10.2: Властивості силової серії

Цілі навчання

• Поєднуйте силові ряди шляхом додавання або віднімання.
• Створіть новий енергетичний ряд шляхом множення на ступінь змінної або константи, або шляхом підстановки.
• Помножте два ряди потужності разом.
• Диференціювати та інтегрувати силові ряди термін за терміном.

У попередньому розділі, присвяченому силовим рядам та функціям, ми показали, як представляти певні функції за допомогою силових рядів. У цьому розділі ми обговорюємо, як силові ряди можна поєднувати, диференціювати або інтегрувати для створення нових силових рядів. Ця можливість особливо корисна з кількох причин. По-перше, це дозволяє нам знаходити уявлення степеневих рядів для певних елементарних функцій, записуючи ці функції з точки зору функцій з відомими рядами потужності. Наприклад, враховуючи подання рядів потужності для$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$, ми можемо знайти подання рядів потужності для$f′(x)=\dfrac{1}{(1−x)^2}$. По-друге, можливість створювати ряди потужності дозволяє нам визначати нові функції, які неможливо записати з точки зору елементарних функцій. Ця можливість особливо корисна для розв'язання диференціальних рівнянь, для яких немає розв'язку з точки зору елементарних функцій.

Поєднання силових серій

Якщо у нас є два ряди потужності з однаковим інтервалом збіжності, ми можемо додати або відняти два ряди, щоб створити новий силовий ряд, також з тим же інтервалом збіжності. Аналогічно, ми можемо помножити ряд степенів на ступінь$x$ або оцінити ряд степенів на$x^m$ для позитивного цілого числа,$m$ щоб створити новий енергетичний ряд. Вміння це зробити дозволяє нам знаходити уявлення силових рядів для певних функцій, використовуючи уявлення рядів потужності інших функцій. Наприклад, оскільки ми знаємо подання рядів потужності для$f(x)=\frac{1}{1−x}$, ми можемо знайти уявлення серій потужності для пов'язаних функцій, таких як

$$y=\dfrac{3x}{1−x^2} \nonumber$$

і

$$y=\dfrac{1}{(x−1)(x−3)}. \nonumber$$

У$\PageIndex{1}$ примітці наведено результати щодо додавання або віднімання степеневого ряду, складу степеневого ряду та множення степеневого ряду на ступінь змінної. Для простоти викладено теорему для степеневих рядів, зосереджених на$x=0$. Аналогічні результати тримають для силових рядів, зосереджених на$x=a$.

Примітка:$\PageIndex{1}$: Combining Power Series

Припустимо, що два силових ряду$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ і$\displaystyle\sum_{n=0}^∞d_nx^n$ сходяться з функціями$f$ і$g$, відповідно, на загальному інтервалі$I$.

1. Силовий ряд$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(c_nx^n±d_nx^n)$ сходиться до$f±g$ включення$I$.
2. Для будь-якого цілого$m≥0$ і будь-якого дійсного числа$b$ степеневий ряд$\displaystyle \sum_{n=0}^∞bx^m_nx^n$ сходиться до$bx^mf(x)$ on$I$.
3. Для будь-якого цілого$m≥0$ і будь-якого дійсного числа$b$, ряд$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(bx^m)^n$ сходиться до$f(bx^m)$ для всіх$x$ таких, що$bx^m$ знаходиться в$I$.

Доказ

Доводимо$i$. у випадку з серіалом$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(c_nx^n+d_nx^n)$. Припустимо, що$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ і$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$ сходяться до функцій$f$ і$g$, відповідно, на інтервалі$I$. $x$Дозволяти крапку в$I$$S_N(x)$ і нехай і$T_N(x)$ позначають N-ї часткові суми ряду$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ і$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$, відповідно. Потім послідовність${S_N(x)}$ сходиться до$f(x)$ і послідовність${T_N(x)}$ сходиться до$g(x)$. Крім того, N -я часткова сума$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(c_nx^n+d_nx^n)$ його

$$\begin{align*} \sum_{n=0}^N(c_nx^n+d_nx^n) =\sum_{n=0}^Nc_nx^n+\sum_{n=0}^Nd_nx^n\\[4pt] =S_N(x)+T_N(x).\end{align*}$$

Тому що

$$\begin{align*} \lim_{N→∞}(S_N(x)+T_N(x)) =\lim_{N→∞}S_N(x)+\lim_{N→∞}T_N(x)\\[4pt] =f(x)+g(x), \end{align*}$$

робимо висновок, що ряд$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(c_nx^n+d_nx^n)$ сходиться до$f(x)+g(x).$

□

Розглянуто добутки силових рядів у більш пізній теоремі. Спочатку ми показуємо декілька застосувань Note та як знайти інтервал збіжності степеневого ряду за інтервалом збіжності спорідненого степеневого ряду.

