1.6: Глава 1 Огляд вправи

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 1.5E: Вправи для розділу 1.5
- 2: Обмеження

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Правда чи брехня? Обгрунтуйте свою відповідь доказом або зустрічнимприкладом.

1) Функція завжди один-на-один.

2) $f∘g=g∘f$ , припускаючи $f$ і $g$ є функціями.

Відповідь: Помилковий

3) Відношення, яке проходить горизонтальні та вертикальні тести лінії, є функцією один до одного.

4) Відношення, що проходить тест горизонтальної лінії, є функцією.

Відповідь: Помилковий

Вкажіть домен і діапазон заданих функцій:

$f=x^2+2x−3$ , $g=\ln(x−5)$ , $h=\dfrac{1}{x+4}$

5) ч

6) г

Відповідь: Домен: $x>5$ , Діапазон: всі дійсні числа

7) $h∘f$

8) $g∘f$

Відповідь: Домен: $x>2$ and $x<−4$ , Range: всі дійсні числа

Знайдіть ступінь, $y$ -перехоплення та нулі для наступних поліноміальних функцій.

9) $f(x)=2x^2+9x−5$

10) $f(x)=x^3+2x^2−2x$

Відповідь: Ступінь 3, $y$ -перехоплення: $(0,0),$ Нулі: $0, \,\sqrt{3}−1,\, −1−\sqrt{3}$

Спростіть наступні тригонометричні вирази.

11) $\dfrac{\tan^2x}{\sec^2x}+{\cos^2x}$

12) $\cos^2x-\sin^2x$

Відповідь: $\cos(2x)$

Вирішіть наступні тригонометричні рівняння на інтервалі $θ=[−2π,2π]$ точно.

13) $6\cos 2x−3=0$

14) $\sec^2x−2\sec x+1=0$

Відповідь: $0,±2π$

Розв'яжіть наступні логарифмічні рівняння.

15) $5^x=16$

16) $\log_2(x+4)=3$

Відповідь: $4$

Чи є наступні функції один до одного над їх областю існування? Чи має функція зворотна? Якщо так, то знайдіть $f^{−1}(x)$ зворотну функцію. Обґрунтуйте свою відповідь.

17) $f(x)=x^2+2x+1$

18) $f(x)=\dfrac{1}{x}$

Відповідь: Один до одного; так, функція має зворотну; обернену: $f^{−1}(x)=\dfrac{1}{x}$

Для наступних завдань визначте найбільший домен, на якому функція є один до одного, і знайдіть зворотну на цій області.

19) $f(x)=\sqrt{9−x}$

20) $f(x)=x^2+3x+4$

Відповідь: $x≥−\frac{3}{2},\quad f^{−1}(x)=−\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{4x−7}$

21) Автомобіль мчить по круговій трасі діаметром 1 миль. Тренер, що стоїть в центрі кола, відзначає свій прогрес кожні 5 сек. Через 5 сек, тренер повинен повернути 55°, щоб не відставати від автомобіля. Наскільки швидко їде автомобіль?

Для наступних проблем розгляньте власника ресторану, який хоче продавати футболки з рекламою свого бренду. Він нагадує, що існує фіксована вартість і змінна вартість, хоча і не пам'ятає значення. Він знає, що компанія з друку футболок стягує 440 доларів за 20 сорочок і 1000 доларів за 100 сорочок.

22) а. знайти рівняння $C=f(x)$ , яке описує загальну вартість як функцію кількості сорочок і

b. визначити, скільки сорочок він повинен продати, щоб зламати, навіть якщо він продає сорочки за $10 кожен.

Відповідь: а. $C(x)=300+7x$
б. $100$ сорочки

23) а. знайти обернену функцію $x=f^{−1}(C)$ і описати значення цієї функції.

б. визначити, скільки сорочок власник може купити, якщо у нього є 8000 доларів, щоб витратити.

Для наступних проблем розглянемо чисельність населення Оушен-Сіті, штат Нью-Джерсі, яке є циклічним за сезонами.

24) Населення можна моделювати за тим $P(t)=82.5−67.5\cos[(π/6)t]$ , де $t$ час в місяцях ( $t=0$ представляє 1 січня) і $P$ є чисельністю населення (в тисячах). Протягом року, в які проміжки часу населення менше 20 000? За які проміжки часу чисельність населення більше 140 000?

Відповідь: Населення становить менше 20 000 з 8 грудня по 23 січня і понад 140 000 з 29 травня по 2 серпня.

25) Насправді загальна чисельність населення, швидше за все, збільшується або зменшується протягом кожного року. Давайте переформулюємо модель як $P(t)=82.5−67.5\cos[(π/6)t]+t$ , де t - час в місяцях ( $t=0$ представляє 1 січня) і $P$ є чисельність населення (в тисячах). Коли вперше чисельність населення досягає 200 000?

Для наступних проблем розгляньте радіоактивні датування. Скелет людини знайдений в археологічній розкопці. Вуглецеве датування реалізується для визначення того, скільки років скелет за допомогою рівняння $y=e^{rt}$ , де $y$ відсоток радіовуглецю все ще присутній у матеріалі, $t$ - це кількість років, $r=−0.0001210$ що пройшли, і швидкість розпаду радіовуглецю.

26) Якщо передбачається, що скелету буде 2000 років, який відсоток радіовуглецю повинен бути присутнім?

Відповідь: 78,51%

27) Знайти зворотне рівняння датування вуглецю. Що це означає? Якщо є 25% радіовуглецю, скільки років скелет?

Дописувачі

Template:ContribOpenStaxCalc