \nonumber Потім, вирішуємо друге рівняння дляz_0, яке даєz_0=2x_0+1. Потім ми підставляємо це в перше рівняння\begin{align*} z_0^2 &= 2x_0^2 \\[4pt] (2x_0^2 +1)^2 &= 2x_0^2 \\[4pt] 4x_0^2 + 4x_0 +1 &= 2x_0^2 \\[4pt] 2x_0^2 +4x_0 +1 &=0, \end{align*} і використовуємо квадратичну формулу для вирішення дляx_0: x_0 = \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 -4(2)(1)} }{2(2)} = \dfrac{-4\pm \sqrt{8}}{4} = \dfrac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = -1 \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}. \nonumber Відкликатиy_0=x_0, так що це вирішуєy_0 також. Тоді,z_0 = 2x_0 +1 =2 \left( -1 \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) +1 = -2 + 1 \pm \sqrt{2} = -1 \pm \sqrt{2} . \nonumber отжеz_0=2x_0+1, є два впорядкованих триплетних рішення:\left( -1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2} , -1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2} , -1 + \sqrt{2} \right) \; \text{and} \; \left( -1 -\dfrac{\sqrt{2}}{2} , -1 -\dfrac{\sqrt{2}}{2} , -1 -\sqrt{2} \right). \nonumber
  4. Ми підставляємо\left(−1+\dfrac{\sqrt{2}}{2},−1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}, −1+\sqrt{2}\right) вf(x,y,z)=x^2+y^2+z^2, який дає\begin{align*} f\left( -1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}, -1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2} , -1 + \sqrt{2} \right) &= \left( -1+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \left( -1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + (-1+\sqrt{2})^2 \\[4pt] &= \left( 1-\sqrt{2}+\dfrac{1}{2} \right) + \left( 1-\sqrt{2}+\dfrac{1}{2} \right) + (1 -2\sqrt{2} +2) \\[4pt] &= 6-4\sqrt{2}. \end{align*} Потім, ми підставляємо\left(−1−\dfrac{\sqrt{2}}{2}, -1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}, -1+\sqrt{2}\right) вf(x,y,z)=x^2+y^2+z^2, який дає\begin{align*} f\left(−1−\dfrac{\sqrt{2}}{2}, -1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}, -1+\sqrt{2} \right) &= \left( -1-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \left( -1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + (-1-\sqrt{2})^2 \\[4pt] &= \left( 1+\sqrt{2}+\dfrac{1}{2} \right) + \left( 1+\sqrt{2}+\dfrac{1}{2} \right) + (1 +2\sqrt{2} +2) \\[4pt] &= 6+4\sqrt{2}. \end{align*}6+4\sqrt{2} максимальне значення і6−4\sqrt{2} є мінімальним значеннямf(x,y,z), з урахуванням заданих обмежень.
Вправа\PageIndex{4}

Використовуйте метод множників Лагранжа, щоб знайти мінімальне значення функції

f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 \nonumber

з урахуванням обмежень2x+y+2z=9 і5x+5y+7z=29.

Підказка

Використовувати стратегію розв'язання задач для методу множників Лагранжа з двома обмеженнями.

Відповідь

f(2,1,2)=9є мінімальним значеннямf, з урахуванням заданих обмежень.

Ключові концепції

  • Цільова функція в поєднанні з одним або декількома обмеженнями є прикладом задачі оптимізації.
  • Для розв'язання задач оптимізації застосовується метод множників Лагранжа, використовуючи чотириступінчасту стратегію розв'язання задач.

Ключові рівняння

  • Метод множників Лагранжа, одне обмеження

\vecs ∇f(x_0,y_0)=λ\vecs ∇g(x_0,y_0)

g(x_0,y_0)=0

  • Метод множників Лагранжа, два обмеження

\vecs ∇f(x_0,y_0,z_0)=λ_1\vecs ∇g(x_0,y_0,z_0)+λ_2\vecs ∇h(x_0,y_0,z_0)

g(x_0,y_0,z_0)=0

h(x_0,y_0,z_0)=0

Глосарій

обмеження
нерівність або рівняння за участю однієї або декількох змінних, яка використовується в задачі оптимізації; обмеження встановлює обмеження на можливі рішення задачі
множник Лагранжа
константа (або константи), що використовується в методі множників Лагранжа; у випадку однієї константи вона представлена змінноюλ
метод множників Лагранжа
метод розв'язання задачі оптимізації з урахуванням одного або декількох обмежень
об'єктивна функція
функція, яка повинна бути максимізована або мінімізована в задачі оптимізації
проблема оптимізації
обчислення максимального або мінімального значення функції декількох змінних, часто з використанням множників Лагранжа