12.E: Застосування функцій декількох змінних (вправи)

12.1: Вступ до багатоваріантних функцій

Терміни та поняття

1. Наведіть два приклади (крім наведених у тексті) функцій «реального світу», які вимагають більше одного введення.

2. Графік функції двох змінних є _______.

3. Більшість людей знайомі з поняттям кривих рівня в контексті ______ карт.

4. T/F: Уздовж кривої рівня вихід функції не змінюється.

5. Аналогом кривої рівня для функцій трьох змінних є рівень _______.

6. Що означає, коли криві рівня близькі один до одного? Далеко один від одного?

Проблеми

У Вправи 7-14 дайте область і діапазон багатоваріантної функції.

7. \(f(x,y) = x^2+y^2+2\)

8. \(f(x,y) = x+2y\)

9. \(f(x,y) = x-2y\)

10. \(f(x,y) = \frac{1}{x+2y}\)

11. \(f(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2+1}\)

12. \(f(x,y) = \sin x \cos y\)

13. \(f(x,y) = \sqrt{9-x^2-y^2}\)

14. \(f(x,y) = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2-9}}\)

У вправах 15-22 опишіть словами та намалюйте криві рівня для функції та заданих значень c.

15. \(f(x,y)=3x-2y; \, c=-2,0,2\)

16. \(f(x,y)=x^2-y^2; \, c=-1,0,1\)

17. \(f(x,y)=x-y^2; \, c=-2,0,2\)

18. \(f(x,y)=\frac{1-x^2-y^2}{2y-2x}; \, c=-2,0,2\)

19. \(f(x,y)=\frac{2x-2y}{x^2+y^2+1}; \, c=-1,0,1\)

20. \(f(x,y)=\frac{y-x^3-1}{x}; \, c=-3,-1,0,1,3\)

21. \(f(x,y)=\sqrt{x^2+4y^2}; \, c=1,2,3,4\)

22. \(f(x,y)= x^2+4y^2; \, c=1,2,3,4\)

У вправах 23-26 наведіть область і діапазон функцій трьох змінних.

23. \(f(x,y,z)=\frac{x}{x+2y-4z}\)

24. \(f(x,y,z)=\frac{1}{1-x^2-y^2-z^2}\)

25. \(f(x,y,z)=\sqrt{z-x^2+y^2}\)

26. \(f(x,y,z) = z^2 \sin x \cos y\)

У вправах 27-30 опишіть рівні поверхні заданих функцій трьох змінних.

27. \(f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2\)

28. \(f(x,y,z) = z-x^2+y^2\)

29. \(f(x,y,z) = \frac{x^2+y^2}{z}\)

30. \(f(x,y,z) = \frac{z}{x-y}\)

31. Порівняйте криві рівня Вправ 21 і 22. Чим вони схожі, і чим відрізняються? Кожна поверхня - це квадратна поверхня; опишіть, як криві рівня відповідають тому, що ми знаємо про кожну поверхню.

12.2: Межі та безперервність багатовимірних функцій

Терміни та поняття

1. Опишіть своїми словами різницю між межею і внутрішньою точкою множини.

2. Використовуйте власні слова, щоб описати (неофіційно), що\(\lim\limits_{(x,y)\to (1,2)}f(x,y)=17\) означає.

3. Наведіть приклад замкнутого обмеженого множини.

4. Наведіть приклад закритого, необмеженого множини.

5. Наведіть приклад відкритого обмеженого множини.

6. Наведіть приклад відкритого необмеженого множини.

Проблеми

У Вправах 7-10 дається набір S.
(а) Дайте одну граничну точку та одну внутрішню точку, коли це можливо, з S
(b) Стати, чи є S відкритою, закритою чи ні.
(c) Стан, чи є S обмеженим або необмеженим.

7. \(S=\left \{(x,y) \Big | \frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(y-3)^2}{9} \le 1 \right \}\)

8. \(S=\left \{(x,y) \Big | y \ne x^2 \right \}\)

9. \(S=\left \{(x,y) \Big | x^2+y^2=1 \right \}\)

10. \(S=\left \{(x,y) \Big | y >\sin x \right \}\)

У вправах 11-14:
(a) Знайдіть область D заданої функції.
(b) Стати, чи D є відкритим або закритим набором.
(c) Стан, чи D обмежений або необмежений.

