8.3: Роздільні рівняння

Цілі навчання

• Використовуйте поділ змінних для вирішення диференціального рівняння.
• Вирішувати додатки, використовуючи поділ змінних.

Зараз розглядається метод розв'язку для пошуку точних розв'язків класу диференціальних рівнянь, відомих як роздільні диференціальні рівняння. Ці рівняння поширені в самих різних дисциплін, включаючи фізику, хімію та інженерію. Ми ілюструємо кілька додатків в кінці розділу.

Поділ змінних

Почнемо з визначення та деяких прикладів.

Визначення: Роздільні диференціальні рівняння

Роздільне диференціальне рівняння - це будь-яке рівняння, яке можна записати у вигляді

\[y'=f(x)g(y). \label{sep} \]

Термін «роздільний» відноситься до того факту, що права частина Equation\ ref {sep} може бути розділена на функцію\(x\) часу функції\(y\). Приклади роздільних диференціальних рівнянь включають

\[ \begin{align} y' &=(x^2−4)(3y+2) \label{eq1} \\[4pt] y' &=6x^2+4x \label{eq2}\\[4pt] y' &=\sec y+\tan y \label{eq3} \\[4pt] y' &=xy+3x−2y−6. \label{eq4} \end{align} \]

Рівняння\ ref {eq2} відокремлюється з\(f(x)=6x^2+4x\) і\(g(y)=1\), Рівняння\ ref {eq3} відокремлюється\(f(x)=1\)\(g(y)=\sec y+\tan y,\) і права частина рівняння\ ref {eq4} може бути врахована як\((x+3)(y−2)\), тому вона також відокремлена. Рівняння\ ref {eq3} також називають автономним диференціальним рівнянням, оскільки права частина рівняння є функцією\(y\) однієї. Якщо диференціальне рівняння роздільне, то вирішити рівняння можна за допомогою методу поділу змінних.

Стратегія вирішення проблем: поділ змінних

1. Перевірте наявність будь-яких значень\(y\), які роблять\(g(y)=0.\) Вони відповідають постійним рішенням.
2. Перепишіть диференціальне рівняння у вигляді\[ \dfrac{dy}{g(y)}=f(x)dx. \nonumber \]
3. Інтегруйте обидві сторони рівняння.
4. Вирішіть отримане рівняння для,\(y\) якщо це можливо.
5. Якщо існує початкова умова, підставити відповідні значення для\(x\) і\(y\) в рівняння і вирішити для константи.

Зверніть увагу, що в кроці 4 зазначено «Вирішіть отримане рівняння,\(y\) якщо це можливо». Не завжди вдається отримати\(y\) як явну функцію\(x\). Досить часто нам доводиться задовольнятися знаходженням y як неявної функції\(x\).

Приклад\(\PageIndex{1}\): Using Separation of Variables

Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння\(y'=(x^2−4)(3y+2)\) за допомогою методу поділу змінних.

Рішення

Дотримуйтесь п'ятикрокового методу поділу змінних.

1. У цьому прикладі\(f(x)=x^2−4\) і\(g(y)=3y+2\). Налаштування\(g(y)=0\) дає\(y=−\dfrac{2}{3}\) як постійне рішення.

2. Перепишіть диференціальне рівняння у вигляді

\[ \dfrac{dy}{3y+2}=(x^2−4)\,dx.\nonumber \]

3. Інтегруйте обидві сторони рівняння:

\[ ∫\dfrac{dy}{3y+2}=∫(x^2−4)\,dx.\nonumber \]

Нехай\(u=3y+2\). Потім\(du=3\dfrac{dy}{dx}\,dx\), таким чином рівняння стає

\[ \dfrac{1}{3}∫\dfrac{1}{u}\,du=\dfrac{1}{3}x^3−4x+C\nonumber \]

\[ \dfrac{1}{3}\ln|u|=\dfrac{1}{3}x^3−4x+C\nonumber \]

\[ \dfrac{1}{3}\ln|3y+2|=\dfrac{1}{3}x^3−4x+C.\nonumber \]

4. Щоб вирішити це рівняння для\(y\), спочатку помножте обидві сторони рівняння на\(3\).

\[ \ln|3y+2|=x^3−12x+3C\nonumber \]