Приклад$\PageIndex{1}$: Combining Power Series

Припустимо, що$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$ це енергетичний ряд, інтервал зближення якого є$(−1,1)$, і припустимо, що$\displaystyle \sum_{n=0}^∞b_nx^n$ це енергетичний ряд, інтервал зближення якого$(−2,2).$

1. Знайти інтервал збіжності ряду$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(a_nx^n+b_nx^n).$
2. Знайти інтервал збіжності ряду$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_n3^nx^n.$

Рішення

1. Оскільки інтервал$(−1,1)$ є загальним інтервалом збіжності ряду$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$ і$\displaystyle \sum_{n=0}^∞b_nx^n$, інтервал збіжності ряду$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(a_nx^n+b_nx^n)$ дорівнює$(−1,1)$.
2. Оскільки$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$ є степеневий ряд, центрований на нулі з радіусом збіжності,$1,$ він сходиться для всіх$x$ в інтервалі$(−1,1).$ By Note, ряд $$\sum_{n=0}^∞a_n3^nx^n=\sum_{n=0}^∞a_n(3x)^n \nonumber$$ сходиться, якщо$3x$ знаходиться в інтервалі$(−1,1)$. Тому ряд сходиться для всіх$x$ в проміжку$\left(−\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right).$

Вправа$\PageIndex{1}$

Припустимо, що$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$ має інтервал зближення$(−1,1)$. Знайти інтервал збіжності$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_n(\dfrac{x}{2})^n$.

Підказка

Знайти значення$x$ таких, що$\dfrac{x}{2}$ знаходиться в інтервалі$(−1,1).$

Відповідь

Інтервал збіжності дорівнює$(−2,2).$

У наступному прикладі ми покажемо, як використовувати Note та power series для функції f для побудови рядів потужності для функцій, пов'язаних з$f$. Зокрема, ми розглядаємо функції, пов'язані з функцією,$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$ і використовуємо той факт, що

$$\dfrac{1}{1−x}=\sum_{n=0}^∞x^n=1+x+x^2+x^3+\ldots \nonumber$$

для$|x|<1.$

Приклад$\PageIndex{2}$: Constructing Power Series from Known Power Series

Скористайтеся представленням рядів степенів для$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$ об'єднання з Приміткою для побудови рядів потужності для кожної з наступних функцій. Знайти інтервал збіжності степеневого ряду.

1. $f(x)=\dfrac{3x}{1+x^2}$
2. $f(x)=\dfrac{1}{(x−1)(x−3)}$

Рішення

а. спочатку напишіть$f(x)$ як

$$f(x)=3x\left(\dfrac{1}{1−(−x^2)}\right). \nonumber$$

Використовуючи представлення степеневих$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$ рядів для та частин iii. та III. примітки, ми виявимо, що представлення степеневої серії для$f$ задається

$$\sum_{n=0}^∞3x(−x^2)^n=\sum_{n=0}^∞3(−1)^nx^{2n+1}. \nonumber$$

Оскільки інтервал збіжності ряду for$\dfrac{1}{1−x}$ is$(−1,1)$, інтервал збіжності для цього нового ряду - це набір дійсних чисел$x$ такого, що$∣x^2∣<1$. Тому інтервал сходження дорівнює$(−1,1).$

b. щоб знайти представлення степеневих рядів, використовуйте часткові дроби, щоб записати$f(x)=\dfrac{1}{(x-1)(x−3)}$ як суму двох дробів. У нас є

$$\dfrac{1}{(x−1)(x−3)}=\dfrac{−1/2}{x−1}+\dfrac{1/2}{x−3}=\dfrac{1/2}{1−x}−\dfrac{1/2}{3−x}=\dfrac{1/2}{1−x}−\dfrac{1/6}{1−\dfrac{x}{3}}. \nonumber$$

По-перше, використовуючи частину ii. Note, отримуємо

$$\dfrac{1/2}{1−x}=\sum_{n=0}^∞\dfrac{1}{2}x^n \quad\text{for } |x|<1. \nonumber$$

Потім, використовуючи частини ii. і iii. Примітки, ми маємо

$$\dfrac{1/6}{1−x/3}=\sum_{n=0}^∞\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{x}{3}\right)^n \quad\text{for } |x|<3. \nonumber$$

Оскільки ми об'єднуємо ці два силових ряди, інтервал збіжності різниці повинен бути меншим з цих двох інтервалів. Використовуючи цей факт і частину i. Примітки, ми маємо

$$\dfrac{1}{(x−1)(x−3)}=\sum_{n=0}^∞\left(\dfrac{1}{2}−\dfrac{1}{6⋅3^n}\right)x^n \nonumber$$

де інтервал зближення$(−1,1)$.

