13.E: Застосування багаторазової інтеграції (вправи)
13.1: Ітераційні інтеграли та площа
Терміни та поняття
1. fx(x,y)При інтеграції стосовно x константа інтеграції C дійсно є якою:C(x) or C(y)? Що це означає?
2. Інтегрування інтеграла називається _________ __________.
3. При оцінці ітераційного інтеграла інтегруємо від _______ до ________, потім від _________ до __________.
4. Одне розуміння ітераційного інтеграла полягає в тому, що∫ba∫g2(x)g1(x)dydx дає _______ плоської області.
Проблеми
У вправах 5-10 оцініть інтеграл і наступний ітераційний інтеграл.
5.
(а)∫52(6x2+4xy−3y2)dy
(б)∫2−3∫52(6x2+4xy−3y2)dydx
6.
(а)∫π0(2xcosy+sinx)dx
(б)∫π/20∫π0(2xcosy+sinx)dxdy
7.
(а)∫x1(x2y−y+2)dy
(б)∫20∫x1(x2y−y+2)dydx
8.
(а)∫y2y(x−y)dx
(б)∫1−1∫y2y(x−y)dxdy
9.
(а)∫y0(cosxsiny)dx
(б)∫π0∫y0(cosxsiny)dxdy
10.
(а)∫x0(11+x2)dy
(б)∫21∫x0(11+x2)dydx
У вправах 11-16 наведено графікR планарної області. Дайте ітераційні інтеграли, з обома порядками інтеграціїdydx іdxdy, які дають площуR. Оцінити один з ітераційних інтегралів, щоб знайти площу.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
У вправах 17-22 задано ітераційні інтеграли, які обчислюють площу області R вxy -площині. Намалюйте область R і дайте ітераційний інтеграл (и), які дають площу R з протилежним порядком інтеграції.
17. ∫2−2∫4−x20dydx
18. ∫10∫5−5x25−5xdydx
19. ∫2−2∫2√4−y20dxdy
20. ∫3−3∫√9−x2−√9−x2dydx
21. ∫10∫√y−√ydxdy+∫41∫√yy−2dxdy
22. ∫1−1∫(1−x)/2(x−1)/2dydx
13.2: Подвійна інтеграція та обсяг
Терміни та поняття
1. Інтеграл можна інтерпретувати як надання підписаної області через інтервал; подвійний інтеграл можна інтерпретувати як надання підписаного ________ над областю.
2. Поясніть, чому таке твердження є помилковим: «Теорема Фубіні стверджує, що»∫ba∫g2(x)g1(x)f(x,y)dydx=∫ba∫g2(y)g1(y)f(x,y)dxdy.
3. Поясніть, чому якщоf(x,y)>0 над регіоном R, то∫∫Rf(x,y)dA>0.
4. Якщо∫∫Rf(x,y)dA=∫∫Rg(x,y)dA, це означаєf(x,y)=g(x,y)?
Проблеми
У вправах 5-10,
(а) Оцініть заданий ітераційний інтеграл і
(б) перепишіть інтеграл, використовуючи інший порядок інтегралу.
5. ∫21∫1−1(xy+3)dxdy
6. ∫π/2−π/2∫π0(sinxcosy\, ди\, дх\)
7. ∫40∫−x/2+20(3x2−y+2)dydx
8. ∫31∫3y(x2y−xy2)dxdy
9. ∫201∫√1−y−√1−y(x+y+2)dxdy
10. ∫90∫√3y/3(xy2)dxdy
У вправах 11-18:
(a) Намалюйте область R, задану задачею.
(b) Встановіть ітераційні інтеграли в обох порядках, які оцінюють заданий подвійний інтеграл для описаної області R.
(c) Оцінити один з ітераційних інтегралів, щоб знайти підписаний об'єм під поверхнеюz=f(x,y) над областю R.
11. ∫∫Rx2ydA, де R обмеженаy=√x and y=x2.
12. ∫∫Rx2ydA, де R обмеженаy=3√x and y=x3.
13. ∫∫Rx2−y2dA, де R - прямокутник з кутами(−1,−1),(1,−1),(1,1) and (−1,1).