11. \(f(x,y) =\sqrt{9-x^2-y^2}\)

12. \(f(x,y) =\sqrt{y-x^2}\)

13. \(f(x,y) =\frac{1}{\sqrt{y-x^2}}\)

14. \(f(x,y) =\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)

У вправах 15-20 дається межа. Оцініть межу вздовж заданих шляхів, а потім вкажіть, чому ці результати показують, що задана межа не існує.

15. \(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)
(а) Уздовж стежки\(y=0\).
(б) Уздовж стежки\(x=0\).

16. \(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x+y}{x-y}\)
(а) Уздовж стежки\(y=mx\).

17. \(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy-y^2}{y^2+x}\)
(а) Уздовж стежки\(y=mx\).
(б) Уздовж стежки\(x=0\).

18. \(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\sin (x^2)}{y}\)
(а) Уздовж стежки\(y=mx\).
(б) Уздовж стежки\(y=x^2\).

19. \(\lim\limits_{(x,y)\to (1,2)}\frac{x+y-3}{x^2-1}\)
(а) Уздовж стежки\(y=2\).
(б) Уздовж стежки\(y=x+1\).

20. \(\lim\limits_{(x,y)\to (\pi ,\pi/2)}\frac{\sin x}{\cos y}\)
(а) Уздовж стежки\(x=\pi\).
(б) Уздовж стежки\(y=x-\pi/2\).

12.3: Часткові похідні

Терміни та поняття

1. У чому різниця між константою і коефіцієнтом?

2. Дано функцію\(z=f(x,y)\), поясніть своїми словами, як обчислити\(f_x\).

3. У змішаному частковому дробі\(f_{xy}\), який обчислюється першим,\(f_x\) або\(f_y\)?

4. У змішаному частковому дробі\(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\), який обчислюється першим,\(f_x\) або\(f_y\).

Проблеми

У вправах 5-8 оцінюйте\(f_x(x,y)\) і\(f_y (x,y)\) в зазначеній точці.

5. \(f(x,y)=x^2y-x+2y+3 \text{ at }(1,2)\)

6. \(f(x,y)=x^3-3x+y^2-6y \text{ at }(-1,3)\)

7. \(f(x,y)=\sin y\cos x \text{ at }(\pi/3,\pi/3)\)

8. \(f(x,y)=\ln (xy) \text{ at }(-2,-3)\)

У вправах 9-26 знайдіть\(f_x,f_y,f_{xx},f_{yy},f_{xy}\text{ and }f_{yx}\).

9. \(f(x,y) =x^2y+3x^2+4y-5\)

10. \(f(x,y) =y^3+3xy^2+3x^2y+x^3\)

11. \(f(x,y) =\frac{x}{y}\)

12. \(f(x,y) =\frac{4}{xy}\)

13. \(f(x,y) =e^{x^2+y^2}\)

14. \(f(x,y) =e^{x+2y}\)

15. \(f(x,y) =\sin x \cos y\)

16. \(f(x,y) =(x+y)^3\)

17. \(f(x,y) =\cos (5xy^3)\)

18. \(f(x,y) = \sin (5x^2+2y^3)\)

19. \(f(x,y) = \sqrt{4xy^2+1}\)

20. \(f(x,y) = (2x+5y)\sqrt{y}\)

21. \(f(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2+1}\)

22. \(f(x,y) = 5x-17y\)

23. \(f(x,y) = 3x^2+1\)

24. \(f(x,y) =\ln (x^2+y)\)

25. \(f(x,y) = \frac{\ln x}{4y}\)

26. \(f(x,y) = 5e^x \sin y +9\)

У вправах 27-30 сформуйте\(z=f(x,y)\) таку функцію, що\(f_x\) і\(f_y\) збігаються з заданими.

27. \(f_x =\sin y+1,\quad f_y=x\cos y\)

28. \(f_x = x+y,\quad f_y=x+y\)

29. \(f_x = 6xy-4y^2,\quad f_y=3x^2-8xy+2\)

30. \(f_x = \frac{2x}{x^2+y^2},\quad f_y=\frac{2y}{x^2+y^2}\)

У вправах 31-34 знайти\(f_x, f_y, f_z, f_{yz}\) і\(f_{zy}\).