Вправа$\PageIndex{}2$

Використовуйте ряд для$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$ on,$|x|<1$ щоб побудувати ряд для$\dfrac{1}{(1−x)(x−2)}.$ Визначення інтервалу збіжності.

Підказка

Використовуйте часткові дроби для перезапису$\dfrac{1}{(1−x)(x−2)}$ як різниці двох дробів.

Відповідь

$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\left(−1+\dfrac{1}{2^{n+1}}\right)x^n$. Інтервал зближення дорівнює$(−1,1)$.

У$\PageIndex{2}$ прикладі ми показали, як знайти ряди потужності для певних функцій. У прикладі$\PageIndex{3}$ ми покажемо, як зробити протилежне: задано ряд степенів, визначаємо, яку функцію він представляє.

Приклад$\PageIndex{3}$: Finding the Function Represented by a Given Power Series

Розглянемо силовий ряд$\displaystyle \sum_{n=0}^∞2^nx^n.$ Знайдіть функцію f, представлену цією серією. Визначте інтервал збіжності ряду.

Рішення

Написання даної серії як

$$\sum_{n=0}^∞2^nx^n=\sum_{n=0}^∞(2x)^n, \nonumber$$

ми можемо визнати цю серію як силовий ряд для

$$f(x)=\dfrac{1}{1−2x}. \nonumber$$

Оскільки це геометричний ряд, ряд сходиться якщо і тільки тоді,$|2x|<1.$ тому інтервал збіжності дорівнює$\left(−\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right).$

Вправа$\PageIndex{3}$

Знайдіть функцію, представлену силовим рядом$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\dfrac{1}{3^n}x^n$.

Визначте його інтервал збіжності.

Підказка

Пишіть$\dfrac{1}{3^n}x^n=\left(\dfrac{x}{3}\right)^n$.

Відповідь

$f(x)=\dfrac{3}{3−x}.$Інтервал зближення дорівнює$(−3,3)$.

Згадаймо питання, поставлені в розділі відкривачка про те, який кращий спосіб отримання виплат з виграшів в лотерею. Тепер ми переглядаємо ці питання і покажемо, як використовувати серії для порівняння значень платежів з часом з одноразовою виплатою сьогодні. Ми обчислимо, скільки коштують майбутні платежі з точки зору сьогоднішніх доларів, припускаючи, що ми маємо можливість інвестувати виграші та заробляти відсотки. Вартість майбутніх платежів з точки зору сьогоднішніх доларів відома як поточна вартість цих платежів.

Приклад$\PageIndex{4}$: Present Value of Future Winnings

Припустимо, ви виграли в лотерею і вам надаються наступні три варіанти:

• Отримати 20 мільйонів доларів сьогодні;
• Отримувати 1,5 мільйона доларів на рік протягом наступних 20 років; або
• Отримуйте 1 мільйон доларів на рік на невизначений термін (передається своїм спадкоємцям).

Яка вигідна угода, якщо припустити, що річна процентна ставка становить 5%? Ми відповідаємо на це, опрацювавши наступну послідовність питань.

1. Скільки коштує 1,5 мільйона доларів, отриманих щорічно протягом 20 років, в перерахунку на сьогоднішні долари, припускаючи річну процентну ставку 5%?
2. Скористайтеся відповіддю на частину а. щоб знайти загальну формулу поточної вартості платежів$C$ доларів, отриманих щороку протягом наступних n років, припускаючи середньорічну процентну ставку$r$.
3. Знайдіть формулу для теперішньої вартості, якщо щорічні виплати$C$ доларів тривають нескінченно довго, припускаючи середньорічну процентну ставку$r$.
4. Використовуйте відповідь на частину c., щоб визначити теперішню вартість 1 мільйона доларів, що сплачуються щорічно безстроково.
5. Використовуйте свої відповіді на частини a. і d. щоб визначити, який з трьох варіантів найкращий.

Малюнок$\PageIndex{1}$: (Кредит: модифікація роботи Роберта Хафстаттера, Flickr)

Рішення

а) Розглянемо виплату в розмірі 1,5 мільйона доларів, здійснену в кінці першого року. Якби ви змогли отримати цей платіж сьогодні, а не через рік, ви могли б інвестувати ці гроші і заробити 5% відсотків. Тому нинішня вартість цих грошей$P_1$ задовольняє$P_1(1+0.05)=1.5$ мільйони доларів. Ми робимо висновок, що

$P_1=\dfrac{1.5}{1.05}=$1.429$мільйон доларів.

