13.E: Застосування багаторазової інтеграції (вправи)

13.1: Ітераційні інтеграли та площа

Терміни та поняття

1. \(f_x(x,y)\)При інтеграції стосовно x константа інтеграції C дійсно є якою:\(C(x)\text{ or }C(y)\)? Що це означає?

2. Інтегрування інтеграла називається _________ __________.

3. При оцінці ітераційного інтеграла інтегруємо від _______ до ________, потім від _________ до __________.

4. Одне розуміння ітераційного інтеграла полягає в тому, що\(\displaystyle \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)}\,dy\,dx\) дає _______ плоської області.

Проблеми

У вправах 5-10 оцініть інтеграл і наступний ітераційний інтеграл.

5.
(а)\(\displaystyle \int_2^5 (6x^2+4xy-3y^2)\,dy\)
(б)\(\displaystyle \int_{-3}^2 \int_2^5 (6x^2+4xy-3y^2)\,dy\,dx\)

6.
(а)\(\displaystyle \int_0^\pi (2x\cos y +\sin x)\,dx\)
(б)\(\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \int_0^\pi (2x\cos y +\sin x)\,dx\,dy\)

7.
(а)\(\displaystyle \int_1^x (x^2y-y+2)\,dy\)
(б)\(\displaystyle \int_0^2 \int_1^x (x^2y-y+2)\,dy\,dx\)

8.
(а)\(\displaystyle \int_y^{y^2} (x-y)\,dx\)
(б)\(\displaystyle \int_{-1}^1 \int_y^{y^2} (x-y)\,dx\,dy\)

9.
(а)\(\displaystyle \int_0^{y} (\cos x \sin y)\,dx\)
(б)\(\displaystyle \int_0^\pi \int_0^{y} (\cos x \sin y)\,dx\,dy\)

10.
(а)\(\displaystyle \int_0^{x} \left (\frac{1}{1+x^2}\right )\,dy\)
(б)\(\displaystyle \int_1^2 \int_0^{x} \left (\frac{1}{1+x^2}\right )\,dy\,dx\)

У вправах 11-16 наведено графік\(R\) планарної області. Дайте ітераційні інтеграли, з обома порядками інтеграції\(dy\,dx\) і\(dx\,dy\), які дають площу\(R\). Оцінити один з ітераційних інтегралів, щоб знайти площу.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

У вправах 17-22 задано ітераційні інтеграли, які обчислюють площу області R в\(xy\) -площині. Намалюйте область R і дайте ітераційний інтеграл (и), які дають площу R з протилежним порядком інтеграції.

17. \(\displaystyle \int_{-2}^2 \int_0^{4-x^2}\,dy\,dx\)

18. \(\displaystyle \int_{0}^1 \int_{5-5x}^{5-5x^2}\,dy\,dx\)

19. \(\displaystyle \int_{-2}^2 \int_0^{2\sqrt{4-y^2}}\,dx\,dy\)

20. \(\displaystyle \int_{-3}^3 \int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}}\,dy\,dx\)

21. \(\displaystyle \int_{0}^1 \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}\,dx\,dy +\int_1^4 \int_{y-2}^{\sqrt{y}}\,dx\,dy\)

22. \(\displaystyle \int_{-1}^1 \int_{(x-1)/2}^{(1-x)/2}\,dy\,dx\)

13.2: Подвійна інтеграція та обсяг

Терміни та поняття

1. Інтеграл можна інтерпретувати як надання підписаної області через інтервал; подвійний інтеграл можна інтерпретувати як надання підписаного ________ над областю.

2. Поясніть, чому таке твердження є помилковим: «Теорема Фубіні стверджує, що»\(\int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\,dx = \int_a^b \int_{g_1(y)}^{g_2(y)}f(x,y)\,dx\,dy\).

3. Поясніть, чому якщо\(f(x,y)>0\) над регіоном R, то\(\int\int_R f(x,y)\,dA >0\).

4. Якщо\(\int\int_R f(x,y)dA= \int\int_R g(x,y)\,dA\), це означає\(f(x,y)=g(x,y)\)?

