1.6: Глава 1 Огляд вправи
Правда чи брехня? Обгрунтуйте свою відповідь доказом або зустрічнимприкладом.
1) Функція завжди один-на-один.
2)f∘g=g∘f, припускаючиf іg є функціями.
- Відповідь
- Помилковий
3) Відношення, яке проходить горизонтальні та вертикальні тести лінії, є функцією один до одного.
4) Відношення, що проходить тест горизонтальної лінії, є функцією.
- Відповідь
- Помилковий
Вкажіть домен і діапазон заданих функцій:
f=x2+2x−3,g=ln(x−5),h=1x+4
5) ч
6) г
- Відповідь
- Домен:x>5, Діапазон: всі дійсні числа
7)h∘f
8)g∘f
- Відповідь
- Домен:x>2 andx<−4, Range: всі дійсні числа
Знайдіть ступінь,y -перехоплення та нулі для наступних поліноміальних функцій.
9)f(x)=2x2+9x−5
10)f(x)=x3+2x2−2x
- Відповідь
- Ступінь 3,y -перехоплення:(0,0), Нулі:0,√3−1,−1−√3
Спростіть наступні тригонометричні вирази.
11)tan2xsec2x+cos2x
12)cos2x−sin2x
- Відповідь
- cos(2x)
Вирішіть наступні тригонометричні рівняння на інтерваліθ=[−2π,2π] точно.
13)6cos2x−3=0
14)sec2x−2secx+1=0
- Відповідь
- 0,±2π
Розв'яжіть наступні логарифмічні рівняння.
15)5x=16
16)log2(x+4)=3
- Відповідь
- 4
Чи є наступні функції один до одного над їх областю існування? Чи має функція зворотна? Якщо так, то знайдітьf−1(x) зворотну функцію. Обґрунтуйте свою відповідь.
17)f(x)=x2+2x+1
18)f(x)=1x
- Відповідь
- Один до одного; так, функція має зворотну; обернену:f−1(x)=1x
Для наступних завдань визначте найбільший домен, на якому функція є один до одного, і знайдіть зворотну на цій області.
19)f(x)=√9−x
20)f(x)=x2+3x+4
- Відповідь
- x≥−32,f−1(x)=−32+12√4x−7
21) Автомобіль мчить по круговій трасі діаметром 1 миль. Тренер, що стоїть в центрі кола, відзначає свій прогрес кожні 5 сек. Через 5 сек, тренер повинен повернути 55°, щоб не відставати від автомобіля. Наскільки швидко їде автомобіль?
Для наступних проблем розгляньте власника ресторану, який хоче продавати футболки з рекламою свого бренду. Він нагадує, що існує фіксована вартість і змінна вартість, хоча і не пам'ятає значення. Він знає, що компанія з друку футболок стягує 440 доларів за 20 сорочок і 1000 доларів за 100 сорочок.
22) а. знайти рівнянняC=f(x), яке описує загальну вартість як функцію кількості сорочок і
b. визначити, скільки сорочок він повинен продати, щоб зламати, навіть якщо він продає сорочки за $10 кожен.
- Відповідь
- а.C(x)=300+7x
б.100 сорочки
23) а. знайти обернену функціюx=f−1(C) і описати значення цієї функції.
б. визначити, скільки сорочок власник може купити, якщо у нього є 8000 доларів, щоб витратити.
Для наступних проблем розглянемо чисельність населення Оушен-Сіті, штат Нью-Джерсі, яке є циклічним за сезонами.
24) Населення можна моделювати за тимP(t)=82.5−67.5cos[(π/6)t], деt час в місяцях (t=0представляє 1 січня) іP є чисельністю населення (в тисячах). Протягом року, в які проміжки часу населення менше 20 000? За які проміжки часу чисельність населення більше 140 000?
- Відповідь
- Населення становить менше 20 000 з 8 грудня по 23 січня і понад 140 000 з 29 травня по 2 серпня.
25) Насправді загальна чисельність населення, швидше за все, збільшується або зменшується протягом кожного року. Давайте переформулюємо модель якP(t)=82.5−67.5cos[(π/6)t]+t, де t - час в місяцях (t=0представляє 1 січня) іP є чисельність населення (в тисячах). Коли вперше чисельність населення досягає 200 000?
Для наступних проблем розгляньте радіоактивні датування. Скелет людини знайдений в археологічній розкопці. Вуглецеве датування реалізується для визначення того, скільки років скелет за допомогою рівнянняy=ert, деy відсоток радіовуглецю все ще присутній у матеріалі,t - це кількість років,r=−0.0001210 що пройшли, і швидкість розпаду радіовуглецю.
26) Якщо передбачається, що скелету буде 2000 років, який відсоток радіовуглецю повинен бути присутнім?
- Відповідь
- 78,51%
27) Знайти зворотне рівняння датування вуглецю. Що це означає? Якщо є 25% радіовуглецю, скільки років скелет?