1.5: Експоненціальні та логарифмічні функції

Цілі навчання

• Визначте форму експоненціальної функції.
• Поясніть різницю між графіками$x^{b}$ і$b^{x}$.
• Визнати значимість числа$e$.
• Визначте форму логарифмічної функції.
• Поясніть зв'язок між експоненціальною та логарифмічною функціями.
• Опишіть, як обчислити логарифм до іншої основи.
• Визначте гіперболічні функції, їх графіки та основні ідентичності.

У цьому розділі ми розглянемо експоненціальні та логарифмічні функції. Ми використовуємо властивості цих функцій для розв'язання рівнянь за участю експоненціальних або логарифмічних термінів, вивчаємо значення і важливість числа$e$. Також визначено гіперболічні та обернені гіперболічні функції, які включають комбінації експоненціальних та логарифмічних функцій. (Зауважте, що ми наводимо альтернативні визначення експоненціальних та логарифмічних функцій у розділі Програми інтеграцій та доведено, що функції мають однакові властивості з будь-яким визначенням.)

Експоненціальні функції

Експоненціальні функції виникають у багатьох додатках. Одним з поширених прикладів є зростання чисельності населення. Наприклад, якщо популяція починається з$P_0$ особин, а потім зростає річними темпами$2\%$, її популяція через 1 рік становить

$$P(1)=P_0+0.02P_0=P_0(1+0.02)=P_0(1.02).\nonumber$$

Його населення після 2 років становить

$$P(2)=P(1)+0.02P(1)=P(1)(1.02)=P_0(1.02)^2.\nonumber$$

Взагалі його популяція через$t$ роки становить

$$P(t)=P_0(1.02)^t,\nonumber$$

яка є експоненціальною функцією. Більш загально, будь-яка функція виду$f(x)=b^x$, де$b>0$$b≠1$, є експоненціальною функцією з базовою$b$ та експонентою$x.$ Експоненціальні функції мають постійні основи та змінні показники. Зауважте, що функція виду$f(x)=x^b$ для деякої константи не$b$ є експоненціальною функцією, а силовою функцією.

Щоб побачити різницю між експоненціальною функцією і силовою функцією, ми порівняємо функції$y=x^2$ і$y=2^x$. У таблиці ми бачимо$\PageIndex{1}$, що обидва$2^x$ і$x^2$ наближаються до нескінченності як$x→∞$. Врешті-решт, однак,$2^x$ стає більшим, ніж$x^2$ і росте швидше$x→∞$. У зворотному напрямку, як$x→−∞$$x^2→∞$, тоді як$2^x→0$. Лінія$y=0$ являє собою горизонтальну асимптоту для$y=2^x$.

Таблиця$\PageIndex{1}$

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
$x^2$	9	4	1	0	1	4	9	16	25	36
$2^x$	1/8	1/4	1/2	1	2	4	8	16	32	64

На малюнку$\PageIndex{1}$ ми графуємо обидва$y=x^2$ і$y=2^x$ показуємо, чим відрізняються графіки.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Обидва$2^x$ і$x^2$ наближаються до нескінченності як$x→∞$, але$2^x$ зростає швидше, ніж$x^2$. Як$x→−∞$$x^2→∞$, тоді як$2^x→0$.

Оцінка експоненціальних функцій

Нагадаємо властивості показників: Якщо$x$ натуральне число, то визначаємо$b^x=b⋅b⋯b$ (з$x$ множниками$b$). Якщо$x$ від'ємне ціле число, то$x=−y$ для деякого позитивного цілого числа$y$, і ми визначаємо$b^x=b^{−y}=1/b^y$. Крім того,$b^0$ визначається бути$1$. Якщо$x$ є раціональним числом, то$x=p/q$, де$p$ і$q$ є цілими числами і$b^x=b^{p/q}=\sqrt[q]{b^p}$. Наприклад,$9^{3/2}=\sqrt{9^3}=\left(\sqrt{9}\right)^3=27$. Однак як$b^x$ визначається, чи$x$ є ірраціональним числом? Наприклад, що ми маємо на увазі$2^{\sqrt{2}}$? Це занадто складне питання, щоб ми могли повністю відповісти прямо зараз; однак, ми можемо зробити наближення.

Таблиця$\PageIndex{2}$: Значення$2^x$ для переліку апроксимуючих раціональних чисел$\sqrt{2}$

$x$	1.4	1.41	1.414	1.4142	1.41421	1.414213
$2^x$	2.639	2.65737	2.66475	2.665119	2.665138	2.665143

У таблиці$\PageIndex{2}$ наведено деякі раціональні числа$\sqrt{2}$, що наближаються, а також$x$ наведені значення$2^x$ для кожного раціонального числа. Ми стверджуємо, що якщо ми вибираємо раціональні числа$x$ все ближче і ближче до$\sqrt{2}$, значення$2^x$ стають все ближче і ближче до якогось числа$L$. Ми визначаємо, що число$L$ буде$2^{\sqrt{2}}$.