Аналогічним чином розглянемо виплату в 1,5 мільйона доларів, здійснену в кінці другого року. Якби ви змогли отримати цей платіж сьогодні, ви могли б інвестувати ці гроші протягом двох років, заробляючи 5% відсотків, що складаються щорічно. Тому нинішня вартість цих грошей$P_2$ задовольняє$P_2(1+0.05)^2=1.5$ мільйони доларів. Ми робимо висновок, що

$P_2=1.5(1.05)^2=$1.361$мільйон доларів.

Значення майбутніх платежів сьогодні - це сума нинішніх значень кожного$P_1,P_2,…,P_{20}$ з цих щорічних платежів. Справжня вартість$P_k$ задовольняє

$P_k=\dfrac{1.5}{(1.05)^k}$.

Тому,

$P=\dfrac{1.5}{1.05}+\dfrac{1.5}{(1.05)^2}+\ldots+\dfrac{1.5}{(1.05)^{20}}=$18.693$мільйон доларів.

б. використовуючи результат з частини a. ми бачимо, що поточна вартість P доларів С, що сплачується щорічно протягом n років, припускаючи річну процентну ставку r, задається

$P=\dfrac{C}{1+r}+\dfrac{C}{(1+r)^2}+\ldots+\dfrac{C}{(1+r)^n}$доларів.

c Використовуючи результат з частини b., ми бачимо, що теперішнє значення ануїтету, що триває нескінченно довго, задається нескінченним рядом

$$P=\sum_{n=0}^∞\dfrac{C}{(1+r)^{n+1}}.\nonumber$$

Ми можемо розглядати теперішнє значення як енергетичний ряд в$r$, який сходиться до тих пір, поки$\Bigg|\dfrac{1}{1+r}\Bigg|<1$. Так як$r>0$, цей ряд сходиться. Переписування серії як

$$P=\dfrac{C}{(1+r)}\sum_{n=0}^∞\left(\dfrac{1}{1+r}\right)^n,\nonumber$$

ми визнаємо цю серію силовою серією для

$f(r)=\dfrac{1}{1−\left(\dfrac{1}{1+r}\right)}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{r}{1+r}\right)}=\dfrac{1+r}{r}$.

Робимо висновок, що поточна вартість цього ануїтету дорівнює

$P=\dfrac{C}{1+r}⋅\dfrac{1+r}{r}=\dfrac{C}{r}.$

d Від результату до частини c. робимо висновок, що поточна вартість$P$$C=1$ мільйонів доларів, що виплачується щороку безстроково, припускаючи річну$r=0.05$ процентну ставку, дається

$P=\dfrac{1}{0.05}=20$мільйон доларів.

е. з частини а. ми бачимо, що отримання $1,5 млн доларів протягом 20 років коштує $18.693 млн доларів в сьогоднішніх доларах. З частини d. ми бачимо, що отримання $1 млн доларів на рік безстроково коштує 20 мільйонів доларів у сьогоднішніх доларах. Тому або отримання паушальної виплати в розмірі 20 мільйонів доларів сьогодні, або отримання $1 млн доларів безстроково мають однакову теперішню вартість.

Множення силових рядів

Ми також можемо створити нові силові серії, множивши ряди потужності. Можливість помножити два ряди потужності забезпечує ще один спосіб пошуку подань рядів потужності для функцій. Те, як ми їх множимо, схожий на те, як ми множимо многочлени. Наприклад, припустимо, що ми хочемо помножити

$$\sum_{n=0}^∞c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots \nonumber$$

і

$$\sum_{n=0}^∞d_nx^n=d_0+d+1x+d_2x^2+\ldots. \nonumber$$

Виявляється, продукт повинен задовольняти

$$\left(\sum_{n=0}^∞c_nx^n\right)\left(\sum_{n=−0}^∞d_nx^n\right)=(c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots)⋅(d_0+d_1x+d_2x^2+\ldots)=c_0d^0+(c_1d^0+c_0d^1)x+(c_2d^0+c_1d^1+c_0d^2)x^2+\ldots. \nonumber$$

У Примітці ми викладемо основний результат щодо множення рядів потужності, показуючи, що якщо$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ і$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$ сходяться на загальному інтервалі$I$, то ми можемо множити ряд таким чином, і отриманий ряд також сходиться на інтервалі$I$.