Тепер ми використовуємо деяку логіку в роботі з константою\(C\). Так як\(C\) являє собою довільну константу,\(3C\) також являє собою довільну константу. Якщо ми називаємо другу довільну\(C_1 = 3C,\) константу\(C_1,\), де рівняння стає

\[ \ln|3y+2|=x^3−12x+C_1.\nonumber \]

Тепер експонентіруйте обидві сторони рівняння (тобто зробіть кожну сторону рівняння показником для основи\(e\)).

\[ \begin{align*} e^{\ln|3y+2|} &=e^{x^3−12x+C_1} \\ |3y+2| &=e^{C_1}e^{x^3−12x} \end{align*}\]

Знову визначте нову константу\(C_2= e^{C_1}\) (зауважте, що\(C_2 > 0\)):

\[ |3y+2|=C_2e^{x^3−12x}.\nonumber \]

Через абсолютного значення в лівій частині рівняння це відповідає двом окремим рівнянням:

\[3y+2=C_2e^{x^3−12x}\nonumber \]

і

\[3y+2=−C_2e^{x^3−12x}.\nonumber \]

Рішення будь-якого рівняння можна записати у вигляді

\[y=\dfrac{−2±C_2e^{x^3−12x}}{3}.\nonumber \]

Так як\(C_2>0\), не має значення, чи використовуємо ми плюс або мінус, тому константа може насправді мати будь-який знак. Крім того, індекс на константі\(C\) є абсолютно довільним і може бути скинутий. Тому рішення можна записати як

\[ y=\dfrac{−2+Ce^{x^3−12x}}{3}, \text{ where }C = \pm C_2\text{ or } C = 0.\nonumber \]

Зверніть увагу, що при написанні єдиного загального рішення таким чином ми також дозволяємо\(C\) рівнятися\(0\). Це дає нам сингулярний розв'язок для даного диференціального рівняння.\(y = -\dfrac{2}{3}\) Переконайтеся, що це дійсно рішення цього диференціального рівняння!

5. Ніякої початкової умови не накладається, тому ми закінчили.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Використовувати метод поділу змінних для пошуку загального розв'язку диференціального рівняння

\[ y'=2xy+3y−4x−6. \nonumber \]

Підказка

Спочатку множник правої частини рівняння шляхом групування, потім використовуйте п'ятиступінчасту стратегію поділу змінних.

Відповідь

\[ y=2+Ce^{x^2+3x} \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{2}\): Solving an Initial-Value Problem

Використовуючи метод поділу змінних, розв'яжіть початково-значну задачу

\[ y'=(2x+3)(y^2−4),\quad y(0)=−1.\nonumber \]

Рішення

Дотримуйтесь п'ятикрокового методу поділу змінних.

1. У цьому прикладі\(f(x)=2x+3\) і\(g(y)=y^2−4\). Налаштування\(g(y)=0\) дає\(y=±2\) як постійні рішення.

2. Розділіть обидві сторони рівняння на\(y^2−4\) і помножте на\(dx\). Це дає рівняння

\[\dfrac{dy}{y^2−4}=(2x+3)\,dx.\nonumber \]

3. Далі інтегруйте обидві сторони:

\[∫\dfrac{1}{y^2−4}dy=∫(2x+3)\,dx. \label{Ex2.2} \]

Для оцінки лівої сторони використовують метод розкладання часткових дробів. Це призводить до ідентичності

\[\dfrac{1}{y^2−4}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{y−2}−\dfrac{1}{y+2}\right).\nonumber \]

Тоді рівняння\ ref {Ex2.2} стає

\[\dfrac{1}{4}∫\left(\dfrac{1}{y−2}−\dfrac{1}{y+2}\right)dy=∫(2x+3)\,dx\nonumber \]

\[\dfrac{1}{4}\left (\ln|y−2|−\ln|y+2| \right)=x^2+3x+C.\nonumber \]

Множення обох сторін цього рівняння на\(4\) і\(4C\) заміна на\(C_1\) дає

\[\ln|y−2|−\ln|y+2|=4x^2+12x+C_1\nonumber \]

\[\ln \left|\dfrac{y−2}{y+2}\right|=4x^2+12x+C_1.\nonumber \]