Приклад$\PageIndex{1}$: Bacterial Growth

Припустимо, певна популяція бактерій, як відомо, подвоюється в розмірі$4$ щогодини. Якщо культура починається з$1000$ бактерій, кількість бактерій після$4$ години становить$n(4)=1000⋅2$. Кількість бактерій в$8$ неробочий час становить$n(8)=n(4)⋅2=1000⋅2^2$. Загалом, кількість бактерій після$4m$ години становить$n(4m)=1000⋅2^m$. Відпускаючи$t=4m$, ми бачимо, що кількість бактерій після t годин є$n(t)=1000⋅2^{t/4}$. Знайдіть кількість бактерій після$6$ годин,$10$ годин та$24$ годин.

Рішення

Кількість бактерій через 6 годин дається

$$n(6)=1000⋅2^{6/4}≈2828\, \text{bacteria}. \nonumber$$

Кількість бактерій в$10$ неробочий час задається

$$n(10)=1000⋅2^{10/4}≈5657\, \text{bacteria}. \nonumber$$

Кількість бактерій в$24$ неробочий час дають$n(24)=1000⋅2^6=64,000$ бактерії.

Вправа$\PageIndex{1}$

З огляду на експоненціальну функцію$f(x)=100⋅3^{x/2}$, оцінюють$f(4)$ і$f(10)$.

Відповідь

$f(4)=900$

$f(10)=24,300$.

Графічні експоненціальні функції

Для будь-якої бази$b>0$ експоненціальна функція$f(x)=b^x$ визначається для всіх дійсних чисел$x$ і$b^x>0$.$b≠1$ Тому домен$f(x)=b^x$ is$(−∞,∞)$ і діапазон є$(0,∞)$. Для графіка$b^x$, відзначимо$b>1$, що для,$b^x$ збільшується на$(−∞,∞)$ і$b^x→∞$ як$x→∞$, тоді$b^x→0$ як як$x→−∞$. З іншого боку, якщо$0<b<1$,$f(x)=b^x$ зменшується на$(−∞,∞)$ і$b^x→0$ як$x→∞$ тоді,$b^x→∞$ як$x→−∞$ (рис.$\PageIndex{2}$).

Малюнок$\PageIndex{2}$: Якщо$b>1$,$b^x$ то збільшується на$(−∞,∞)$. Якщо$0<b<1$, то$b^x$ зменшується на$(−∞,∞)$.

Зауважимо, що експоненціальні функції задовольняють загальним законам показників. Щоб нагадати вам про ці закони, ми визначимо їх як правила.

Закони експонентів

Для будь-яких констант$a>0$$b>0$, і для всіх$x$ і$y,$

1. $$b^x⋅b^y=b^{x+y} \nonumber$$
2. $$\dfrac{b^x}{b^y}=b^{x−y} \nonumber$$
3. $$(b^x)^y=b^{xy} \nonumber$$
4. $$(ab)^x=a^xb^x \nonumber$$
5. $$\dfrac{a^x}{b^x}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^x \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{2}$: Using the Laws of Exponents

Використовуйте закони показників, щоб спростити кожне з наступних виразів.

1. $\dfrac{(2x^{2/3})^3}{(4x^{−1/3})^2}$
2. $\dfrac{(x^3y^{−1})^2}{(xy^2)^{−2}}$

Рішення

a. ми можемо спростити наступним чином:

$$\dfrac{(2x^{2/3})^3}{(4x^{−1/3})^2}=\dfrac{2^3(x^{2/3})^3}{4^2(x^{−1/3})^2}= \dfrac{8x^2}{16x^{−2/3}} =\dfrac{x^2x^{2/3}}{2}=\dfrac{x^{8/3}}{2}. \nonumber$$

б. ми можемо спростити наступним чином:

$$\dfrac{(x^3y^{−1})^2}{(xy^2)^{−2}}=\dfrac{(x^3)^2(y^{−1})^2}{x^{−2}(y^2)^{−2}}=\dfrac{x^6y^{−2}}{x^{−2}y^{−4}} =x^6x^2y^{−2}y^4=x^8y^2. \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{2}$

Використовуйте закони експонентів для спрощення$\dfrac{6x^{−3}y^2}{12x^{−4}y^5}$.

Підказка

$x^a/x^b=x^{a-b}$

Відповідь

$x/(2y^3)$

Число е

Особливий тип експоненціальної функції часто з'являється в реальних додатках. Для його опису розглянемо наступний приклад експоненціального зростання, який виникає внаслідок нарощування відсотків на ощадному рахунку. Припустимо, людина вкладає$P$ долари на ощадний рахунок з річною процентною ставкою$r$, що ускладнюється щорічно. Сума грошей після 1 року

$A(1)=P+rP=P(1+r)$.

Сума грошей через$2$ роки становить

$A(2)=A(1)+rA(1)=P(1+r)+rP(1+r)=P(1+r)^2$.

Більш загально, сума через$t$ роки становить

$A(t)=P(1+r)^t$.

Якщо гроші складаються 2 рази на рік, сума грошей після півроку становить

$A\left(\dfrac{1}{2}\right)=P+\left(\dfrac{r}{2}\right)P=P\left(1+\left(\dfrac{r}{2}\right)\right)$.

