Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10.0: Прелюдія до силової серії

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    61540

    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    При виграші в лотерею іноді фізична особа має можливість отримати виграш одним одноразовим платежем або отримувати менші платежі протягом фіксованих часових інтервалів. Наприклад, у вас може бути можливість отримувати 20 мільйонів доларів сьогодні або отримувати 1,5 мільйона доларів щороку протягом наступних 20 років. Яка вигідна угода? Безумовно, 1,5 мільйона доларів за 20 років еквівалентно 30 мільйонам доларів. Однак отримання 20 мільйонів доларів сьогодні дозволить вам вкласти гроші.

    На фотографії зображена рівна поверхня, покрита купюрами в 100 доларів.
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Якщо ви виграєте в лотерею, ви отримуєте більше грошей, приймаючи паушальний платіж або приймаючи фіксовані платежі з часом? (Кредит: модифікація роботи Роберта Хафстаттера, Flickr)

    Як варіант, що робити, якби ви гарантовано отримували 1 мільйон доларів щороку на невизначений термін (поширюючись на своїх спадкоємців) або отримуєте 20 мільйонів доларів сьогодні. Яка була б кращою угодою? Щоб відповісти на ці питання, потрібно знати, як використовувати нескінченні ряди для обчислення вартості періодичних платежів з плином часу в перерахунку на сьогоднішні долари.

    Нескінченний ряд форми

    \[\sum_{n=0}^∞c_nx^n \nonumber \]

    відомий як силовий ряд. Оскільки терміни містять змінну\(x\), для визначення функцій можна використовувати ряд степенів. Вони можуть бути використані для представлення заданих функцій, але вони також важливі, оскільки дозволяють нам писати функції, які не можуть бути виражені інакше, ніж як «нескінченні многочлени». Крім того, силові ряди можна легко диференціювати та інтегрувати, що є корисним для вирішення диференціальних рівнянь та інтеграції складних функцій. Нескінченний ряд також може бути обрізаний, що призводить до кінцевого многочлена, який ми можемо використовувати для наближення функціональних значень. Силові серії мають застосування в різних областях, включаючи фізику, хімію, біологію та економіку. Як ми побачимо в цьому розділі, представлення функцій, що використовують силові ряди, дозволяє нам вирішувати математичні завдання, які не можуть бути вирішені іншими методами.

    Дописувачі та атрибуція

    Template:ContribOpenStaxCalc