Множення потужності серії

Припустимо, що силові$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$ ряди$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ і сходяться до$f$ і$g$, відповідно, на загальному інтервалі$I$. Нехай

$$e_n=c_0d_n+c_1d_{n−1}+c_2d_{n−2}+\ldots+c_{n−1}d_1+c_nd_0=\sum_{k=0}^nc_kd_{n−k}. \nonumber$$

Тоді

$$\left(\sum_{n=0}^∞c_nx^n\right)\left(\sum_{n=0}^∞d_nx^n\right)=\sum_{n=0}^∞e_nx^n \nonumber$$

і

$$\sum_{n=0}^∞e_nx^n \text{ converges to }f(x)⋅g(x) \text{ on } I. \nonumber$$

Серія$\displaystyle \sum_{n=0}^∞e_nx^n$ відома як продукт Коші серії$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ і$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$.

Ми опускаємо доказ цієї теореми, оскільки вона знаходиться за рівнем цього тексту і, як правило, висвітлюється більш просунутим курсом. Наведемо приклад цієї теореми, знайшовши уявлення степеневих рядів для

$$f(x)=\dfrac{1}{(1−x)(1−x^2)} \nonumber$$

використовуючи представлення силових рядів для

$$y=\dfrac{1}{1−x} \text{ and } y=\dfrac{1}{1−x^2} \nonumber$$ .

Приклад$\PageIndex{5}$: Multiplying Power Series

Помножте подання рядів степенів

$$\dfrac{1}{1−x}=\sum_{n=0}^∞x^n=1+x+x^2+x^3+\ldots \nonumber$$

для$|x|<1$ з представленням рядів потужності

$$\dfrac{1}{1−x^2}=\sum_{n=0}^∞\big(x^2\big)^n=1+x^2+x^4+x^6+\ldots \nonumber$$

$|x|<1$для побудови степеневого ряду для$f(x)=\dfrac{1}{(1−x)(1−x^2)}$ на інтервалі$(−1,1)$.

Рішення

Нам потрібно помножити

$$(1+x+x^2+x^3+\ldots)(1+x^2+x^4+x^6+\ldots).\nonumber$$

Виписуючи перші кілька термінів, ми бачимо, що продукт дається

$$(1+x^2+x^4+x^6+\ldots)+(x+x^3+x^5+x^7+\ldots)+(x^2+x^4+x^6+x^8+\ldots)+(x^3+x^5+x^7+x^9+\ldots)=1+x+(1+1)x^2+(1+1)x^3+(1+1+1)x^4+(1+1+1)x^5+\ldots=1+x+2x^2+2x^3+3x^4+3x^5+\ldots.\nonumber$$

Так як ряди для$y=\dfrac{1}{1−x}$ і$y=\dfrac{1}{1−x^2}$ обидва сходяться на проміжку$(−1,1)$, то ряд для твору також сходиться на проміжку$(−1,1)$.

Вправа$\PageIndex{4}$

Помножте ряд$\dfrac{1}{1−x}=\sum_{n=0}^∞x^n$ на себе, щоб побудувати ряд для$\dfrac{1}{(1−x)(1−x)}.$

Підказка

Помножте перші кілька членів$(1+x+x^2+x^3+\ldots)(1+x+x^2+x^3+\ldots)$

Відповідь

$1+2x+3x^2+4x^3+\ldots$

Диференціація та інтеграція силових серій

Розглянемо силовий ряд$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots$, який сходиться на деякому інтервалі$I$, і нехай$f$ буде функція, визначена цим рядом. Тут ми розглядаємо два питання про$f$.

• Чи$f$ диференційована, і якщо так, то як ми визначаємо похідну$f′$?
• Як ми оцінюємо невизначений інтеграл$∫f(x)\,dx$?

Ми знаємо, що для многочлена з скінченною кількістю членів ми можемо оцінити похідну, диференціюючи кожен член окремо. Аналогічно, ми можемо оцінити невизначений інтеграл, інтегруючи кожен термін окремо. Тут ми показуємо, що ми можемо зробити те ж саме для конвергентних силових рядів. Тобто, якщо

$$f(x)=c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots \nonumber$$

сходиться на якомусь інтервалі I, потім

$$f′(x)=c_1+2c_2x+3c_3x^2+\ldots \nonumber$$

і

$$∫f(x)\,dx=C+c_0x+c_1\dfrac{x^2}{2}+c_2\dfrac{x^3}{3}+\ldots. \nonumber$$

Оцінювання похідної та невизначеного інтеграла таким чином називається терміновою диференціацією степеневого ряду та терміновою інтеграцією степеневого ряду відповідно. Здатність диференціювати та інтегрувати силові ряди за терміном також дозволяє нам використовувати відомі уявлення силових рядів для пошуку подань рядів потужності для інших функцій. Наприклад, враховуючи ряд потужності для$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$, ми можемо диференціювати термін за терміном, щоб знайти ряд потужності для$f′(x)=\dfrac{1}{(1−x)^2}$. Аналогічно, використовуючи силовий ряд для$g(x)=\dfrac{1}{1+x}$, ми можемо інтегрувати термін за терміном, щоб знайти ряд потужності для$G(x)=\ln(1+x)$, антипохідне g. Ми покажемо, як це зробити в$\PageIndex{6}$ прикладі та прикладі$\PageIndex{7}$. По-перше, наголошується Примітка, яка дає основний результат щодо диференціації та інтеграції силових рядів.