Сума грошей за$1$ роком становить

$A(1)=A\left(\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{r}{2}\right)A \left(\dfrac{1}{2}\right)=P\left(1+\dfrac{r}{2}\right)+\dfrac{r}{2}\left(\left(P(1+\dfrac{r}{2}\right)\right)=P\left(1+\dfrac{r}{2}\right)^2.$

Через$t$ роки сума грошей на рахунку становить

$A(t)=P\left(1+\dfrac{r}{2}\right)^{2t}$.

Більш загально, якщо гроші складаються$n$ раз на рік, сума грошей на рахунку через$t$ роки дається функцією

$A(t)=P\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{nt}.$

Що відбувається як$n→∞?$ Щоб відповісти на це питання, давайте$m=n/r$ і пишемо

$\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{nt}=\left(1+\dfrac{1}{m}\right)^{mrt},$

і вивчити поведінку$(1+1/m)^m$ as$m→∞$, використовуючи таблицю значень (Таблиця$\PageIndex{3}$).

Таблиця$\PageIndex{3}$: Значення$\left(1+\dfrac{1}{m}\right)^m$ as$m→∞$

$m$	10	100	1000	10 000	100 000	1 000 000
$\left(1+\dfrac{1}{m}\right)^m$	2.5937	2.7048	2.71692	2.71815	2.718268	2.718280

Дивлячись на цю таблицю, виявляється, що$(1+1/m)^m$ наближається число між$2.7$ і$2.8$ як$m→∞$. Насправді,$(1+1/m)^m$ наближається до деякого числа, як$m→∞$. Дзвонимо за цим номером$e$. До шести знаків після коми точності

$$e≈2.718282. \nonumber$$

Леонард Ейлер

Лист вперше$e$ був використаний для представлення цього числа швейцарським математиком Леонардом Ейлером протягом 1720-х років. Хоча Ейлер не виявив числа, він показав багато важливих зв'язків між$e$ і логарифмічними функціями. Ми все ще використовуємо позначення$e$ сьогодні, щоб вшанувати роботу Ейлера, оскільки вона з'являється у багатьох областях математики і тому, що ми можемо використовувати її у багатьох практичних застосуваннях.

Повертаючись до нашого прикладу ощадного рахунку, можна зробити висновок, що якщо людина ставить$P$ долари на рахунок під річну процентну ставку$r$, що посилюється безперервно, то$A(t)=Pe^{rt}$. Ця функція може бути знайома. Оскільки функції за участю бази$e$ виникають часто в додатках, ми називаємо функцію$f(x)=e^x$ природною експоненціальною функцією. Не тільки ця функція цікава через визначення числа$e$, але і, як обговорювалося далі, її графік має важливу властивість.

З тих пір$e>1$, як ми знаємо$f(x) = e^x$, збільшується на$(−∞,∞)$. На малюнку$\PageIndex{3}$ ми показуємо графік$f(x)=e^x$ разом з дотичною лінією до графіка$f$ at$x=0$. Ми даємо точне визначення дотичної лінії в наступному розділі; але, неофіційно, ми говоримо, що дотична лінія до графіка$f$ at$x=a$ - це лінія, яка проходить через точку$(a,f(a))$ і має такий же «нахил», що і$f$ в цій точці. Функція$f(x)=e^x$ є єдиною$b^x$ експоненціальною функцією з дотичною лінією при$x=0$ цьому має нахил$1.$ Як ми бачимо пізніше в тексті, маючи цю властивість робить природну експоненціальну функцію найпростішою експоненціальною функцією для використання у багатьох випадках.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Графік$f(x)=e^x$ має дотичну лінію з нахилом$1$ в$x=0$.

Приклад$\PageIndex{3}$: Compounding Interest

Припустимо,$$500$ вкладається в рахунок за річною процентною ставкою$r=5.5\%$, що складається безперервно.

1. Нехай$t$ позначають кількість років після початкових вкладень і$A(t)$ позначають суму грошей на рахунку в момент часу$t$. Знайдіть формулу для$A(t)$.
2. Знайти суму грошей на рахунку через$10$ роки і після$20$ років.

Рішення

а Якщо$P$ долари інвестуються в рахунок за річною процентною ставкою$r$, що складається безперервно, то$A(t)=Pe^{rt}$. Ось$P=$500$ і$r=0.055$. Тому,$A(t)=500e^{0.055t}$.

б. через$10$ роки сума грошей на рахунку дорівнює

$A(10)=500e^{0.055⋅10}=500e^{0.55}≈$866.63$.

Через$20$ роки сума грошей на рахунку становить

$A(20)=500e^{0.055⋅20}=500e^{1.1}≈$1,502.08$.

Вправа$\PageIndex{3}$

Якщо$$750$ вкладається в рахунок під річну процентну ставку$4\%$, що складається безперервно, знайдіть формулу для суми грошей на рахунку через$t$ роки. Знайти суму грошей через$30$ роки.

Підказка

$A(t)=Pe^{rt}$

Відповідь

$A(t)=750e^{0.04t}$. Через$30$ роки буде приблизно$$2,490.09$.

