Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

13.E: Застосування багаторазової інтеграції (вправи)

13.1: Ітераційні інтеграли та площа

Терміни та поняття

1. fx(x,y)При інтеграції стосовно x константа інтеграції C дійсно є якою:C(x) or C(y)? Що це означає?

2. Інтегрування інтеграла називається _________ __________.

3. При оцінці ітераційного інтеграла інтегруємо від _______ до ________, потім від _________ до __________.

4. Одне розуміння ітераційного інтеграла полягає в тому, щоbag2(x)g1(x)dydx дає _______ плоської області.

Проблеми

У вправах 5-10 оцініть інтеграл і наступний ітераційний інтеграл.

5.
(а)52(6x2+4xy3y2)dy
(б)2352(6x2+4xy3y2)dydx

6.
(а)π0(2xcosy+sinx)dx
(б)π/20π0(2xcosy+sinx)dxdy

7.
(а)x1(x2yy+2)dy
(б)20x1(x2yy+2)dydx

8.
(а)y2y(xy)dx
(б)11y2y(xy)dxdy

9.
(а)y0(cosxsiny)dx
(б)π0y0(cosxsiny)dxdy

10.
(а)x0(11+x2)dy
(б)21x0(11+x2)dydx

У вправах 11-16 наведено графікR планарної області. Дайте ітераційні інтеграли, з обома порядками інтеграціїdydx іdxdy, які дають площуR. Оцінити один з ітераційних інтегралів, щоб знайти площу.

11.
13111.PNG

12.
13112.PNG

13.
13113.PNG

14.
13114.PNG

15.
13115.PNG

16.
13116.PNG

У вправах 17-22 задано ітераційні інтеграли, які обчислюють площу області R вxy -площині. Намалюйте область R і дайте ітераційний інтеграл (и), які дають площу R з протилежним порядком інтеграції.

17. 224x20dydx

18. 1055x255xdydx

19. 2224y20dxdy

20. 339x29x2dydx

21. 10yydxdy+41yy2dxdy

22. 11(1x)/2(x1)/2dydx

13.2: Подвійна інтеграція та обсяг

Терміни та поняття

1. Інтеграл можна інтерпретувати як надання підписаної області через інтервал; подвійний інтеграл можна інтерпретувати як надання підписаного ________ над областю.

2. Поясніть, чому таке твердження є помилковим: «Теорема Фубіні стверджує, що»bag2(x)g1(x)f(x,y)dydx=bag2(y)g1(y)f(x,y)dxdy.

3. Поясніть, чому якщоf(x,y)>0 над регіоном R, тоRf(x,y)dA>0.

4. ЯкщоRf(x,y)dA=Rg(x,y)dA, це означаєf(x,y)=g(x,y)?

Проблеми

У вправах 5-10,
(а) Оцініть заданий ітераційний інтеграл і
(б) перепишіть інтеграл, використовуючи інший порядок інтегралу.

5. 2111(xy+3)dxdy

6. π/2π/2π0(sinxcosy\, ди\, дх\)

7. 40x/2+20(3x2y+2)dydx

8. 313y(x2yxy2)dxdy

9. 2011y1y(x+y+2)dxdy

10. 903y/3(xy2)dxdy

У вправах 11-18:
(a) Намалюйте область R, задану задачею.
(b) Встановіть ітераційні інтеграли в обох порядках, які оцінюють заданий подвійний інтеграл для описаної області R.
(c) Оцінити один з ітераційних інтегралів, щоб знайти підписаний об'єм під поверхнею
z=f(x,y) над областю R.