14. ∫∫RyexdA, де R обмеженаx=0,x=y2 and y=1.
15. ∫∫R(6−3x−2y)dA, де R обмеженаx=0,y=0 and 3x+2y=6.
16. ∫∫ReydA, де R обмеженаy=lnx and y=1e−1(x−1).
17. ∫∫R(x3y−x)dA, де R - половина колаx2+y2=9 в першому і другому квадрантах.
18. ∫∫R(4−sy)dA, де R обмеженаy=0,y=x/e and y=lnx.
У Вправах 19-22 вкажіть, чому важко/неможливо інтегрувати ітераційний інтеграл у заданому порядку інтеграції. Змініть порядок інтеграції та оцініть новий ітераційний інтеграл.
19. ∫40∫2y/2ex2dxdy
20. ∫√π/20∫√π/2xcos(y2)dydx
21. ∫10∫1y2yx2+y2dxdy
22. ∫1−1∫21xtan2y1+lnydydx
У вправах 23-26 знайти середнє значення f над областю R. Зверніть увагу, як ці функції та області пов'язані з ітераційними інтегралами, зазначеними у Вправи 5-8.
23. f(x,y)=xy+3; R - прямокутник з протилежними кутами(−1,1) and (1,2).
24. f(x,y)=sinxcosy; R обмежуєтьсяx=0,x=π,y=−π/2 and y=π/2.
25. f(x,y)=3x2−y+2; R обмежується лініямиy=0,y=2−x/2 and x=0.
26. f(x,y)=x2y−xy2; R обмежуєтьсяy=x,y=1 and x=3.
13.3: Подвійна інтеграція з полярними координатами
Терміни та поняття
1. При оцінці з∫∫Rf(x,y)dA використанням полярних координат,f(x,y) замінюється на _______ іdA замінюється на _______.
2. Чому б хтось був зацікавлений в оцінці подвійного інтеграла з полярними координатами?
Проблеми
У вправах 3-10f(x,y) задана функція і описана область R площини xy. Налаштуйте та оцінюйте∫∫Rf(x,y)dA.
3. f(x,y)=3x−y+4; R - область, обведена коломx2+y2=1.
4. f(x,y)=4x+4y; R - область, обведена коломx2+y2=4.
5. f(x,y)=8−y; R - область, укладена колами з полярними рівняннямиr=cosθ and r=3cosθ.
6. f(x,y)=4; R - область, укладена пелюсткою кривої трояндиr=sin(2θ) в першому квадранті.
7. f(x,y)=ln(x2+y2); R - кільцеве кільце, укладене колами\ (x^2+y^2=1\ text {і} x^2+y^2=4.
8. f(x,y)=1−x2−y2; R - область, обведена коломx2+y2=1.
9. f(x,y)=x2−y2; R - область, укладена коломx2+y2=36 в першому і четвертому квадрантах.
10. f(x,y)=(x−y)/(x+y); R - область, укладена лініямиy=x,y=0 та коломx2+y2=1 у першому квадранті.
У Вправах 11-14 задано ітераційний інтеграл у прямокутних координатах. Перепишіть інтеграл за допомогою полярних координат і оцініть новий подвійний інтеграл.
11. ∫50∫√25−x2−√25−x2√x2+y2dydx
12. ∫4−4∫0−√16−y2(2y−x)dxdy
13. ∫20∫√8−y2y(x+y)dxdy
14. ∫−1−2∫√4−x20(x+5)dydx+∫1−1∫√4−x2√1−x2(x+5)dydx+∫21∫√4−x20(x+5)dydx
У вправах 15-16 представлені спеціальні подвійні інтеграли, які особливо добре підходять для оцінки в полярних координатах.
15. Розглянемо∫∫Re−(x2+y2)dA.
(а) Чому цей інтеграл важко оцінити в прямокутних координатах, незалежно від області R?
(b) Нехай R - область, обмежена колом радіуса a з центром у початковій точці. Оцінити подвійний інтеграл за допомогою полярних координат.