31. \(f(x,y,z)=x^2 e^{2y-3z}\)

32. \(f(x,y,z)=x^3y^2 +x^3z+y^2z\)

33. \(f(x,y,z)=\frac{3x}{7y^2z}\)

34. \(f(x,y,z)=\ln (xyz)\)

12.4: Диференційовність та загальний диференціал

Терміни та поняття

1. T/F: Якщо\(f(x,y)\) диференціюється на S, то\(f\) є безперервним на S.

2. T/F: Якщо\(f_x\) і\(f_y\) є безперервними на S, то\(f\) диференціюється на S.

3. T/F: Якщо\(z=f(x,y)\) диференційована, то зміна z над невеликими змінами\(dx\) і\(dy\) в х і у приблизно dz.

4. Закінчіть пропозицію: «Нове z -значення - це приблизно старе z -значення плюс приблизний ______».

Проблеми

У вправах 5-8 знайдіть сумарний диференціал dz.

5. \(z=x\sin y +x^2\)

6. \(z= (2x^2 +3y)^2\)

7. \(z=5x-7y\)

8. \(z=xe^{x+y}\)

У вправах 9-12\(z=f(x,y)\) дається функція. Дайте вказане наближення, використовуючи загальний диференціал.

9. \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y}\). \(f(2,95, 7.1)\)Приблизне знання\(f(3,7)=4\).

10. \(f(x,y)=\sin x \cos y\). \(f(0.1,-0.1)\)Приблизне знання\(f(0,0)=0\).

11. \(f(x,y)=x^2y-xy^2\). \(f(2.04,3.06)\)Приблизне знання\(f(2,3)=-6\).

12. \(f(x,y)=\ln (x-y)\). \(f(5.1, 3.98)\)Приблизне знання\(f(5,4)=0\).

Вправи 13-16 задають різноманітні питання, що стосуються апроксимації помилок та аналізу чутливості.

13. Циліндричний резервуар для зберігання повинен бути висотою 2 фути з радіусом 1ft. Чи є обсяг бака більш чутливим до змін радіуса або висоти?

14. Рух снаряда: X -значення об'єкта, що рухається за принципами руху снаряда є\(x(\theta ,v_o, t)=(v_o\cos \theta)t\). Випускається конкретний снаряд з початковою швидкістю\(v_o=250\) ft/s і кутом підйому\(\theta =60^\circ\). Він проходить відстань 375 футів за 3 секунди. Чи снаряд більш чутливий до помилок у початковій швидкості або куті висот?

15. Довжина\(l\) довгої стіни повинна бути наближена. Кут\(\theta\), як показано на схемі (не в масштабі), вимірюється як 85\(^\circ\), а відстань x вимірюється бути\(30'\). Припустимо, що утворився трикутник є прямокутним трикутником.

Чи є вимірювання довжини\(l\) більш чутливим до похибок вимірювання х або\(\ln \theta\).

16. Це «здоровий глузд», що набагато краще вимірювати велику відстань довгою вимірювальною стрічкою, а не короткою. Виміряну відстань D можна розглядати як\(l\) добуток довжини вимірювальної стрічки на кількість n разів вона використовувалася. наприклад, використання 3' стрічки 10 разів дає довжину\(30'\). Щоб виміряти однакову відстань\(12'\) стрічкою, ми б використовували стрічку 2,5 рази. (Тобто,\(30=12 \times 2.5\).) Таким чином\(D=nl\).

Припустимо, кожен раз, коли проводиться вимірювання стрічкою записаної відстані в межах\(1/16''\) фактичної відстані, (тобто\(dl=1/16'' \approx 0.005\) футів). Використовуючи диференціали, покажіть, чому здоровий глузд доводить правильність в тому, що для вимірювання великих відстаней краще використовувати довгу рулетку.

У Вправи 17-18 знайдіть сумарний диференціал\(dw\).

17. \(w=x^2yz^3\)

18. \(w=e^x\sin y \ln z\)

У вправах 19-22 використовуйте надану інформацію та загальний диференціал, щоб зробити задане наближення.

19. \(f(3,1)=7,\,f_x(3,1)=9,\,f_y(3,1)=-2.\)Орієнтовний\(f(3.05, 0.9)\).

20. \(f(-4,2)=13,\,f_x(-4,2)=2.6,\,f_y(-4,2)=5.1.\)Орієнтовний\(f(-4.12,2.07)\).

21. \(f(2,4,5)=-1,\,f_x(2,4,5)=2,\,f_y(2,4,5)=-3,\, f_z(2,4,5)=3.7\)Орієнтовний\(f(2.5, 4.1,4.8)\).