11. Rx2ydA, де R обмеженаy=x and y=x2.

12. Rx2ydA, де R обмеженаy=3x and y=x3.

13. Rx2y2dA, де R - прямокутник з кутами(1,1),(1,1),(1,1) and (1,1).

14. RyexdA, де R обмеженаx=0,x=y2 and y=1.

15. R(63x2y)dA, де R обмеженаx=0,y=0 and 3x+2y=6.

16. ReydA, де R обмеженаy=lnx and y=1e1(x1).

17. R(x3yx)dA, де R - половина колаx2+y2=9 в першому і другому квадрантах.

18. R(4sy)dA, де R обмеженаy=0,y=x/e and y=lnx.

У Вправах 19-22 вкажіть, чому важко/неможливо інтегрувати ітераційний інтеграл у заданому порядку інтеграції. Змініть порядок інтеграції та оцініть новий ітераційний інтеграл.

19. 402y/2ex2dxdy

20. π/20π/2xcos(y2)dydx

21. 101y2yx2+y2dxdy

22. 1121xtan2y1+lnydydx

У вправах 23-26 знайти середнє значення f над областю R. Зверніть увагу, як ці функції та області пов'язані з ітераційними інтегралами, зазначеними у Вправи 5-8.

23. f(x,y)=xy+3; R - прямокутник з протилежними кутами(1,1) and (1,2).

24. f(x,y)=sinxcosy; R обмежуєтьсяx=0,x=π,y=π/2 and y=π/2.

25. f(x,y)=3x2y+2; R обмежується лініямиy=0,y=2x/2 and x=0.

26. f(x,y)=x2yxy2; R обмежуєтьсяy=x,y=1 and x=3.

13.3: Подвійна інтеграція з полярними координатами

Терміни та поняття

1. При оцінці зRf(x,y)dA використанням полярних координат,f(x,y) замінюється на _______ іdA замінюється на _______.

2. Чому б хтось був зацікавлений в оцінці подвійного інтеграла з полярними координатами?

Проблеми

У вправах 3-10f(x,y) задана функція і описана область R площини xy. Налаштуйте та оцінюйтеRf(x,y)dA.

3. f(x,y)=3xy+4; R - область, обведена коломx2+y2=1.

4. f(x,y)=4x+4y; R - область, обведена коломx2+y2=4.

5. f(x,y)=8y; R - область, укладена колами з полярними рівняннямиr=cosθ and r=3cosθ.

6. f(x,y)=4; R - область, укладена пелюсткою кривої трояндиr=sin(2θ) в першому квадранті.

7. f(x,y)=ln(x2+y2); R - кільцеве кільце, укладене колами\ (x^2+y^2=1\ text {і} x^2+y^2=4.

8. f(x,y)=1x2y2; R - область, обведена коломx2+y2=1.

9. f(x,y)=x2y2; R - область, укладена коломx2+y2=36 в першому і четвертому квадрантах.

10. f(x,y)=(xy)/(x+y); R - область, укладена лініямиy=x,y=0 та коломx2+y2=1 у першому квадранті.

У Вправах 11-14 задано ітераційний інтеграл у прямокутних координатах. Перепишіть інтеграл за допомогою полярних координат і оцініть новий подвійний інтеграл.

11. 5025x225x2x2+y2dydx

12. 44016y2(2yx)dxdy

13. 208y2y(x+y)dxdy

14. 124x20(x+5)dydx+114x21x2(x+5)dydx+214x20(x+5)dydx

У вправах 15-16 представлені спеціальні подвійні інтеграли, які особливо добре підходять для оцінки в полярних координатах.

15. РозглянемоRe(x2+y2)dA.
(а) Чому цей інтеграл важко оцінити в прямокутних координатах, незалежно від області R?
(b) Нехай R - область, обмежена колом радіуса a з центром у початковій точці. Оцінити подвійний інтеграл за допомогою полярних координат.
(c) Візьміть межу вашої відповіді з (b), якa. Що це означає про обсяг під поверхнеюe(x2+y2) по всій площині xy?

