8: Вступ до диференціальних рівнянь
- Page ID
- 61920
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Багато реальних явищ можна моделювати математично за допомогою диференціальних рівнянь. Зростання популяції, радіоактивний розпад, моделі хижака-здобич та системи весняної маси - чотири приклади таких явищ. У цьому розділі ми вивчаємо деякі з цих додатків. Метою цієї глави є розробка методів розв'язання різних типів диференціальних рівнянь. Оскільки рівняння ускладнюються, методи вирішення також ускладнюються, і насправді вивченню цих рівнянь може бути присвячений цілий курс. У цьому розділі ми вивчаємо декілька типів диференціальних рівнянь та відповідні їм методи розв'язання.
- 8.0: Прелюдія до диференціальних рівнянь
- Метою цієї глави є розробка методів розв'язання різних типів диференціальних рівнянь. Оскільки рівняння ускладнюються, методи вирішення також ускладнюються, і насправді вивченню цих рівнянь може бути присвячений цілий курс. У цьому розділі ми вивчаємо декілька типів диференціальних рівнянь та відповідні їм методи розв'язання.
- 8.1: Основи диференціальних рівнянь
- Обчислення - це математика змін, а темпи змін виражаються похідними. Таким чином, одним з найпоширеніших способів використання числення є створення рівняння, що містить невідому функцію y = f (x) та її похідну, відому як диференціальне рівняння. Рішення таких рівнянь часто дає інформацію про те, як змінюються величини, і часто дає уявлення про те, як і чому відбуваються зміни.
- 8.2: Поля напряму та числові методи
- У деяких випадках можна передбачити властивості розв'язку диференціального рівняння, не знаючи фактичного розв'язку. Також ми вивчимо чисельні методи розв'язання диференціальних рівнянь, які можна запрограмувати за допомогою різних комп'ютерних мов або навіть за допомогою програми електронних таблиць.
- 8.3: Роздільні рівняння
- Зараз розглядається метод розв'язку для пошуку точних розв'язків класу диференціальних рівнянь, відомих як роздільні диференціальні рівняння. Ці рівняння поширені в самих різних дисциплін, включаючи фізику, хімію та інженерію. Ми ілюструємо кілька додатків в кінці розділу.
- 8.4: Логістичне рівняння
- Диференціальні рівняння можуть бути використані для представлення розміру популяції, оскільки вона змінюється з часом. Ми бачили це в попередньому розділі в розділі про експоненціальне зростання і занепад, який є найпростішою моделлю. Більш реалістична модель включає в себе інші фактори, що впливають на зростання населення. У цьому розділі ми вивчаємо логістичне диференціальне рівняння і подивимося, як воно застосовується до вивчення динаміки популяцій в контексті біології.
- 8.5: Лінійні рівняння першого порядку
- Будь-яке лінійне диференціальне рівняння першого порядку можна записати у вигляді y′+p (x) y=q (x). Ми можемо використовувати п'ятиступінчасту стратегію розв'язання задач для розв'язання лінійного диференціального рівняння першого порядку, яке може включати або не включати початкове значення. Застосування лінійних диференціальних рівнянь першого порядку включають визначення руху піднімається або падаючого об'єкта з опором повітря та знаходження струму в електричному ланцюзі.
Мініатюра: експоненціальна модель зростання населення.