22. \(f(3,3,3)=5,\,f_x(3,3,3)=2,\,f_y(3,3,3)=0,\,f_z(3,3,3)=-2\)Орієнтовний\(f(3.1,3.1,3.1)\).

12.5: Правило багатоваріантного ланцюга

Терміни та поняття

1. Нехай крива рівня\(z=f(x,y)\) буде описана\(x=g(t), \, y=h(t)\). Поясніть чому\(\frac{dz}{dt}=0\).

2. Заповніть порожній: Правило ланцюга єдиної змінної зазначає\(\frac{d}{dx}\left ( f\left (g(x)\right )\right )=f' \left ( g(x)\right )\cdot \) _________.

3. Заповніть бланк: Правило багатоваріантного ланцюга говорить\(\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \) _________ + __________\(\cdot \frac{dy}{dt}\).

4. Якщо\(z=f(x,y)\), де\(x=g(t)\) і\(y=h(t)\), ми можемо підставити і записати z як явну функцію t
T/F: Використання правила багатоваріантного ланцюга знайти іноді\(\frac{dz}{dt}\) простіше, ніж спочатку підставити, а потім взяти похідну.

5. T/F: Правило багатоваріантного ланцюга корисно лише тоді, коли всі пов'язані функції відомі явно.

6. Правило багатоваріантного ланцюга дозволяє нам легко обчислити неявні похідні, просто обчисливши дві ______ похідні.

Проблеми

У вправах 7-12\(z=f(x,y),\,x=g(t)\)\(y=h(t)\) наведені функції і.
(a) Використовуйте правило багатовимірного ланцюга для обчислення\(\frac{dz}{dt}\).
(b) Оцінити\(\frac{dz}{dt}\) за вказаним t -значенням.

7. \(z=3x+4y,\quad x=t^2,\quad y=2t;\quad t=1\)

8. \(z=x^2-y^2,\quad x=t,\quad y=t^2-1;\quad t=1\)

9. \(z=5x+2y,\quad x=2\cos t +1,\quad y=\sin t-3;\quad t=\pi/4\)

10. \(z=\frac{x}{y^2+1},\quad x=\cos t,\quad y=\sin t;\quad t=\pi/2\)

11. \(z=x^2+2y^2,\quad x=\sin t,\quad y=3\sin t;\quad t=\pi/4\)

12. \(z=\cos x \sin y,\quad x=\pi t,\quad y=2\pi t +\pi/2;\quad t=3\)

У вправах 13-18\(z=f(x,y),\,x=g(t)\)\(y=h(t)\) наведені функції і. Знайти значення t де\(\frac{dz}{dt}=0\). Примітка: це ті самі поверхні/криві, що і у Вправи 7-12.

13. \(z=3x+4y,\quad x=t^2,\quad y=2t\)

14. \(z=x^2-y^2,\quad x=t,\quad y=t^2-1\)

15. \(z=5x+2y,\quad x=2\cos t +1,\quad y=\sin t-3\)

16. \(z=\frac{x}{y^2+1},\quad x=\cos t,\quad y=\sin t\)

17. \(z=x^2+2y^2,\quad x=\sin t,\quad y=3\sin t\)

18. \(z=\cos x \sin y,\quad x=\pi t,\quad y=2\pi t +\pi/2\)

У вправах 19-22\(z=f(x,y),x=g(s,t) \)\(y=h(s,t)\) наведені функції і.
(a) Використовуйте правило багатовимірного ланцюга для обчислення\(\frac{\partial z}{\partial s}\) та\(\ frac {\ partial z} {\ partial t}\).
(b) Оцінити\(\frac{\partial z}{\partial s}\) і\(\frac{\partial z}{\partial t}\) при зазначених s і t значеннях.

19. \(z=x^2y,\quad x=s-t,\quad y=2s+4t;\quad s=1,t=0\)

20. \(z=\cos \left (\pi x +\frac{\pi}{2}y\right ),\quad x=st^2,\quad y=s^2 t;\quad s=1,t=1\)

21. \(z=x^2+y^2,\quad x=s\cos t,\quad y=s\sin t;\quad s=2,t=\pi/4\)

22. \(z=e^{-(x^2+y^2)},\quad x=t,\quad y=st^2;\quad s=1,t=1\)

У вправах 23-26 знайти\(\frac{dy}{dx}\) за допомогою неявної диференціації та теореми 109.