Постійна диференціація та інтеграція для силових рядів

Припустимо, що силовий ряд$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n$ сходиться на проміжку$(a−R,a+R)$ для деяких$R>0$. Дозволяти f - функція, визначена рядом

$$f(x)=\sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n=c_0+c_1(x−a)+c_2(x−a)^2+c_3(x−a)^3+\ldots \nonumber$$

для$|x−a|<R$. Тоді f диференціюється на інтервалі,$(a−R,a+R)$ і ми можемо знайти, диференціюючи ряд$f′$ за терміном:

$$f′(x)=\sum_{n=1}^∞ n c_n(x−a)^n−1=c_1+2c_2(x−a)+3c_3(x−a)^2+\ldots \nonumber$$

для$|x−a|<R.$ Крім того, щоб знайти$∫f(x)\,dx$, ми можемо інтегрувати серію термін за терміном. Отриманий ряд сходиться далі$(a−R,a+R),$ і ми маємо

$$∫f(x)\,dx=C+\sum_{n=0}^∞c_n\dfrac{(x−a)^{n+1}}{n+1}=C+c_0(x−a)+c_1\dfrac{(x−a)^2}{2}+c_2\dfrac{(x−a)^3}{3}+\ldots \nonumber$$

для$|x−a|<R.$

Доказ цього результату виходить за рамки тексту і опущений. Зверніть увагу, що хоча Note гарантує однаковий радіус зближення, коли силовий ряд диференційований або інтегрований термін за терміном, він нічого не говорить про те, що відбувається в кінцевих точках. Цілком можливо, що диференційовані та інтегровані силові ряди мають різну поведінку в кінцевих точках, ніж оригінальна серія. Таку поведінку ми бачимо в наступних прикладах.

Приклад$\PageIndex{6}$: Differentiating Power Series

1. Скористайтеся представленням рядів $$f(x)=\dfrac{1}{1−x}=\sum_{n=0}^∞x^n=1+x+x^2+x^3+\ldots \nonumber$$ степенів$|x|<1$ для пошуку представлення рядів степенів $$g(x)=\dfrac{1}{(1−x)^2} \nonumber$$ на інтервалі$(−1,1).$ Визначте, чи збігається результуючий ряд в кінцевих точках.
2. Використовуйте результат частини a. для оцінки суми ряду$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\dfrac{n+1}{4^n}$.

Рішення

а Оскільки$g(x)=\dfrac{1}{(1−x)^2}$ є похідною від$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$, ми можемо знайти представлення степеневого ряду для g шляхом диференціації степеневих рядів для f термін за терміном. Результат -

$$g(x)=\dfrac{1}{(1−x)^2}=\dfrac{d}{\,dx}(\dfrac{1}{1−x})=\sum_{n=0}^∞\dfrac{d}{\,dx}(x^n)=\dfrac{d}{\,dx}(1+x+x^2+x^3+\ldots)=0+1+2x+3x^2+4x^3+\ldots=\sum_{n=0}^∞(n+1)x^n \nonumber$$

для$|x|<1.$

Примітка нічого$\PageIndex{1}$ не гарантує про поведінку цієї серії в кінцевих точках. Тестуючи кінцеві точки за допомогою тесту на дивергенцію, ми виявляємо, що ряд розходиться в обох кінцевих$x=±1$ точках.Зверніть увагу, що це той самий результат, знайдений у прикладі.

б. з частини a. ми знаємо, що

$$\sum_{n=0}^∞(n+1)x^n=\dfrac{1}{(1−x)^2}. \nonumber$$

Тому,

\ [\ почати {вирівнювати*}\ сума_ {n=0} ^∞\ dfrac {n+1} {4^n} &=\ сума {n=0} ^∞ (n+1)\ ліворуч (\ dfrac {1} {4}\ праворуч) ^n\\ [4pt]
&=\ dfrac {1} {\ ліворуч (1−\ dfrac {1} 4}\ праворуч) ^2}\\ [4pt]
&=\ dfrac {1} {\ ліворуч (\ dfrac {3} {4}\ праворуч) ^2}\\ [4pt]
& =\ dfrac {16} {9}\ end {align*}\]

Вправа$\PageIndex{5}$

Диференціюйте$\dfrac{1}{(1−x)^2}=\sum_{n=0}^∞(n+1)x^n$ ряди за терміном, щоб знайти представлення степеневого ряду для$\dfrac{2}{(1−x)^3}$ інтервалу$(−1,1)$.