16. Поверхня правого кругового конуса висотою h і радіусом основи a може бути описана рівняннямf(x,y)=hhx2a2+y2a2, де кінчик конуса лежить в,(0,0,h) а кругова основа лежить в площині x-y, зосередженої на початку.
Переконайтеся, що об'єм правого кругового конуса з висотою h і радіусом основи a є,V=13πa2h оцінюючиRf(x,y)dA в полярних координатах.

13.4: Центр мас

Терміни та поняття

1. Чому легко використовувати «масу» і «вагу» взаємозамінно, хоча це різні заходи?

2. З огляду на точку(x,y), значення x є мірою відстані від _________-осі.

3. Ми можемо думати про значенняRdm «підсумувати багато ________».

4. Що таке «дискретна планарна система?»

5. ЧомуMx використовуєтьсяRyδ(x,y)dA замістьRxδ(x,y)dA; тобто чому ми використовуємо «y», а не «x»?

6. Опишіть ситуацію, коли центр маси пластинки не лежить в межах області самої пластинки.

Проблеми

У вправах 7-10 точкові маси задаються вздовж лінії або в площині. Знайти центр маси¯x або(¯x,¯y), в міру необхідності. (Всі маси вказані в грамах, а відстані - в см.)

7. m1=4 at x=1;m2=3 at x=3;m3=5 at x=10

8. m1=2 at x=3;m2=2 at x=1;m3=3 at x=0;m4=3 at x=7

9. m1=2 at (2,2);m2=2 at (2,2);m3=20 at (0,4)

10. m1=1 at (1,1);m2=2 at (1,1);m3=2 at (1,1);m4=1 at (1,1)

У вправах 11-18 знайдіть масу/вагу пластинки, описану областю R в площині, і її функцією щільностіδ(x,y).

11. R - прямокутник з кутами(1,3),(1,2),(7,2) and (7,3);δ(x,y)=5 г/см2

12. R - прямокутник з кутами(1,3),(1,2),(7,2) and (7,3);δ(x,y)=(x+y2) г/см2

13. R - трикутник з кутами(1,0),(1,0), and (0,1);δ(x,y)=2 lb/in2

14. R - трикутник з кутами(0,0),(1,0), and (0,1);δ(x,y)=(x2+y2+1) lb/in2

15. R - окружність, центрована на початку координат з радіусом 2;δ(x,y)=(x+y+4) кг/м2

16. R - сектор кола, обмеженийx2+y2=25 в першому квадранті;δ(x,y)=(x2+y2+1) кг/м2

17. R - кільцеве кільце в першому та другому квадрантах, обмеженеx2+y2=9 and x2+y2=36;δ(x,y)=4 фунт/фут2

18. R - кільцеве кільце в першому та другому квадрантах, обмеженеx2+y2=9 and x+y2=36;δ(x,y)=x2+y2 фунт/фут2

У вправах 19-26 знайти центр маси пластинки, описаний областю R в площині і її функцією щільностіδ(x,y).

Примітка: це ті ж пластинки, що і в Вправи 11-18.

19. R - прямокутник з кутами(1,3),(1,2),(7,2) and (7,3);δ(x,y)=5 г/см2

20. R - прямокутник з кутами(1,3),(1,2),(7,2) and (7,3);δ(x,y)=(x+y2) г/см2

21. R - трикутник з кутами(1,0),(1,0), and (0,1);δ(x,y)=2 lb/in2

22. R - трикутник з кутами(0,0),(1,0), and (0,1);δ(x,y)=(x2+y2+1) lb/in2

23. R - окружність, центрована на початку координат з радіусом 2;δ(x,y)=(x+y+4) кг/м2

24. R - сектор кола, обмеженийx2+y2=25 в першому квадранті;δ(x,y)=(x2+y2+1) кг/м2

25. R - кільцеве кільце в першому та другому квадрантах, обмеженеx2+y2=9 and x2+y2=36;δ(x,y)=4 фунт/фут2

26. R - кільцеве кільце в першому та другому квадрантах, обмеженеx2+y2=9 and x+y2=36;δ(x,y)=x2+y2 фунт/фут2

Момент інерціїi - це міра тенденції пластинки чинити опір обертанню навколо осі або продовжувати обертатися навколо осі. ix- момент інерції навколо осі х,ix є моментом інерції навколо осі х, іio є моментом інерції про походження.Вони обчислюються наступним чином:

  • ix=Ry2dm
  • iy=Rx2dm
  • io=R(x2+y2)dm

У вправах 27-30 дається пластинка, відповідна площинної області R з масою 16 одиниць. Для кожного обчислюйтеix,iy іio.