23. \(x^2\tan y=50\)

24. \((3x^2+2y^3)^4=2\)

25. \(\frac{x^2+y}{x+y^2}=17\)

26. \(\ln (x^2+xy +y^2)=1\)

У вправах 27-30 знайдіть\(\frac{dz}{dt}\), або\(\frac{\partial z}{\partial s}\) і\(\frac{\partial z}{\partial t}\), використовуючи надану інформацію.

27. \(\frac{\partial z}{\partial x}=2,\quad \frac{\partial z}{\partial y}=1,\quad \frac{dx}{dt}=4,\quad \frac{dy}{dt}=-5\)

28. \(\frac{\partial z}{\partial x}=1,\quad \frac{\partial z}{\partial y}=-3,\quad \frac{dx}{dt}=6,\quad \frac{dy}{dt}=2\)

29. \(\frac{\partial z}{\partial x}=-4,\quad \frac{\partial z}{\partial y}=9,\quad \frac{\partial x}{\partial s}=5,\quad \frac{\partial x}{\partial t}=7, \quad \frac{\partial y}{\partial s}=-2,\quad \frac{\partial y}{\partial t}=6\)

30. \(\frac{\partial z}{\partial x}=2,\quad \frac{\partial z}{\partial y}=1,\quad \frac{\partial x}{\partial s}=-2,\quad \frac{\partial x}{\partial t}=3, \quad \frac{\partial y}{\partial s}=2,\quad \frac{\partial y}{\partial t}=-1\)

12.6: Спрямовані похідні

Терміни та поняття

1. У чому різниця між спрямованою похідною і частковою похідною?

2. Для\(\vec{u}\) чого\(D_{\vec{u}}f=f_x\)?

3. Для\(\vec{u}\) чого\(D_{\vec{u}}f=f_y\)?

4. Градієнт - _______ до кривих рівня.

5. Точки градієнта в напрямку _______ збільшуються.

6. Як правило, більш інформативно розглядати спрямовану похідну не як результат обмеження, а скоріше як результат ________ продукту.

Проблеми

У вправах 7-12\(z=f(x,y)\) дається функція. Знайти\(\nabla f\).

7. \(f(x,y)=-x^2y+xy^2+xy\)

8. \(f(x,y)=\sin x \cos y\)

9. \(f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2+1}\)

10. \(f(x,y)=-4x+3y\)

11. \(f(x,y)=x^2+2y^3-xy-7x\)

12. \(f(x,y)=x^2y^3-2x\)

У вправах 13-18 дається функція\(z=f(x,y)\) і точка Р. Знайти спрямовану похідну f в зазначених напрямках. Примітка: це ті ж функції, що і в Вправи 7-12.

13. \(f(x,y)=-x^2y+xy^2+xy,\,P=(2,1)\)
(а) У напрямку\(\vec{v} =\langle 3,4 \rangle \)
(b) У напрямку до точки\(Q=(-1,1)\)

14. \(f(x,y)=\sin x \cos y,\,P=(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3})\)
(а) У напрямку\(\vec{v} =\langle 1,1 \rangle \)
(b) У напрямку до точки\(Q=(0,0)\)

15. \(f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2+1},\,P=(1,1)\)
(а) У напрямку\(\vec{v} =\langle 1,-1 \rangle \)
(b) У напрямку до точки\(Q=(-2,-2)\)

16. \(f(x,y)=-4x+3y,\,P=(5,2)\)
(а) У напрямку\(\vec{v} =\langle 3,1 \rangle \)
(b) У напрямку до точки\(Q=(2,7)\)

17. \(f(x,y)=x^2+2y^2-xy-7x,\,P=(4,1)\)
(а) У напрямку\(\vec{v} =\langle -2,5 \rangle \)
(b) У напрямку до точки\(Q=(4,0)\)

18. \(f(x,y)=x^2y^3-2x,\,P=(1,1)\)
(а) У напрямку\(\vec{v} =\langle 3,3 \rangle \)
(b) У напрямку до точки\(Q=(1,2)\)

У вправах 19-24 задано функцію\(z=f(x,y)\) і точку Р.
(а) Знайти напрямок максимального збільшення\(f\) ат\(P\).
(б) Яке максимальне значення\(D_\vec{u}f\) at\(P\)?
(c) Знайти напрямок мінімального збільшення\(f\) ат\(P\).
(г) Дайте\(\vec{u}\) такий напрямок, що\(D_\vec{u}f=0\) в\(P\).
Примітка: це ті ж функції та точки, що і у вправах з 13 по 18.