4. Можна розв'язати це рівняння для\(y.\) First експоненти обидві сторони рівняння та визначити\(C_2=e^{C_1}\):

\[\left|\dfrac{y−2}{y+2}\right|=C_2e^{4x^2+12x}.\nonumber \]

Далі ми можемо видалити абсолютне значення і нехай нова константа\(C_3\) буде позитивною, від'ємною або нульовою, тобто,\(C_3 =\pm C_2\) або\(C_3 = 0.\)

Потім помножте обидві сторони на\(y+2\).

\[y−2=C_3(y+2)e^{4x^2+12x}\nonumber \]

\[y−2=C_3ye^{4x^2+12x}+2C_3e^{4x^2+12x}.\nonumber \]

Тепер зберіть всі терміни, що беруть участь\(y\) на одній стороні рівняння, і вирішіть для\(y\):

\[y−C_3ye^{4x^2+12x}=2+2C_3e^{4x^2+12x}\nonumber \]

\[y\big(1−C_3e^{4x^2+12x}\big)=2+2C_3e^{4x^2+12x}\nonumber \]

\[y=\dfrac{2+2C_3e^{4x^2+12x}}{1−C_3e^{4x^2+12x}}.\nonumber \]

5. Визначити значення\(C_3\), підставити\(x=0\) і\(y=−1\) в загальне рішення. Крім того, ми можемо поставити ті самі значення в більш раннє рівняння, а саме рівняння\(\dfrac{y−2}{y+2}=C_3e^{4x^2+12}\). Це набагато простіше вирішити для\(C_3\):

\[\dfrac{y−2}{y+2}=C_3e^{4x^2+12x}\nonumber \]

\[\dfrac{−1−2}{−1+2}=C_3e^{4(0)^2+12(0)}\nonumber \]

\[C_3=−3.\nonumber \]

Тому вирішенням початкової задачі є

\[y=\dfrac{2−6e^{4x^2+12x}}{1+3e^{4x^2+12x}}.\nonumber \]

Графік цього рішення відображається на рисунку\(\PageIndex{1}\).

Рисунок\(\PageIndex{1}\): Графік розв'язку початкової задачі\(y'=(2x+3)(y^2−4),y(0)=−1\).

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Пошук розв'язку початкової задачі

\[ 6y'=(2x+1)(y^2−2y−8) \nonumber \]

з\(y(0)=−3\) використанням методу поділу змінних.

Підказка

Виконайте кроки для поділу змінних, щоб вирішити початкову задачу.

Відповідь

\[ y=\dfrac{4+14e^{x^2+x}}{1−7e^{x^2+x}} \nonumber \]

Застосування поділу змінних

Багато цікавих завдань можна описати роздільними рівняннями. Проілюструється два типи задач: концентрації розв'язків та закон охолодження Ньютона.

Концентрації розчину

Розглянемо ємність, наповнену сольовим розчином. Ми хотіли б визначити кількість солі, присутньої в резервуарі, як функція часу. Ми можемо застосувати процес поділу змінних для вирішення цієї задачі та подібних задач, пов'язаних з концентраціями розв'язків.

Приклад\(\PageIndex{3}\): Determining Salt Concentration over Time

Ємність, що містить\(100\) L розчину розсолу, спочатку має\(4\) кг солі, розчиненої в розчині. За часом\(t=0\) в ємність надходить інший розсоляний розчин зі швидкістю\(2\) л/хв. Цей розсоляний розчин містить концентрацію\(0.5\) кг/л солі. При цьому на дні ємності відкривається запірний кран, що дозволяє комбінованому розчину витікати зі швидкістю\(2\) л/хв, завдяки чому рівень рідини в баку залишається постійним (рис.\(\PageIndex{2}\)). Знайдіть кількість солі в резервуарі в залежності від часу (вимірюється в хвилинах), і знайдіть граничну кількість солі в ємності, припускаючи, що розчин в ємності добре перемішується в усі часи.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Резервуар для розсолу з початковою кількістю розчину солі приймає вхідний потік і подає вихідний потік. Як змінюється кількість солі з часом?