Логарифмічні функції

Використовуючи наше розуміння експоненціальних функцій, ми можемо обговорити їх зворотні, які є логарифмічними функціями. Вони стануть в нагоді, коли нам потрібно розглянути будь-яке явище, яке змінюється в широкому діапазоні значень, наприклад, шкала рН в хімії або децибел в рівнях звуку.

Експоненціальна функція$f(x)=b^x$ один до одного, з доменом$(−∞,∞)$ і діапазоном$(0,∞)$. Тому він має обернену функцію, звану логарифмічною функцією з основою$b$. Для будь-якого$b>0,\, b≠1$ логарифмічна функція з базою$b$, позначається$\log_b$, має область$(0,∞)$ і діапазон$(−∞,∞)$, і задовольняє

$$\log_b(x)=y \nonumber$$

якщо і тільки якщо$b^y=x$.

Наприклад,

$$\log_2(8)=3\nonumber$$

так як$2^3=8$,

$$\log_{10}\left(\dfrac{1}{100}\right)=−2 \nonumber$$

так як$10^{−2}=\dfrac{1}{10^2}=\dfrac{1}{100}$,

$$\log_b(1)=0 \nonumber$$

так як$b^0=1$ для будь-якої бази$b>0$.

Крім того, оскільки$y=\log_b(x)$ і$y=b^x$ є зворотними функціями,

$$\log_b(b^x)=x \nonumber$$

і

$$b^{\log_b(x)}=x. \nonumber$$

Найбільш часто використовуваною логарифмічною функцією є функція$\log_e$. Оскільки ця функція використовує натуральне в$e$ якості своєї основи, її називають натуральним логарифмом. Тут ми використовуємо позначення$\ln (x)$ або$\ln x$ для позначення$\log_e(x)$. Наприклад,

$$\begin{align*} \ln (e) &=\log_e(e)=1 \\[4pt] \ln (e^3) &=\log_e(e^3)=3 \\[4pt] \ln (1) &=\log_e(1)=0. \end{align*}$$

Так як функції$f(x)=e^x$ і$g(x)=\ln (x)$ є оберненнями один одного,

$\ln (e^x)=x$і$e^{\ln x}=x$,

і їх графіки симетричні щодо лінії$y=x$ (рис.$\PageIndex{4}$).

Малюнок$\PageIndex{4}$: Функції$y=e^x$ і$y=\ln (x)$ є зворотними один від одного, тому їх графіки симетричні щодо прямої$y=x$.

Загалом, для будь-якої бази$b>0$ функція$g(x)=\log_b(x)$ симетрична щодо лінії$y=x$ з функцією$f(x)=b^x$.$b≠1$ Використовуючи цей факт і графіки експоненціальних функцій, ми графуємо функції$\log_b$ для декількох значень$b>1$ (рис.$\PageIndex{5}$).

Малюнок$\PageIndex{5}$: Графіки$y=\log_b(x)$ зображені для$b=2,\,e,\,10$.

Перш ніж розв'язувати деякі рівняння, що включають експоненціальні та логарифмічні функції, розглянемо основні властивості логарифмів.

Властивості логарифмів

Якщо$a,\,b,\,c>0,\,b≠1$, і$r$ є будь-яким дійсним числом, то

• Властивість продукту

$$\log_b(ac)=\log_b(a)+\log_b(c) \label{productprop}$$

• Часткове майно

$$\log_b \left(\dfrac{a}{c} \right)=\log_b(a)−\log_b(c) \label{quotientprop}$$

• Власне майно

$$\log_b(a^r)=r\log_b(a) \label{powerprop}$$

Приклад$\PageIndex{4}$: Solving Equations Involving Exponential Functions

Вирішіть кожне з наступних рівнянь для$x$.

1. $5^x=2$
2. $e^x+6e^{−x}=5$

Рішення

а Застосовуючи функцію натурального логарифма до обох сторін рівняння, ми маємо

$\ln 5^x=\ln 2$.

Використовуючи властивість power логарифмів,

$x\ln 5=\ln 2.$

Тому,

$$x= \dfrac{\ln 2}{\ln 5}. \nonumber$$

б. множивши обидві сторони рівняння на$e^x$, приходимо до рівняння

$e^{2x}+6=5e^x$.

Переписування цього рівняння як

$e^{2x}−5e^x+6=0$,

потім ми можемо переписати його як квадратне рівняння в$e^x$:

$(e^x)^2−5(e^x)+6=0.$

Тепер ми можемо вирішити квадратне рівняння. Факторинг цього рівняння отримаємо

$(e^x−3)(e^x−2)=0.$

Тому рішення задовольняють$e^x=3$ і$e^x=2$. Прийняття натурального логарифму обох сторін дає нам рішення$x=\ln 3,\ln 2$.

Вправа$\PageIndex{4}$

Вирішити

$$e^{2x}/(3+e^{2x})=1/2. \nonumber$$

Підказка

Спочатку розв'яжіть рівняння для$e^{2x}$

Відповідь

$x=\dfrac{\ln 3}{2}$.

Приклад$\PageIndex{5}$: Solving Equations Involving Logarithmic Functions

Вирішіть кожне з наступних рівнянь для$x$.