19. \(f(x,y)=-x^2y+xy^2+xy,\,P=(2,1)\)

20. \(f(x,y)=\sin x \cos y,\,P=(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3})\)

21. \(f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2+1},\,P=(1,1)\)

22. \(f(x,y)=-4x+3y,\,P=(5,4)\)

23. \(f(x,y)=x^2+2y^2-xy-7x,\,P=(4,1)\)

24. \(f(x,y)=x^2y^3-2x,\,P=(1,1)\)

У вправах 25-28 задано функцію\(w=F(x,y,z)\) , вектор\(\vec{v}\) і точку Р.
(а) Знайти\(\nabla F(x,y,z)\).
(б) Знайти\(D_\vec{u}F\) на P.

25. \(f(x,y)=3x^2z^3+4xy-3z^2,\,\vec{v}=\langle 1,1,1 \rangle,\, P=(3,2,1)\)

26. \(f(x,y)=\sin (x) \cos (y)e^z,\,\vec{v}=\langle 2,2,1 \rangle,\, P=(0,0,0)\)

27. \(f(x,y)=x^2y^2-y^2z^2,\,\vec{v}=\langle -1,7,3 \rangle,\, P=(1,0,-1)\)

28. \(f(x,y)=\frac{2}{x^2+y^2+z^2},\,\vec{v}=\langle 1,1,-2 \rangle,\, P=(1,1,1)\)

12.7: дотичні лінії, нормальні лінії та дотичні площини

Терміни та поняття

1. Поясніть, як вектор\(\vec{v}=\langle 1,0,3\rangle \) можна вважати «нахилом» 3.

2. Поясніть, як вектор\(\vec{v}=\langle 0.6,0.8,-2 \rangle\) можна вважати «нахилом» -2.

3. T/F: Дозвольте\(z=f(x,y)\) диференціюватися при P. Якщо вектор\(\vec{n}\) нормалі до дотичної площини\(f\) at\(P\),\(\vec{n}\) то ортогональний\(f_x\) і\(f_y\) при P.

4. Поясніть своїми словами, чому ми не посилаємося на дотичну лінію до поверхні в точці, а на спрямовані дотичні лінії до поверхні в точці.

Проблеми

У вправах 5-8 задано функцію\(z=f(x,y)\) , вектор\(\vec{v}\) і точку Р. Дайте параметричні рівняння наступних спрямованих дотичних ліній до\(f\) at\(P\):
(a)\(l_x (t)\)
(b)\(l_y (t)\)
(c)\(l_\vec{u}\), де \(\vec{u}\)є одиничним вектором у напрямку\(\vec{v}\).

5. \(f(x,y)=2x^y-4xy^2,\,\vec{v}=\langle 1,3 \rangle,\,P=(2,3)\).

6. \(f(x,y)=3\cos x\sin y ,\,\vec{v}=\langle 1,2 \rangle,\,P=(\pi/3,\pi/6)\).

7. \(f(x,y)=3x-5y,\,\vec{v}=\langle 1,1 \rangle,\,P=(4,2)\).

8. \(f(x,y)=x^2-2x-y^2+4y,\,\vec{v}=\langle 1,1 \rangle,\,P=(1,2)\).

У вправах 9-12 дається функція\(z=f(x,y)\) і точка Р. Знайти рівняння нормальної прямої\(f\) at\(P\). Примітка: це ті ж функції, що і в Вправи 5-8.

9. \(f(x,y)=2x^y-4xy^2,\,\vec{v}=\langle 1,3 \rangle,\,P=(2,3)\).

10. \(f(x,y)=3\cos x\sin y ,\,\vec{v}=\langle 1,2 \rangle,\,P=(\pi/3,\pi/6)\).

11. \(f(x,y)=3x-5y,\,\vec{v}=\langle 1,1 \rangle,\,P=(4,2)\).

12. \(f(x,y)=x^2-2x-y^2+4y,\,\vec{v}=\langle 1,1 \rangle,\,P=(1,2)\).

У вправах 13-16 дається функція\(z=f(x,y)\) і точка Р. Знайдіть дві точки, які знаходяться в 2 одиницях від поверхні\(f\) в\(P\). Примітка: це ті ж функції, що і в Вправи 5-8.