Проблеми

У вправах 5-10,
(а) Оцініть заданий ітераційний інтеграл і
(б) перепишіть інтеграл, використовуючи інший порядок інтегралу.

5. \(\int_1^2 \int_{-1}^1 \left ( \frac{x}{y}+3\right )\,dx\,dy\)

6. \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_{0}^\pi (\sin x \cos y\)\, ди\, дх\)

7. \(\int_0^4 \int_{0}^{-x/2+2} \left ( 3x^2-y+2\right )\,dy\,dx\)

8. \(\int_1^3 \int_{y}^3 \left ( x^2y-xy^2\right )\,dx\,dy\)

9. \(\int_0^21\int_{-\sqrt{1-y}}^{\sqrt{1-y}}( x+y+2 )\,dx\,dy\)

10. \(\int_0^9 \int_{y/3}^{\sqrt{3}} \left ( xy^2\right )\,dx\,dy\)

У вправах 11-18:
(a) Намалюйте область R, задану задачею.
(b) Встановіть ітераційні інтеграли в обох порядках, які оцінюють заданий подвійний інтеграл для описаної області R.
(c) Оцінити один з ітераційних інтегралів, щоб знайти підписаний об'єм під поверхнею\(z=f(x,y)\) над областю R.

11. \(\int\int_R x^2y\,dA\), де R обмежена\(y=\sqrt{x}\text{ and }y=x^2\).

12. \(\int\int_R x^2y\,dA\), де R обмежена\(y=\sqrt[3]{x}\text{ and }y=x^3\).

13. \(\int\int_R x^2-y^2\,dA\), де R - прямокутник з кутами\((-1,-1),(1,-1),(1,1)\text{ and }(-1,1)\).

14. \(\int\int_R ye^x\,dA\), де R обмежена\(x=0,\,x=y^2\text{ and }y=1\).

15. \(\int\int_R (6-3x-2y)\,dA\), де R обмежена\(x=0,y=0\text{ and }3x+2y=6\).

16. \(\int\int_R e^y\,dA\), де R обмежена\(y=\ln x \text{ and }y=\frac{1}{e-1}(x-1)\).

17. \(\int\int_R (x^3y-x)\,dA\), де R - половина кола\(x^2+y^2=9\) в першому і другому квадрантах.

18. \(\int\int_R (4-sy)\,dA\), де R обмежена\(y=0,y=x/e\text{ and }y=\ln x\).

У Вправах 19-22 вкажіть, чому важко/неможливо інтегрувати ітераційний інтеграл у заданому порядку інтеграції. Змініть порядок інтеграції та оцініть новий ітераційний інтеграл.

19. \(\int_0^4 \int_{y/2}^2 e^{x^2}\,dx\,dy\)

20. \(\int_0^{\sqrt{\pi/2}} \int_{x}^{\sqrt{\pi/2}} \cos (y^2)\,dy\,dx\)

21. \(\int_0^1 \int_{y}^1 \frac{2y}{x^2+y^2}\,dx\,dy\)

22. \(\int_{-1}^1 \int_{1}^2 \frac{x\tan^2 y}{1+\ln y}\,dy\,dx\)

У вправах 23-26 знайти середнє значення f над областю R. Зверніть увагу, як ці функції та області пов'язані з ітераційними інтегралами, зазначеними у Вправи 5-8.

23. \(f(x,y)=\frac{x}{y}+3\); R - прямокутник з протилежними кутами\((-1,1)\text{ and }(1,2)\).

24. \(f(x,y)=\sin x \cos y\); R обмежується\(x=0,x=\pi,y=-\pi/2\text{ and }y=\pi/2\).

25. \(f(x,y)=3x^2-y+2\); R обмежується лініями\(y=0,y=2-x/2\text{ and }x=0\).

26. \(f(x,y)=x^2y-xy^2\); R обмежується\(y=x,y=1\text{ and }x=3\).