1. $\ln \left(\dfrac{1}{x}\right)=4$
2. $\log_{10}\sqrt{x}+\log_{10}x=2$
3. $\ln (2x)−3\ln (x^2)=0$

Рішення

а. за визначенням функції натурального логарифма,

$\ln \left(\dfrac{1}{x} \right)=4$

• якщо і тільки якщо$e^4=\dfrac{1}{x}$.

Тому рішення є$x=1/e^4$.

b Використовуючи добуток (Equation\ ref {productprop}) і потужність (Equation\ ref {powerprop}) властивостей логарифмічних функцій, перепишіть ліву частину рівняння як

$$\begin{align*} \log_{10}\sqrt{x} + \log_{10}x &= \log_{10} x \sqrt{x} \\[4pt] &= \log_{10}x^{3/2} \\[4pt] &= \dfrac{3}{2}\log_{10}x. \end{align*}$$

Тому рівняння можна переписати як

$\dfrac{3}{2}\log_{10}x=2$

або

$\log_{10}x=\dfrac{4}{3}$.

Рішення є$x=10^{4/3}=10\sqrt[3]{10}$.

c Використовуючи властивість power (Equation\ ref {powerprop}) логарифмічних функцій, ми можемо переписати рівняння як$\ln (2x)−\ln (x^6)=0$.

Використовуючи часткову властивість (Equation\ ref {quotientprop}), це стає

$\ln \left(\dfrac{2}{x^5}\right)=0$

Тому$2/x^5=1$, що має на увазі$x=\sqrt[5]{2}$. Потім слід перевірити наявність сторонніх рішень.

Вправа$\PageIndex{5}$

Вирішити$\ln (x^3)−4\ln (x)=1$.

Підказка

Спочатку використовуйте властивість power, потім використовуйте властивість добутку логарифмів.

Відповідь

$x=\dfrac{1}{e}$

При оцінці логарифмічної функції калькулятором ви, можливо, помітили, що єдиними варіантами є$\log_{10}$ або$\log$, званий загальним логарифмом, або$\ln$, який є натуральним логарифмом. Однак експоненціальні функції та логарифмові функції можуть бути виражені через будь-яку бажану базу$b$. Якщо вам потрібно скористатися калькулятором для оцінки виразу з іншою базою, ви можете спочатку застосувати формули зміни основи. Використовуючи цю зміну бази, ми зазвичай пишемо задану експоненціальну або логарифмічну функцію з точки зору натуральної експоненціальної та натуральної логарифмічної функцій.

Правило: Формули зміни бази

Нехай$a>0,\,b>0$, і$a≠1,\,b≠1$.

1. $a^x=b^{x \log_ba}$для будь-якого дійсного числа$x$.

Якщо$b=e$, це рівняння зводиться до$a^x=e^{x \log_ea}=e^{x \ln a}$.

2. $\log_ax=\dfrac{\log_bx}{\log_ba}$для будь-якого дійсного числа$x>0$.

Якщо$b=e$, це рівняння зводиться до$\log_ax=\dfrac{\ln x}{\ln a}$.

Доказ

Для першої зміни базової формули ми починаємо з використання властивості power логарифмічних функцій. Ми знаємо, що для будь-якої бази$b>0,\, b≠1$,$\log_b(a^x)=x \log_ba$. Тому,

$b^{\log_b(a^x)}$=$b^{x \log_ba}$.

Крім того, ми знаємо, що$b^x$ і$\log_b(x)$ є зворотними функціями. Тому,

$b^{\log_b(a^x)}=a^x$.

Поєднуючи ці останні дві рівності, робимо висновок, що$a^x=b^{x \log_ba}$.

Щоб довести другу властивість, покажемо, що

$(\log_ba)⋅(\log_ax)=\log_bx.$

Нехай$u=\log_ba,v=\log_ax$, і$w=\log_bx$. Ми це покажемо$u⋅v=w$. За визначенням логарифмічних функцій ми знаємо$b^u=a,\, a^v=x$, що, і$b^w=x$. З попередніх рівнянь ми бачимо, що

$b^{uv}=(b^u)^v=a^v=x=b^w.$

Тому,$b^{uv}=b^w$. Оскільки експоненціальні функції є один до одного, можна зробити висновок, що$u⋅v=w$.

$\square$

Приклад$\PageIndex{6}$: Changing Bases

Використовуйте обчислювальну утиліту для оцінки$\log_37$ за формулою зміни основи, представленої раніше.

Рішення

Використовуйте друге рівняння з$a=3$ і$b=e$:$\log_37=\dfrac{\ln 7}{\ln 3}≈1.77124$.

Вправа$\PageIndex{6}$

Використовуйте формулу зміни бази та обчислювальну корисність для оцінки$\log_46$.

Підказка

Скористайтеся зміною бази, щоб переписати цей вираз через вирази, що включають функцію натурального логарифма.