13. \(f(x,y)=2x^y-4xy^2,\,\vec{v}=\langle 1,3 \rangle,\,P=(2,3)\).

14. \(f(x,y)=3\cos x\sin y ,\,\vec{v}=\langle 1,2 \rangle,\,P=(\pi/3,\pi/6)\).

15. \(f(x,y)=3x-5y,\,\vec{v}=\langle 1,1 \rangle,\,P=(4,2)\).

16. \(f(x,y)=x^2-2x-y^2+4y,\,\vec{v}=\langle 1,1 \rangle,\,P=(1,2)\).

У вправах 17-20 дається функція\(z=f(x,y)\)\(P\) і точка. Знайти рівняння дотичної площини до\(f\) at\(P\). Примітка: це ті ж функції, що і в Вправи 5-8.

17. \(f(x,y)=2x^y-4xy^2,\,\vec{v}=\langle 1,3 \rangle,\,P=(2,3)\).

18. \(f(x,y)=3\cos x\sin y ,\,\vec{v}=\langle 1,2 \rangle,\,P=(\pi/3,\pi/6)\).

19. \(f(x,y)=3x-5y,\,\vec{v}=\langle 1,1 \rangle,\,P=(4,2)\).

20. \(f(x,y)=x^2-2x-y^2+4y,\,\vec{v}=\langle 1,1 \rangle,\,P=(1,2)\).

У вправах 21-24 неявно визначена функція\(x,\,y\) і\(z\) дається разом з точкою\(P\), яка лежить на поверхні. Використовуйте градієнт,\(\nabla F\) щоб:
(а) знайти рівняння нормальної лінії до поверхні на P, і
(b) знайти рівняння площини, дотичної до поверхні при P.

21. \(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16}=1,\text{ at }P =(1,\sqrt{2},\sqrt{6})\)

22. \(z^2-\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=0,\text{ at }P =(4,-3,\sqrt{5})\)

23. \(xy^2-xz^2=0,\text{ at }P=(2,1,-1)\)

24. \(\sin (xy) +\cos )yz) =0,\text{ at }P=(2,\pi/12,4)\)

12.8: Екстремальні значення

Терміни та поняття

1. T/F: Теорема 114 стверджує, що якщо\(f\) має критичну точку в\(P\), то\(f\) має відносну крайність при\(P\).

2. T/F: Точка\(P\) є критичною точкою\(f\) if\(f_x\) і\(f_y\) обидва 0 at\(P\).

3. T/F: Точка\(P\) є критичною точкою,\(f\) якщо\(f_x\) або\(f_y\) не визначена в\(P\).

4. Поясніть, що означає «вирішити проблему обмеженої оптимізації».

Проблеми

Вправи 5-14, знайти критичні точки заданої функції. Використовуйте тест другої похідної, щоб визначити, чи відповідає кожна критична точка відносному максимуму, мінімуму або точці сідла.

5. \(f(x,y)=\frac{1}{2}x^2+2y^2-8y+4x\)

6. \(f(x,y)=x^2+4x+y^2-9y+3xy\)

7. \(f(x,y)= x^2+3y^2-6y+4xy\)

8. \(f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2+1}\)

9. \(f(x,y)=x^2+y^3-3y+1\)

10. \(f(x,y)=\frac{1}{3}x^3-x+\frac{1}{3}y^3-4y\)

11. \(f(x,y)=x^2y^2\)

12. \(f(x,y)=x^4-2x^2+y^3-27y-15\)

13. \(f(x,y)=\sqrt{16-(x-3)^2-y^2}\)

14. \(f(x,y)= \sqrt{x^2+y^2}\)

У вправах 15-18 знайти абсолютний максимум і мінімум функції, що підпадають під задане обмеження.

15. \(f(x,y)=x^2+y^2+y=1\), обмежені до трикутників з вершинами\(0,1),(-1,1),\text{ and }(1,-1)\).

16. \(f(x,y)=5x-7y\), обмежений регіоном\(y=x^2 \text{ and }y=1\).

17. \(f(x,y)=x^2+2x+y^2+2y\), обмежена областю, обмеженою колом\(x^2+y^2=4\).

18. \(f(x,y)=3y-2x^2\), обмежена областю, обмеженою параболою\(y=x^2+x-1\) і лінією\(y=x\).