(c) Візьміть межу вашої відповіді з (b), якa→∞. Що це означає про обсяг під поверхнеюe−(x2+y2) по всій площині xy?
16. Поверхня правого кругового конуса висотою h і радіусом основи a може бути описана рівняннямf(x,y)=h−h√x2a2+y2a2, де кінчик конуса лежить в,(0,0,h) а кругова основа лежить в площині x-y, зосередженої на початку.
Переконайтеся, що об'єм правого кругового конуса з висотою h і радіусом основи a є,V=13πa2h оцінюючи∫∫Rf(x,y)dA в полярних координатах.
13.4: Центр мас
Терміни та поняття
1. Чому легко використовувати «масу» і «вагу» взаємозамінно, хоча це різні заходи?
2. З огляду на точку(x,y), значення x є мірою відстані від _________-осі.
3. Ми можемо думати про значення∫∫Rdm «підсумувати багато ________».
4. Що таке «дискретна планарна система?»
5. ЧомуMx використовується∫∫Ryδ(x,y)dA замість∫∫Rxδ(x,y)dA; тобто чому ми використовуємо «y», а не «x»?
6. Опишіть ситуацію, коли центр маси пластинки не лежить в межах області самої пластинки.
Проблеми
У вправах 7-10 точкові маси задаються вздовж лінії або в площині. Знайти центр маси¯x або(¯x,¯y), в міру необхідності. (Всі маси вказані в грамах, а відстані - в см.)
7. m1=4 at x=1;m2=3 at x=3;m3=5 at x=10
8. m1=2 at x=−3;m2=2 at x=−1;m3=3 at x=0;m4=3 at x=7
9. m1=2 at (−2,2);m2=2 at (2,−2);m3=20 at (0,4)
10. m1=1 at (−1,1);m2=2 at (−1,1);m3=2 at (1,1);m4=1 at (1,−1)
У вправах 11-18 знайдіть масу/вагу пластинки, описану областю R в площині, і її функцією щільностіδ(x,y).
11. R - прямокутник з кутами(1,−3),(1,2),(7,2) and (7,−3);δ(x,y)=5 г/см2
12. R - прямокутник з кутами(1,−3),(1,2),(7,2) and (7,−3);δ(x,y)=(x+y2) г/см2
13. R - трикутник з кутами(−1,0),(1,0), and (0,1);δ(x,y)=2 lb/in2
14. R - трикутник з кутами(0,0),(1,0), and (0,1);δ(x,y)=(x2+y2+1) lb/in2
15. R - окружність, центрована на початку координат з радіусом 2;δ(x,y)=(x+y+4) кг/м2
16. R - сектор кола, обмеженийx2+y2=25 в першому квадранті;δ(x,y)=(√x2+y2+1) кг/м2
17. R - кільцеве кільце в першому та другому квадрантах, обмеженеx2+y2=9 and x2+y2=36;δ(x,y)=4 фунт/фут2
18. R - кільцеве кільце в першому та другому квадрантах, обмеженеx2+y2=9 and x+y2=36;δ(x,y)=√x2+y2 фунт/фут2
У вправах 19-26 знайти центр маси пластинки, описаний областю R в площині і її функцією щільностіδ(x,y).
Примітка: це ті ж пластинки, що і в Вправи 11-18.