Рішення

Спочатку ми визначаємо функцію\(u(t)\), яка представляє кількість солі в кілограмах в резервуарі як функцію часу. Потім\(\dfrac{du}{dt}\) являє собою швидкість, з якою кількість солі в резервуарі змінюється в залежності від часу. Також,\(u(0)\) являє собою кількість солі в ємності на час\(t=0\), яке становить\(4\) кілограми.

Загальна установка для диференціального рівняння, яке ми будемо вирішувати, має вигляд

\[\dfrac{du}{dt}=\text{INFLOW RATE − OUTFLOW RATE.} \nonumber \]

ШВИДКІСТЬ ПРИПЛИВУ являє собою швидкість, з якою сіль надходить в резервуар, а ШВИДКІСТЬ ВІДТОКУ являє собою швидкість, з якою сіль виходить з ємності. Оскільки розчин надходить в бак зі швидкістю\(2\) л/хв, а кожен літр розчину містить\(0.5\) кілограм солі, щохвилини\(2(0.5)=1\) кілограм солі надходить в ємність. Тому ШВИДКІСТЬ ПРИПЛИВУ =\(1\).

Щоб розрахувати швидкість, з якою сіль виходить з ємності, нам потрібна концентрація солі в ємності в будь-який момент часу. Оскільки фактична кількість солі змінюється з часом, так само і концентрація солі. Однак обсяг розчину залишається фіксованим на рівні 100 літрів. Кількість кілограмів солі в ємності за часом\(t\) дорівнює\(u(t)\). Таким чином, концентрація солі становить\(\dfrac{u(t)}{100}\) кг/л, а розчин виходить з ємності зі швидкістю\(2\) л/хв. Тому сіль виходить з ємності зі швидкістю\(\dfrac{u(t)}{100}⋅2=\dfrac{u(t)}{50}\) кг/хв, а ШВИДКІСТЬ ВІДТОКУ дорівнює\(\dfrac{u(t)}{50}\). Тому диференціальне рівняння стає\(\dfrac{du}{dt}=1−\dfrac{u}{50}\), а початкова умова -\(u(0)=4.\) Початкова задача, яку потрібно розв'язати, є

\[\dfrac{du}{dt}=1−\dfrac{u}{50},u(0)=4.\nonumber \]

Диференціальне рівняння є роздільним рівнянням, тому ми можемо застосувати п'ятиступінчасту стратегію для розв'язання.

Крок 1. Налаштування\(1−\dfrac{u}{50}=0\) дає\(u=50\) як постійне рішення. Так як початкова кількість солі в ємності становить\(4\) кілограми, цей розчин не застосовується.

Крок 2. Перепишіть рівняння як

\[\dfrac{du}{dt}=\dfrac{50−u}{50}.\nonumber \]

Потім помножте обидві сторони на\(dt\) і розділіть обидві сторони на\(50−u:\)

\[\dfrac{du}{50−u}=\dfrac{dt}{50}.\nonumber \]

Крок 3. Інтегруйте обидві сторони:

\[\begin{align*} ∫\dfrac{du}{50−u} &=∫\dfrac{dt}{50} \\ −\ln|50−u| &=\dfrac{t}{50}+C. \end{align*}\]

Крок 4. Вирішити для\(u(t)\):

\[\ln|50−u|=−\dfrac{t}{50}−C\nonumber \]

\[e^{\ln|50−u|}=e^{−(t/50)−C}\nonumber \]

\[|50−u|=C_1e^{−t/50}, \text{ where } C_1 = e^{-C}.\nonumber \]

Усуньте абсолютне значення, дозволивши константі бути позитивним, негативним або нульовим, тобто,\(C_1 = \pm e^{-C}\) або\(C_1 = 0\):

\[50−u=C_1e^{−t/50}.\nonumber \]

Нарешті, вирішуйте для\(u(t)\):

\[u(t)=50−C_1e^{−t/50}.\nonumber \]

Крок 5. Вирішити для\(C_1\):

\[\begin{align*} u(0) &=50−C_1e^{−0/50} \\ 4 &=50−C_1 \\ C_1 &=46. \end{align*}\]

Рішення початкової задачі значення полягає\(u(t)=50−46e^{−t/50}.\) в тому, щоб знайти граничну кількість солі в резервуарі, візьміть межу, як\(t\) наближається нескінченність:

\[\begin{align*} \lim_{t→∞}u(t) &=50−46e^{−t/50} \\ &=50−46(0)=50. \end{align*}\]