Відповідь

$\log_46 = \dfrac{\ln 6}{\ln 4} \approx 1.29248$

Приклад$\PageIndex{7}$: The Richter Scale for Earthquakes

У 1935 році Чарльз Ріхтер розробив шкалу (тепер відома як шкала Ріхтера) для вимірювання магнітуди землетрусу. Шкала являє собою логарифмічну шкалу база-10, і її можна описати наступним чином: Розглянемо один землетрус магнітудою$R_1$ за шкалою Ріхтера і другий землетрус з магнітудою$R_2$ за шкалою Ріхтера. Припустимо$R_1>R_2$, що означає землетрус магнітудою$R_1$ сильніше, але наскільки він сильніший за інший землетрус?

Малюнок$\PageIndex{6}$: (Кредит: модифікація роботи Робба Ханнавакера, NPS)

Спосіб вимірювання інтенсивності землетрусу полягає у використанні сейсмографа для вимірювання амплітуди хвиль землетрусу. Якщо$A_1$ амплітуда, виміряна для першого землетрусу, і$A_2$ є амплітудою, виміряною для другого землетрусу, то амплітуди і величини двох землетрусів задовольняють наступному рівнянню:

$R_1−R_2=\log_{10}\left(\dfrac{A1}{A2}\right)$.

Розглянемо землетрус, який вимірює 8 за шкалою Ріхтера і землетрус, який вимірює 7 за шкалою Ріхтера. Потім,

$8−7=\log_{10}\left(\dfrac{A1}{A2}\right)$.

Тому,

$\log_{10}\left(\dfrac{A1}{A2}\right)=1$,

що має на увазі$A_1/A_2=10$ або$A_1=10A_2$. $A_1$Оскільки в 10 разів більше$A_2$, ми говоримо, що перший землетрус в 10 разів інтенсивніше другого землетрусу. З іншого боку, якщо один землетрус вимірює 8 за шкалою Ріхтера, а інший вимірює 6, то відносна інтенсивність двох землетрусів задовольняє рівнянню.

$\log_{10}\left(\dfrac{A1}{A2}\right)=8−6=2$.

Отже,$A_1=100A_2$ .Тобто перший землетрус в 100 разів інтенсивніше другого.

Як ми можемо використовувати логарифмічні функції для порівняння відносної тяжкості землетрусу магнітудою 9 магнітудою в Японії в 2011 році з землетрусом магнітудою 7,3 на Гаїті в 2010 році?

Рішення

Щоб порівняти землетруси в Японії та Гаїті, ми можемо використовувати рівняння, представлене раніше:

$9−7.3=\log_{10}\left(\dfrac{A1}{A2}\right)$.

Тому і робимо висновок$A_1/A_2=10^{1.7}$, що землетрус в Японії був приблизно в 50 разів інтенсивніше, ніж землетрус на Гаїті.

Вправа$\PageIndex{7}$

Порівняйте відносну тяжкість$8.4$ землетрусу магнітудою з магнітудою$7.4$ землетрусу.

Підказка

$R_1−R_2=\log_{10}(A1/A2)$.

Відповідь

$8.4$Землетрус магнітудою приблизно$10$ в рази важкий, ніж$7.4$ землетрус магнітудою.

Гіперболічні функції

Гіперболічні функції визначаються з точки зору певних комбінацій$e^x$ і$e^{−x}$. Ці функції виникають природно в різних інженерно-фізичних додатках, включаючи вивчення водних хвиль і коливань пружних мембран. Іншим поширеним використанням гіперболічної функції є подання висячого ланцюга або кабелю, також відомого як контактний зв'язок (рис.$\PageIndex{7}$). Якщо ввести систему координат так, щоб нижня точка ланцюга лежала уздовж$y$ -осі, ми можемо описати висоту ланцюга в терміні гіперболічної функції. Спочатку визначаємо гіперболічні функції.

Малюнок:$\PageIndex{7}$ Форма нитки шовку в павутинці може бути описана з точки зору гіперболічної функції. Така ж форма стосується ланцюга або троса, що звисає з двох опор тільки власною вагою. (кредит: «Мтпалей», Вікісховище)

Визначення: гіперболічні функції

Гіперболічний косинус

$\cosh x=\dfrac{e^x+e^{−x}}{2}$

гіперболічний синус

$\sinh x=\dfrac{e^x−e^{−x}}{2}$

Гіперболічний тангенс

$\tanh x=\dfrac{\sinh x}{\cosh x}=\dfrac{e^x−e^{−x}}{e^x+e^{−x}}$

Гіперболічний косеканс

$\operatorname{csch}x=\dfrac{1}{\sinh x}=\dfrac{2}{e^x−e^{−x}}$

Гіперболічний секантний

$\operatorname{sech}x=\dfrac{1}{\cosh x}=\dfrac{2}{e^x+e^{−x}}$

Гіперболічний котангенс

$\coth x=\dfrac{\cosh x}{\sinh x}=\dfrac{e^x+e^{−x}}{e^x−e^{−x}}$

Назва$\cosh$ римується з «гош», тоді як назва$\sinh$ вимовляється «cinch». $\operatorname{Tanh}, \,\operatorname{sech}, \, \operatorname{csch},$і$\coth$ вимовляються «танч», «мова», «комова» і «котанч» відповідно.