19. R - прямокутник з кутами(1,−3),(1,2),(7,2) and (7,−3);δ(x,y)=5 г/см2
20. R - прямокутник з кутами(1,−3),(1,2),(7,2) and (7,−3);δ(x,y)=(x+y2) г/см2
21. R - трикутник з кутами(−1,0),(1,0), and (0,1);δ(x,y)=2 lb/in2
22. R - трикутник з кутами(0,0),(1,0), and (0,1);δ(x,y)=(x2+y2+1) lb/in2
23. R - окружність, центрована на початку координат з радіусом 2;δ(x,y)=(x+y+4) кг/м2
24. R - сектор кола, обмеженийx2+y2=25 в першому квадранті;δ(x,y)=(√x2+y2+1) кг/м2
25. R - кільцеве кільце в першому та другому квадрантах, обмеженеx2+y2=9 and x2+y2=36;δ(x,y)=4 фунт/фут2
26. R - кільцеве кільце в першому та другому квадрантах, обмеженеx2+y2=9 and x+y2=36;δ(x,y)=√x2+y2 фунт/фут2
Момент інерціїi - це міра тенденції пластинки чинити опір обертанню навколо осі або продовжувати обертатися навколо осі. ix- момент інерції навколо осі х,ix є моментом інерції навколо осі х, іio є моментом інерції про походження.Вони обчислюються наступним чином:
- ix=∫∫Ry2dm
- iy=∫∫Rx2dm
- io=∫∫R(x2+y2)dm
У вправах 27-30 дається пластинка, відповідна площинної області R з масою 16 одиниць. Для кожного обчислюйтеix,iy іio.
27. R - квадрат 4 х 4 з кутами(−2,−2) and (2,2) з щільністюδ(x,y)=1.
28. R - прямокутник 8 х 2 з кутами(−4,−1) and (4,1) з щільністюδ(x,y)=1.
29. R - прямокутник 4 х 2 з кутами(−2,−1) and (2,1) з щільністюδ(x,y)=2.
30. R - коло з радіусом 2, центрованим у початку координат з щільністюδ(x,y)=4/π.
13.5: Площа поверхні
Терміни та поняття
1. «Площа поверхні» є аналогом того, що раніше вивчалося поняття?
2. Щоб наблизити площу невеликої ділянки поверхні, ми обчислили площу її ______ площини.
3. Ми трактуємо∫∫RdS як «підсумовуємо багато маленьких _______ ________».
4. Чому важливо знати, як налаштувати подвійний інтеграл для обчислення площі поверхні, навіть якщо отриманий інтеграл важко оцінити?
5. Чомуz=f(x,y) іz=g(x,y)=f(x,y)+h, для деякого дійсного числа h, мають однакову площу поверхні над областю R?
6. Нехайz=f(x,y) іz=g(x,y)=2f(x,y). Чому площа поверхні g над областю R не в два рази перевищує площу поверхніf понадR?
Проблеми
У вправах 7-10 встановіть ітераційний інтеграл, який обчислює площу поверхонь даної поверхні над областю R.
7. f(x,y)=sinxcosy;Rце прямокутник з кордонами0≤x≤2π,0≤y≤2π.
8. f(x,y)=1x2+y2+1;Rце колоx2+y2=9.
9. f(x,y)=x2−y2;Rце прямокутник з протилежними кутами(−1,−1) і1,1).
10. f(x,y)=1ex2+1;Rпрямокутник, обмежений−5≤x≤5 і0≤y≤1.
У вправах 11-19 знайдіть площу даної поверхні над областю R.
11. f(x,y)=3x−7y+2;Rце прямокутник з протилежними кутами(−1,0) and (1,3).
12. f(x,y)=2x+2y+2;Rтрикутник з кутами(0,0),(1,0) and (0,1).
13. f(x,y)=x2+y2+10;Rце колоx2+y2=16.
14. f(x,y)=−2x+4y2+7 over R, трикутник обмеженийy=−x,y=x,0≤y≤1.
15. f(x,y)=x2+yнад R трикутник обмеженийy=2x,y=0 and x=2.
16. f(x,y)=23x3/2над R, прямокутник з протилежними кутами(0,0) and (1,1).
17. f(x,y)=10−2√x2+y2над R, колоx2+y2=25. (Це конус з висотою 10 і радіусом основи 5; обов'язково порівняйте ваш результат з відомою формулою.)
18. Знайти площу поверхні сфери з радіусом 5 шляхом подвоєння площі поверхніf(x,y)=√25−x2−y2 над R, окружністюx2+y2=25. (Обов'язково порівняйте свій результат з відомою формулою.)
19. Знайдіть площу поверхні еліпса, утвореного обмеженням площиниf(x,y)=cx+dy+h областю R, окружністюx2+y2=1, де c, d і h - деякі константи. Ваша відповідь повинна бути дана в терміні c і d; чому значення h не має значення?