27. R - квадрат 4 х 4 з кутами(2,2) and (2,2) з щільністюδ(x,y)=1.

28. R - прямокутник 8 х 2 з кутами(4,1) and (4,1) з щільністюδ(x,y)=1.

29. R - прямокутник 4 х 2 з кутами(2,1) and (2,1) з щільністюδ(x,y)=2.

30. R - коло з радіусом 2, центрованим у початку координат з щільністюδ(x,y)=4/π.

13.5: Площа поверхні

Терміни та поняття

1. «Площа поверхні» є аналогом того, що раніше вивчалося поняття?

2. Щоб наблизити площу невеликої ділянки поверхні, ми обчислили площу її ______ площини.

3. Ми трактуємоRdS як «підсумовуємо багато маленьких _______ ________».

4. Чому важливо знати, як налаштувати подвійний інтеграл для обчислення площі поверхні, навіть якщо отриманий інтеграл важко оцінити?

5. Чомуz=f(x,y) іz=g(x,y)=f(x,y)+h, для деякого дійсного числа h, мають однакову площу поверхні над областю R?

6. Нехайz=f(x,y) іz=g(x,y)=2f(x,y). Чому площа поверхні g над областю R не в два рази перевищує площу поверхніf понадR?

Проблеми

У вправах 7-10 встановіть ітераційний інтеграл, який обчислює площу поверхонь даної поверхні над областю R.

7. f(x,y)=sinxcosy;Rце прямокутник з кордонами0x2π,0y2π.
13507.PNG

8. f(x,y)=1x2+y2+1;Rце колоx2+y2=9.
13508.PNG

9. f(x,y)=x2y2;Rце прямокутник з протилежними кутами(1,1) і1,1).
13509.PNG

10. f(x,y)=1ex2+1;Rпрямокутник, обмежений5x5 і0y1.
13510.PNG

У вправах 11-19 знайдіть площу даної поверхні над областю R.

11. f(x,y)=3x7y+2;Rце прямокутник з протилежними кутами(1,0) and (1,3).

12. f(x,y)=2x+2y+2;Rтрикутник з кутами(0,0),(1,0) and (0,1).

13. f(x,y)=x2+y2+10;Rце колоx2+y2=16.

14. f(x,y)=2x+4y2+7 over R, трикутник обмеженийy=x,y=x,0y1.

15. f(x,y)=x2+yнад R трикутник обмеженийy=2x,y=0 and x=2.

16. f(x,y)=23x3/2над R, прямокутник з протилежними кутами(0,0) and (1,1).

17. f(x,y)=102x2+y2над R, колоx2+y2=25. (Це конус з висотою 10 і радіусом основи 5; обов'язково порівняйте ваш результат з відомою формулою.)

18. Знайти площу поверхні сфери з радіусом 5 шляхом подвоєння площі поверхніf(x,y)=25x2y2 над R, окружністюx2+y2=25. (Обов'язково порівняйте свій результат з відомою формулою.)

19. Знайдіть площу поверхні еліпса, утвореного обмеженням площиниf(x,y)=cx+dy+h областю R, окружністюx2+y2=1, де c, d і h - деякі константи. Ваша відповідь повинна бути дана в терміні c і d; чому значення h не має значення?

13.6: Обсяг між поверхнями та потрійна інтеграція

Терміни та поняття

1. Стратегія встановлення меж для потрійних інтегралів - «________ до ________, _________ і __________ до _______».