Використовуючи визначення$\cosh(x)$ і принципи фізики, можна показати, що висота висить ланцюга, така як та, яка на малюнку$\PageIndex{8}$, може бути описана функцією$h(x)=a\cosh(x/a) + c$ для певних констант$a$ і$c$.

Але чому ці функції називаються гіперболічними функціями? Щоб відповісти на це питання, розглянемо кількість$\cosh^2 t − \sinh^2 t$. Використовуючи визначення$\cosh$ і$\sinh$, ми бачимо, що

$$\cosh^2 t − \sinh^2 t=\dfrac{e^{2t}+2+e^{−2t}}{4}−\dfrac{e^{2t}−2+e^{−2t}}{4}=1. \nonumber$$

Ця ідентичність є аналогом тригонометричної ідентичності$\cos^2 t + \sin^2 t=1$. Тут при заданому$t$ значенні точка$(x,y)=(\cosh t,\,\sinh t)$ лежить на одиниці гіперболи$x^2−y^2=1$ (рис.$\PageIndex{8}$).

Малюнок$\PageIndex{8}$: Одиниця гіперболи$\cosh^2 t − \sinh^2 t=1$.

Графіки гіперболічних функцій

Для графіка$\cosh x$ і$\sinh x$, ми використовуємо той факт, що обидві функції підходять$(1/2)e^x$ як$x→∞$, так$e^{−x}→0$ як як$x→∞$. Як$x→−∞,\cosh x$ підходи$1/2e^{−x}$, тоді як$\sinh x$ підходи$−1/2e^{−x}$. Тому, використовуючи графіки$1/2e^x,1/2e^{−x}$, і в$−1/2e^{−x}$ якості орієнтирів, графуємо$\cosh x$ і$\sinh x$. Для$\tanh x$ графування ми використовуємо той факт$\tanh(0)=0$, що,$−1<\tanh(x)<1$ для всіх$x$,$\tanh x→1$ як$x→∞$, і$\tanh x→−1$ як$x→−∞$. Графіки інших трьох гіперболічних функцій можуть бути намальовані за допомогою графіків$\cosh x$$\sinh x$, і$\tanh x$ (рис.$\PageIndex{9}$).

Малюнок$\PageIndex{9}$: Гіперболічні функції передбачають комбінації$e^x$ і$e^{−x}$.

Ідентичності за участю гіперболічних функцій

Ідентичність$\cosh^2 t−\sinh^2 t = 1$, показана на малюнку$\PageIndex{8}$, є однією з декількох тотожностей, що включають гіперболічні функції, деякі з яких перераховані далі. Перші чотири властивості легко випливають з визначень гіперболічного синуса та гіперболічного косинуса. За винятком деяких відмінностей у знаках, більшість цих властивостей аналогічні ідентичностям для тригонометричних функцій.

Ідентичності за участю гіперболічних функцій

1. $\cosh(−x)=\cosh x$
2. $\sinh(−x)=−\sinh x$
3. $\cosh x+\sinh x=e^x$
4. $\cosh x−\sinh x=e^{−x}$
5. $\cosh^2 x−\sinh^2 x=1$
6. $1−\tanh^2 x=\operatorname{sech}^2 x$
7. $\coth^2 x −1=\operatorname{csch}^2 x$
8. $\sinh(x±y)=\sinh x \cosh y ± \cosh x \sinh y$
9. $\cosh(x±y)=\cosh x \cosh y ± \sinh x \sinh y$

Приклад$\PageIndex{8}$: Evaluating Hyperbolic Functions

1. Спростити$\sinh(5\ln x)$.
2. Якщо$\sinh x=3/4$, знайти значення інших п'яти гіперболічних функцій.

Рішення:

a. використовуючи визначення$\sinh$ функції, пишемо

$\sinh(5\ln x)=\dfrac{e^{5\ln x}−e^{−5\ln x}}{2}=\dfrac{e^{\ln (x^5)}−e^{\ln (x^{−5})}}{2}=\dfrac{x^5−x^{−5}}{2}.$

b Використовуючи ідентичність$\cosh^2 x − \sinh^2 x=1$, ми бачимо, що

$\cosh^2 x=1+\left(\frac{3}{4}\right)^2=\dfrac{25}{16}.$

Так як$\cosh x≥1$ для всіх$x$ ми повинні мати$\cosh x=5/4$. Потім, використовуючи визначення для інших гіперболічних функцій, робимо висновок, що$\tanh x=3/5,\operatorname{csch}x=4/3,\operatorname{sech}x=4/5$, і$\coth x=5/3$.

Вправа$\PageIndex{8}$

Спростити$\cosh(2\ln x)$.

Підказка

Використовують визначення$\cosh$ функції та степеневу властивість функцій логарифма.

Відповідь

$(x^2+x^{−2})/2$

Обернені гіперболічні функції

З графіків гіперболічних функцій ми бачимо, що всі вони один до одного крім$\cosh x$ і$\operatorname{sech}x$. Якщо обмежити області цих двох функцій інтервалом,$[0,∞),$ то всі гіперболічні функції є один до одного, і ми можемо визначити зворотні гіперболічні функції. Оскільки самі гіперболічні функції включають експоненціальні функції, обернені гіперболічні функції включають логарифмічні функції.