Зауважте, що це був постійний розв'язок диференціального рівняння. Якщо початкова кількість солі в ємності\(50\) кілограм, то воно залишається постійним. Якщо вона починається з менш ніж\(50\) кілограмів, то вона з часом наближається до\(50\) кілограмів.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Ємність містить\(3\) кілограми солі, розчиненої в\(75\) літрах води. Сольовий розчин\(0.4\) кг солі/л перекачується в ємність зі швидкістю\(6\) л/хв і зливається з такою ж швидкістю. Вирішити для концентрації солі на час\(t\). Припустимо, що бак добре перемішується в усі часи.

Підказка

Дотримуйтесь інструкцій у\(\PageIndex{3}\) прикладі та визначте вираз для припливу та відтоку. Сформулюйте початково-ціннісну задачу, а потім вирішуйте її.

Початкове значення задачі:

\[ \dfrac{du}{dt}=2.4−\dfrac{2u}{25},\, u(0)=3 \nonumber \]

Відповідь

\[u(t)=30−27e^{−t/50} \nonumber \]

Закон Ньютона про охолодження

Закон охолодження Ньютона стверджує, що швидкість зміни температури об'єкта пропорційна різниці між його власною температурою і температурою навколишнього середовища (тобто температурі його оточення). Якщо ми дозволимо\(T(t)\) представляти температуру об'єкта як функцію часу, то\(\dfrac{dT}{dt}\) представляє швидкість, з якою ця температура змінюється. Температура оточення об'єкта може бути представлена\(T_s\). Тоді закон Ньютона охолодження можна записати у вигляді

\[ \dfrac{dT}{dt}=k(T(t)−T_s) \nonumber \]

або просто

\[ \dfrac{dT}{dt}=k(T−T_s). \nonumber \]

Температура об'єкта на початку будь-якого експерименту є початковим значенням для початкової задачі. Ми називаємо цю температуру\(T_0\). Тому початково-значуща задача, яку потрібно вирішити, набуває вигляду

\[ \dfrac{dT}{dt}=k(T−T_s) \label{newton} \]

з\(T(0)=T_0\),\(k\) де константа, яку потрібно або дати, або визначити в контексті проблеми. Ми використовуємо ці рівняння в прикладі\(\PageIndex{4}\).

Приклад\(\PageIndex{4}\): Waiting for a Pizza to Cool

А піца виймається з духовки після ретельно випікання, а температура духовки - Температура кухні є\(75°F\), а через\(5\) хвилини температура піци\(340°F\).\(350°F.\) Ми хотіли б дочекатися, поки температура піци досягне,\(300°F\) перш ніж обробляти і подавати її (рис.\(\PageIndex{3}\)). Скільки ще нам доведеться чекати?

Малюнок\(\PageIndex{3}\): З закону Ньютона охолодження, якщо піца остигає\(10°F\) за\(5\) лічені хвилини, як довго до того, як вона охолоне\(300°F\)?

Рішення

Температура навколишнього середовища (навколишня температура) є\(75°F\), так\(T_s=75\). Температура піци при її виході з духовки дорівнює\(350°F\), яка є початковою температурою (тобто початковим значенням), так\(T_0=350\). Тому рівняння\ ref {Ньютон} стає

\[\dfrac{dT}{dt}=k(T−75) \nonumber \]

з\(T(0)=350.\)

Для розв'язання диференціального рівняння використовується п'ятиступінчаста методика розв'язання роздільних рівнянь.

1. Установка правого боку дорівнює нулю дає\(T=75\) як постійне рішення. Оскільки піца починається з\(350°F,\) цього не рішення, яке ми шукаємо.