Підказка

Випишіть перші кілька термінів і застосуйте правило харчування.

Відповідь

$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(n+2)(n+1)x^n$

Приклад$\PageIndex{7}$: Integrating Power Series

Для кожної з наступних функцій f знайдіть представлення степеневого ряду для f шляхом інтегрування степеневого ряду for$f′$ і знайдіть його інтервал збіжності.

1. $f(x)=\ln(1+x)$
2. $f(x)=\tan^{−1}x$

Рішення:

а. бо$f(x)=\ln(1+x)$, похідна є$f′(x)=\dfrac{1}{1+x}$. Ми знаємо, що

$$\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{1}{1−(−x)}=\sum_{n=0}^∞(−x)^n=1−x+x^2−x^3+\ldots\nonumber$$

для$|x|<1$. Щоб знайти силовий ряд для$f(x)=\ln(1+x)$, ми інтегруємо серію термін за терміном.

$$∫f′(x)\,dx=∫(1−x+x^2−x^3+\ldots)\,dx=C+x−\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}−\dfrac{x^4}{4}+\ldots\nonumber$$

Так як$f(x)=\ln(1+x)$ є антипохідним від$\dfrac{1}{1+x}$, залишається вирішити для константи$C$. З тих пір$\ln(1+0)=0$, у нас є$C=0$. Таким чином, представлення рядів потужності для$f(x)=\ln(1+x)$ є

$$\ln(1+x)=x−\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}−\dfrac{x^4}{4}+\ldots=\sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n} \text{ for } |x|<1.\nonumber$$

Примітка нічого$\PageIndex{1}$ не гарантує про поведінку цього силового ряду на кінцевих точках. Однак перевіряючи кінцеві точки, ми виявимо, що в$x=1$ ряді знаходиться змінний гармонічний ряд, який сходиться. Також, в$x=−1$, ряд - це гармонійний ряд, який розходиться. Важливо зазначити, що, незважаючи на те, що ця серія сходиться на$x=1$, Примітка не гарантує, що серія насправді сходиться до$\ln(2)$. Насправді серіал дійсно сходиться$\ln(2)$, але показ цього факту вимагає більш просунутих прийомів. (Теорема Абеля, висвітлена в більш просунутих текстах, стосується цього більш технічного моменту.) Інтервал зближення дорівнює$(−1,1]$.

б. похідне від$f(x)=\tan^{−1}x$ є$f′(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$. Ми знаємо, що

$\displaystyle \dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{1}{1−(−x^2)}=\sum_{n=0}^∞(−x^2)^n=1−x^2+x^4−x^6+\ldots$

для$|x|<1$. Щоб знайти силовий ряд для$f(x)=\tan^{−1}x$, ми інтегруємо цю серію з терміном за терміном.

$$∫f′(x)\,dx=∫(1−x^2+x^4−x^6+\ldots)\,dx=C+x−\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}−\dfrac{x^7}{7}+\ldots \nonumber$$

З тих пір$\tan^{−1}(0)=0$, у нас є$C=0$. Таким чином, представлення рядів потужності для$f(x)=\tan^{−1}x$ є

$$\tan^{−1}x=x−\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}−\dfrac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}\nonumber$$

для$|x|<1$. Знову ж таки, Note нічого$\PageIndex{1}$ не гарантує про зближення цього ряду в кінцевих точках. Однак, перевіряючи кінцеві точки та використовуючи тест чергуються рядів, ми виявляємо, що серія сходиться при$x=1$ і$x=−1$. Як обговорювалося в частині а., використовуючи теорему Абеля, можна показати, що ряд насправді сходиться до$\tan^{−1}(1)$$x=1$ і$\tan^{−1}(−1)$ в і$x=−1$ відповідно. Таким чином, інтервал сходження є$[−1,1]$.

Вправа$\PageIndex{6}$

Інтегруйте енергетичний ряд$\displaystyle \ln(1+x)=\sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n}$ термін за терміном для оцінки$\displaystyle ∫\ln(1+x)\,dx.$

Підказка

Використовуйте той факт, що$\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)n}$ є антипохідним від$\dfrac{x^n}{n}$.