Визначення: Обернені гіперболічні функції

\ [\ почати {align*} &\ sinh^ {−1} x =\ ім'я оператора {arcsing} x=\ n\ ліворуч (x+\ sqrt {x^2+1}\ праворуч) &\ cosh^ {−1} x =\ ім'я оператора {arccosh} x =\ ln\ ліворуч (x+\ sqrt {x^2−1}\ праворуч)\ [4pt]
&\ tanh^ {−1} x=\ ім'я оператора {арктан} x =\ dfrac {1} {2}\ ln\ ліворуч (\ dfrac {1+x} {1−x}\ праворуч) &\ coth^ {−1} x =\ ім'я оператора {arccot} x =\ frac {1} {2}\ ln\ ліворуч (\ dfrac {x+1} {x−1}\ праворуч)\\ [4pt]
&\ ім'я оператора {sech} ^ {−1} x=\ ім'я оператора {arcsech} x =\ ln\ ліворуч (\ dfrac {1+\ sqrt {1x−^2}} {x}\ праворуч) &\ ім'я оператора {csch} ^ {−1} x =\ ім'я оператора {arcscch} x =\ ln\ ліворуч (\ dfrac {1} {x} +\ dfrac {\ sqrt {1+x^2}} {|x|}\ праворуч)\ кінець { вирівнювати*}\]

Давайте розглянемо, як вивести перше рівняння. Інші слідують аналогічно. Припустимо$y=\sinh^{−1}x$. Потім,$x=\sinh y$ і, за визначенням гіперболічної синусоїдальної функції,$x=\dfrac{e^y−e^{−y}}{2}$. Тому,

$e^y−2x−e^{−y}=0.$

Помноживши це рівняння на$e^y$, отримаємо

$e^{2y}−2xe^y−1=0$.

Це можна вирішити як квадратне рівняння, з розв'язком

$e^y=\dfrac{2x±\sqrt{4x^2+4}}{2}=x±\sqrt{x^2+1}$.

Так як$e^y>0$, єдиним рішенням є той, що має позитивний знак. Застосовуючи натуральний логарифм до обох сторін рівняння, робимо висновок, що

$y=\ln (x+\sqrt{x^2+1}).$

Приклад$\PageIndex{9}$: Evaluating Inverse Hyperbolic Functions

Оцінити кожне з наведених нижче виразів.

$\sinh^{−1}(2)$

$\tanh^{−1}(1/4)$

Рішення:

$$\sinh^{−1}(2)=\ln (2+\sqrt{2^2+1})=\ln (2+\sqrt{5})≈1.4436\nonumber$$

$$\tanh^{−1}(1/4)=\frac{1}{2}\ln \left(\dfrac{1+1/4}{1−1/4}\right)=\frac{1}{2}\ln \left(\dfrac{5/4}{3/4}\right)=\frac{1}{2}\ln \left(\dfrac{5}{3}\right)≈0.2554\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{9}$

Оцініть$\tanh^{−1}(1/2)$.

Підказка

Скористайтеся визначенням$\tanh^{−1}x$ і спрощуйте.

Відповідь

$\dfrac{1}{2}\ln (3)≈0.5493$.

Ключові поняття

• Експоненціальна функція$y=b^x$ збільшується if$b>1$ і зменшується if$0<b<1$. Його домен є$(−∞,∞)$ і його діапазон є$(0,∞)$.
• Логарифмічна функція$y=\log_b(x)$ є оберненою$y=b^x$. Його домен є,$(0,∞)$ а його діапазон$(−∞,∞).$
• Природна експоненціальна функція є,$y=e^x$ а природна логарифмічна функція дорівнює$y=\ln x=\log_ex.$
• З огляду на експоненціальну функцію або логарифмічну функцію в базі$a$, ми можемо зробити зміну бази, щоб перетворити цю функцію в будь-яку базу$b>0$,$b≠1.$ Ми зазвичай перетворюємо на базу$e$.
• Гіперболічні функції включають комбінації експоненціальних функцій$e^x$ і в$e^{−x}.$ результаті обернені гіперболічні функції включають природний логарифм.

Глосарій

база

число$b$ в експоненціальній функції$f(x)=b^x$ та логарифмічна функція$f(x)=\log_bx$

показник

значення$x$ у виразі$b^x$

гіперболічні функції

функції позначаються$\sinh,\,\cosh,\,\operatorname{tanh},\,\operatorname{csch},\,\operatorname{sech},$ і$\coth$, які передбачають певні комбінації$e^x$ і$e^{−x}$

обернені гіперболічні функції

зворотні гіперболічні функції де$\cosh$ і$\operatorname{sech}$ обмежені доменом$[0,∞)$; кожна з цих функцій може бути виражена через склад натуральної логарифмової функції та алгебраїчної функції

природна експоненціальна функція

функція$f(x)=e^x$

натуральний логарифм

функція$\ln x=\log_ex$

число е

як$m$ стає більше, кількість$(1+(1/m)^m$ наближається до деякого дійсного числа; ми визначаємо, що дійсне число буде$e;$$e$ значенням приблизно$2.718282$