2. Дайте неофіційне тлумачення того, що"DdV «означає».

3. Дайте два варіанти використання потрійної інтеграції.

4. Якщо предмет має постійну щільністьδ і об'єм V, яка його маса?

Проблеми

У вправах 5-8 наведено дві поверхніf1(x,y)f2(x,y) і областьR вxy -площині. Налаштуйте та оцініть потрійний інтеграл, який представляє об'єм між цими поверхнямиR.

5. f1(x,y)=8x2y2,f2(x,y)=2x+y;
Rце квадрат з кутами(1,1) and (1,1).

6. f1(x,y)=x2+y2,f2(x,y)=x2y2;
Rце квадрат з кутами(0,0) and (2,3).

7. f1(x,y)=sinxcosy,f2(x,y)=cosxsiny+2;
Rтрикутник з кутами(0,0),(π,0) and (π,π).

8. f1(x,y)=2x2+2y2+3,f2(x,y)=6x2y2;
Rце колоx2+y2=1.

У вправах 9-16 область D описується її обмежуючими поверхнями разом з графіком. Налаштуйте потрійні інтеграли, які дають обсяг D у всіх 6 порядках інтеграції, і знайдіть об'єм D, оцінивши вказаний потрійний інтеграл.

9. D обмежується координатними площинами іz=22x/32y.
Оцініть потрійний інтеграл з порядком dz dy dx.
13609.PNG

10. D обмежується площинамиy=0,y=2,x=1,z=0 and z=(2x)/2.
Оцінити потрійний інтеграл з порядком dx dy dz.
13610.PNG

11. D обмежується площинамиx=0,x=2,z=y and by z=y2/2.
Оцініть потрійний інтеграл з порядком dy dz dx.
13611.PNG

12. D обмежується площинамиz=0,y=9,x=0 and by z=y29x2.
Не оцінюйте жодного потрійного інтеграла.
13612.PNG

13. D обмежується площинамиx=2,y=1,z=0 and z=2x+4y4.
Оцінити потрійний інтеграл з порядком dx dy dz.
13613.PNG

14. D обмежується площиноюz=2y and by y=4x2.
Оцініть потрійний інтеграл з порядком dz dy dx.
13614.PNG

15. D обмежується координатними площинами іy=1x2 and y=1z2.
Не оцінюйте жодного потрійного інтеграла. В якому порядку легше оцінити: dz dy dx або dy dz dx? Поясніть чому.
13615.PNG

16. D обмежується координатними площинами і поz=1y/3 and z=1x.
Оцінити потрійний інтеграл з порядком dx dy dz.
13616.PNG

У вправах 17-20 оцініть потрійний інтеграл.

17. π/2π/2π0π0(cosxsinysinz)dzdydx

18. 10x0x+y0(x+y+z)dzdydx

19. π010z0(sin(yz))dxdydz

20. π2πx3xy2y2(cosxsinysinz)dzdydx

У вправах 21-24 знайти центр маси твердого тіла, представленого вказаною просторовою областю D з функцією щільностіδ(x,y,z).

21. D обмежується координатними площинами іz=22x/32y;δ(x,y,z)=10 г/см3.
(Примітка: це той самий регіон, який використовується у вправі 9.)

22. D обмежується площинамиy=0,y=2,x=1,z=0 and z=(3x)/2;δ(x,y,z)=2 г/см3.
(Примітка: це той самий регіон, який використовується у вправі 10.)

23. D обмежується площинамиx=2,y=1,z=0 and z=2x+4y4;δ(x,y,z)=x2 фунт/дюйм3.
(Примітка: це той самий регіон, який використовується у вправі 13.)

24. D обмежується площинамиz=2y and by y=4x2. δ(x,y,z)=y2фунт/дюйм3.
(Примітка: це той самий регіон, який використовується у вправі 14.)