13.6: Обсяг між поверхнями та потрійна інтеграція
Терміни та поняття
1. Стратегія встановлення меж для потрійних інтегралів - «________ до ________, _________ і __________ до _______».
2. Дайте неофіційне тлумачення того, що"∫∫∫DdV «означає».
3. Дайте два варіанти використання потрійної інтеграції.
4. Якщо предмет має постійну щільністьδ і об'єм V, яка його маса?
Проблеми
У вправах 5-8 наведено дві поверхніf1(x,y)f2(x,y) і областьR вxy -площині. Налаштуйте та оцініть потрійний інтеграл, який представляє об'єм між цими поверхнямиR.
5. f1(x,y)=8−x2−y2,f2(x,y)=2x+y;
Rце квадрат з кутами(−1,−1) and (1,1).
6. f1(x,y)=x2+y2,f2(x,y)=−x2−y2;
Rце квадрат з кутами(0,0) and (2,3).
7. f1(x,y)=sinxcosy,f2(x,y)=cosxsiny+2;
Rтрикутник з кутами(0,0),(π,0) and (π,π).
8. f1(x,y)=2x2+2y2+3,f2(x,y)=6−x2−y2;
Rце колоx2+y2=1.
У вправах 9-16 область D описується її обмежуючими поверхнями разом з графіком. Налаштуйте потрійні інтеграли, які дають обсяг D у всіх 6 порядках інтеграції, і знайдіть об'єм D, оцінивши вказаний потрійний інтеграл.
9. D обмежується координатними площинами іz=2−2x/3−2y.
Оцініть потрійний інтеграл з порядком dz dy dx.
10. D обмежується площинамиy=0,y=2,x=1,z=0 and z=(2−x)/2.
Оцінити потрійний інтеграл з порядком dx dy dz.
11. D обмежується площинамиx=0,x=2,z=−y and by z=y2/2.
Оцініть потрійний інтеграл з порядком dy dz dx.
12. D обмежується площинамиz=0,y=9,x=0 and by z=√y2−9x2.
Не оцінюйте жодного потрійного інтеграла.
13. D обмежується площинамиx=2,y=1,z=0 and z=2x+4y−4.
Оцінити потрійний інтеграл з порядком dx dy dz.
14. D обмежується площиноюz=2y and by y=4−x2.
Оцініть потрійний інтеграл з порядком dz dy dx.
15. D обмежується координатними площинами іy=1−x2 and y=1−z2.
Не оцінюйте жодного потрійного інтеграла. В якому порядку легше оцінити: dz dy dx або dy dz dx? Поясніть чому.
16. D обмежується координатними площинами і поz=1−y/3 and z=1−x.
Оцінити потрійний інтеграл з порядком dx dy dz.
У вправах 17-20 оцініть потрійний інтеграл.
17. ∫π/2−π/2∫π0∫π0(cosxsinysinz)dzdydx
18. ∫10∫x0∫x+y0(x+y+z)dzdydx
19. ∫π0∫10∫z0(sin(yz))dxdydz
20. ∫π2π∫x3x∫y2−y2(cosxsinysinz)dzdydx
У вправах 21-24 знайти центр маси твердого тіла, представленого вказаною просторовою областю D з функцією щільностіδ(x,y,z).
21. D обмежується координатними площинами іz=2−2x/3−2y;δ(x,y,z)=10 г/см3.
(Примітка: це той самий регіон, який використовується у вправі 9.)
22. D обмежується площинамиy=0,y=2,x=1,z=0 and z=(3−x)/2;δ(x,y,z)=2 г/см3.
(Примітка: це той самий регіон, який використовується у вправі 10.)
23. D обмежується площинамиx=2,y=1,z=0 and z=2x+4y−4;δ(x,y,z)=x2 фунт/дюйм3.
(Примітка: це той самий регіон, який використовується у вправі 13.)
24. D обмежується площинамиz=2y and by y=4−x2. δ(x,y,z)=y2фунт/дюйм3.
(Примітка: це той самий регіон, який використовується у вправі 14.)