Відповідь

$\displaystyle \sum_{n=2}^∞\dfrac{(−1)^nx^n}{n(n−1)}$

До цього моменту ми показали кілька прийомів пошуку подань рядів потужності для функцій. Однак як ми знаємо, що ці силові серії унікальні? Тобто, враховуючи функцію$f$ та ряд потужності для$f$ at$a$, чи можливо, що існує інша серія потужності для$f$ at a, яку ми могли б знайти, якби використовували іншу техніку? Відповідь на це питання - ні. Цей факт не повинен здаватися дивним, якщо ми вважаємо степеневі ряди поліномами з нескінченною кількістю членів. Інтуїтивно, якщо

$$c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots=d_0+d_1x+d_2x^2+\ldots \nonumber$$

для всіх значень$x$ в деякому відкритому інтервалі I близько нуля, то коефіцієнти$c_n$ повинні дорівнювати$d_n$ за$n≥0$. Ми зараз констатуємо цей результат формально.

Унікальність силової серії

$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_n(x−a)^n$Нехай$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n$ і два збігаються силових рядів такі, що

$$\sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n=\sum_{n=0}^∞d_n(x−a)^n \nonumber$$

для всіх x у відкритому інтервалі, що містить$a$. Тоді$c_n=d_n$ для всіх$n≥0$.

Доказ

Нехай

$$\begin{align*} f(x) =c_0+c_1(x−a)+c_2(x−a)^2+c_3(x−a)^3+\ldots \\ =d_0+d_1(x−a)+d_2(x−a)^2+d_3(x−a)^3+\ldots. \end{align*}$$

Тоді$f(a)=c_0=d_0.$ за приміткою, ми можемо диференціювати обидва ряди термін за терміном. Тому,

$$\begin{align*}f′(x) =c_1+2c_2(x−a)+3c_3(x−a)^2+\ldots \\ =d_1+2d_2(x−a)+3d_3(x−a)^2+\ldots,\end{align*}$$

і таким чином,$f′(a)=c_1=d_1.$ Аналогічно,

$$\begin{align*} f''(x) =2c_2+3⋅2c_3(x−a)+\ldots \\ =2d_2+3⋅2d_3(x−a)+\ldots\end{align*}$$

означає, що$f''(a)=2c_2=2d_2,$ і, отже,$c_2=d_2$. Більш загально, для будь-якого цілого числа$n≥0,f^{(n)} (a)=n!c_n=n!d_n,$ і, отже,$c_n=d_n$ для всіх$n≥0.$

□

У цьому розділі ми показали, як знайти уявлення степеневих рядів для певних функцій за допомогою різних алгебраїчних операцій, диференціації або інтеграції. На даний момент, однак, ми все ще обмежені функціями, для яких ми можемо знайти уявлення силових рядів. Далі ми показуємо, як знайти уявлення силових рядів для багатьох інших функцій, вводячи серію Тейлора.

Ключові поняття

• За даними двох степеневих рядів$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ і$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$ які сходяться до функцій$f$ і$g$ на загальному інтервалі$I$, сума і різниця двох рядів сходяться відповідно до$f±g$ на$I$. Крім того, для будь-якого дійсного числа$b$ та цілого числа$m≥0$ ряд$\displaystyle \sum_{n=0}^∞bx^mc_nx^n$ сходиться до$bx^mf(x)$ і ряд$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(bx^m)^n$ сходиться до$f(bx^m)$ кожного разу, коли$bx^m$ знаходиться в інтервалі$I$.
• За даними двох степеневих рядів, які сходяться на$(−R,R),$ інтервалі, добуток Коші двох степеневих рядів сходиться на інтервалі$(−R,R)$.
• Враховуючи степеневий ряд, який сходиться до функції$f$ на інтервалі$(−R,R)$, ряд можна диференціювати за терміном і отриманий ряд сходиться до$f′$ увімкнено$(−R,R)$. Серія також може бути інтегрована з терміном за терміном, і отриманий ряд сходиться до$∫f(x)\,dx$ on$(−R,R)$.

Глосарій

почасова диференціація степеневого ряду

методика оцінки похідної степеневого ряду$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n$ шляхом оцінки похідної кожного члена окремо для створення нового енергетичного ряду$\displaystyle \sum_{n=1}^∞nc_n(x−a)^{n−1}$

построкова інтеграція силового ряду

метод інтеграції силового ряду$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n$ шляхом інтеграції кожного терміна окремо для створення нової серії потужності$\displaystyle C+\sum_{n=0}^∞c_n\dfrac{(x−a)^{n+1}}{n+1}$