13: Багаторазова інтеграція
- Page ID
- 60740
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
У цьому розділі ми застосовуємо методи інтегрального числення до багатозмінних функцій. У главі 5 ми дізналися, як певний інтеграл однієї змінної функції дав нам «площу під кривою». У цьому розділі ми побачимо, що інтеграція, застосована до багатоваріантної функції, дає нам «обсяг під поверхнею». І так само, як ми дізналися про застосування інтеграції поза межами пошуку областей, ми знайдемо додатки інтеграції в цьому розділі, крім пошуку обсягу.
- 13.1: Ітераційні інтеграли та площа
- Раніше ми виявили, що корисно диференціювати функції декількох змінних по відношенню до однієї змінної, при цьому всі інші змінні розглядаються як константи або коефіцієнти. Подібним чином ми можемо інтегрувати функції декількох змінних.
- 13.2: Подвійна інтеграція та обсяг
- Цей розділ розширив наше розуміння ітераційних інтегралів; тепер ми бачимо, що вони можуть бути використані для пошуку підписаного обсягу під поверхнею.
- 13.3: Подвійна інтеграція з полярними координатами
- Ми використовували ітераційні інтеграли для пошуку плоских областей та об'ємів під поверхнями. Подібно до того, як єдиний інтеграл може бути використаний для обчислення набагато більше, ніж «площа під кривою», ітераційні інтеграли можуть бути використані для обчислення набагато більше, ніж ми досі бачили. Наступні два розділи показують два, серед багатьох, застосування ітераційних інтегралів.
- 13.4: Центр Мас
- Ми використовували ітераційні інтеграли для пошуку плоских областей та підписаних об'ємів під поверхнями. Короткий підсумок цих застосувань буде корисним у цьому розділі, оскільки ми застосовуємо ітераційні інтеграли для обчислення маси та центру маси плоских областей. Цей розділ показав нам інше використання для ітераційних інтегралів за межами знаходження площі або підписаного об'єму під кривою. Хоча існує багато застосувань для ітераційних інтегралів, ми наведемо ще один додаток у наступному розділі: обчислювальна площа поверхні.
- 13.5: Площа поверхні
- Природним продовженням поняття «довжина дуги через інтервал» до поверхонь є «площа поверхні над областю».