2. Перепишіть диференціальне рівняння, помноживши обидві сторони на\(dt\) і розділивши обидві сторони на\(T−75\):

\[\dfrac{dT}{T−75}=k\,dt. \nonumber \]

3. Інтегруйте обидві сторони:

\[\begin{align*} ∫\dfrac{dT}{T−75} &=∫k\,dt \\ \ln|T−75| &=kt+C.\end{align*} \nonumber \]

4. Вирішіть для\(T\), спочатку збільшивши обидві сторони:

\[\begin{align*}e^{\ln|T−75|} &=e^{kt+C} \\ |T−75| &=C_1e^{kt}, & & \text{where } C_1 = e^C. \\ T−75 &=\pm C_1e^{kt} \\ T−75 &=Ce^{kt}, & & \text{where } C = \pm C_1\text{ or } C = 0.\\ T(t) &=75+Ce^{kt}. \end{align*} \nonumber \]

5. Вирішити для\(C\), використовуючи початкову умову\(T(0)=350:\)

\[\begin{align*}T(t) &=75+Ce^{kt}\\ T(0) &=75+Ce^{k(0)} \\ 350 &=75+C \\ C &=275.\end{align*} \nonumber \]

Тому вирішенням початкової задачі є

\[T(t)=75+275e^{kt}.\nonumber \]

Щоб визначити значення\(k\), нам потрібно використовувати той факт, що через\(5\) хвилини температура піци буде\(340°F\). Тому\(T(5)=340.\) підставляючи цю інформацію в розв'язку початково-значущої задачі, ми маємо

\[T(t)=75+275e^{kt}\nonumber \]

\[T(5)=340=75+275e^{5k}\nonumber \]

\[265=275e^{5k}\nonumber \]

\[e^{5k}=\dfrac{53}{55}\nonumber \]

\[\ln e^{5k}=\ln(\dfrac{53}{55})\nonumber \]

\[5k=\ln(\dfrac{53}{55})\nonumber \]

\[k=\dfrac{1}{5}\ln(\dfrac{53}{55})≈−0.007408.\nonumber \]

Отже, тепер у нас є\(T(t)=75+275e^{−0.007048t}.\) Коли температура\(300°F\)? Рішення для\(t,\) знаходимо

\[T(t)=75+275e^{−0.007048t}\nonumber \]

\[300=75+275e^{−0.007048t}\nonumber \]

\[225=275e^{−0.007048t}\nonumber \]

\[e^{−0.007048t}=\dfrac{9}{11}\nonumber \]

\[\ln e^{−0.007048t}=\ln\dfrac{9}{11}\nonumber \]

\[−0.007048t=\ln\dfrac{9}{11}\nonumber \]

\[t=−\dfrac{1}{0.007048}\ln\dfrac{9}{11}≈28.5.\nonumber \]

Тому потрібно почекати додаткові\(23.5\) хвилини (після того, як температура піци досягла\(340°F\)). Це повинно бути достатньо часу, щоб закінчити цей розрахунок.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Пиріг виймається з духовки після ретельного випікання, а температура духовки -\(450°F\). Температура кухні є\(70°F\), а через\(10\) хвилини температура пирога\(430°F\).

1. Напишіть відповідну задачу початкового значення, щоб описати цю ситуацію.
2. Вирішити початкове значення задачі для\(T(t)\).
3. Скільки часу пройде, поки температура пирога не буде в межах\(5°F\) кімнатної температури?

Підказка

Визначте значення,\(T_s\) а\(T_0\) потім скористайтеся Equation\ ref {Ньютон}.

Відповідь на

Проблема початкового значення\[\dfrac{dT}{dt}=k(T−70),\quad T(0)=450\nonumber \]

Відповідь б

\[T(t)=70+380e^{kt}\nonumber \]

Відповідь c

Приблизно\(114\) хвилин.

Ключові концепції

• Роздільне диференціальне рівняння - це будь-яке рівняння, яке можна записати у вигляді\(y'=f(x)g(y).\)
• Метод поділу змінних використовується для пошуку загального розв'язку відокремлюваного диференціального рівняння.

Ключові рівняння

• Роздільне диференціальне рівняння

\(y′=f(x)g(y)\)

• Концентрація розчину

\(\dfrac{du}{dt}=\text{INFLOW RATE − OUTFLOW RATE}\)

• Закон Ньютона охолодження

\(\dfrac{dT}{dt}=k(T−T_s)\)

Глосарій

автономне диференційне рівняння

рівняння, в якому права сторона є функцією\(y\) поодинці

роздільне диференціальне рівняння

будь-яке рівняння, яке можна записати у вигляді\(y'=f(x)g(y)\)

поділ змінних

метод, який використовується для розв'язання роздільного диференціального рівняння