13.3: Подвійна інтеграція з полярними координатами

Терміни та поняття

1. При оцінці з\(\int\int_R f(x,y)\,dA\) використанням полярних координат,\(f(x,y)\) замінюється на _______ і\(dA\) замінюється на _______.

2. Чому б хтось був зацікавлений в оцінці подвійного інтеграла з полярними координатами?

Проблеми

У вправах 3-10\(f(x,y)\) задана функція і описана область R площини xy. Налаштуйте та оцінюйте\(\int\int_R f(x,y)\,dA\).

3. \(f(x,y)=3x-y+4\); R - область, обведена колом\(x^2+y^2=1\).

4. \(f(x,y)=4x+4y\); R - область, обведена колом\(x^2+y^2=4\).

5. \(f(x,y)=8-y\); R - область, укладена колами з полярними рівняннями\(r=\cos \theta \text{ and }r=3\cos \theta\).

6. \(f(x,y)=4\); R - область, укладена пелюсткою кривої троянди\(r=\sin (2\theta)\) в першому квадранті.

7. \(f(x,y)=\ln (x^2+y^2)\); R - кільцеве кільце, укладене колами\ (x^2+y^2=1\ text {і} x^2+y^2=4.

8. \(f(x,y)=1-x^2-y^2\); R - область, обведена колом\(x^2+y^2=1\).

9. \(f(x,y)=x^2-y^2\); R - область, укладена колом\(x^2+y^2=36\) в першому і четвертому квадрантах.

10. \(f(x,y)=(x-y)/(x+y)\); R - область, укладена лініями\(y=x,y=0\) та колом\(x^2+y^2=1\) у першому квадранті.

У Вправах 11-14 задано ітераційний інтеграл у прямокутних координатах. Перепишіть інтеграл за допомогою полярних координат і оцініть новий подвійний інтеграл.

11. \(\int_0^5 \int_{-\sqrt{25-x^2}}^{\sqrt{25-x^2}}\sqrt{x^2+y^2}dy\,dx\)

12. \(\int_{-4}^4 \int_{-\sqrt{16-y^2}}^{0}(2y-x)dx\,dy\)

13. \(\int_0^2 \int_{y}^{\sqrt{8-y^2}}(x+y)\,dx\,dy\)

14. \(\int_{-2}^{-1} \int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}(x+5)dy\,dx+\int_{-1}^1\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}(x+5)\,dy\,dx+\int_1^2\int_0^{\sqrt{4-x^2}}(x+5)\,dy\,dx\)

У вправах 15-16 представлені спеціальні подвійні інтеграли, які особливо добре підходять для оцінки в полярних координатах.

15. Розглянемо\(\int\int_R e^{-(x^2+y^2)}dA.\)
(а) Чому цей інтеграл важко оцінити в прямокутних координатах, незалежно від області R?
(b) Нехай R - область, обмежена колом радіуса a з центром у початковій точці. Оцінити подвійний інтеграл за допомогою полярних координат.
(c) Візьміть межу вашої відповіді з (b), як\(a\to \infty\). Що це означає про обсяг під поверхнею\(e^{-(x^2+y^2)}\) по всій площині xy?

16. Поверхня правого кругового конуса висотою h і радіусом основи a може бути описана рівнянням\(f(x,y)=h-h\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}}\), де кінчик конуса лежить в,\((0,0,h)\) а кругова основа лежить в площині x-y, зосередженої на початку.
Переконайтеся, що об'єм правого кругового конуса з висотою h і радіусом основи a є,\(V=\frac{1}{3}\pi a^2h\) оцінюючи\(\int\int_R f(x,y)\,dA\) в полярних координатах.

13.4: Центр мас

Терміни та поняття

1. Чому легко використовувати «масу» і «вагу» взаємозамінно, хоча це різні заходи?

2. З огляду на точку\((x,y)\), значення x є мірою відстані від _________-осі.

3. Ми можемо думати про значення\(\int\int_R dm\) «підсумувати багато ________».

4. Що таке «дискретна планарна система?»

5. Чому\(M_x\) використовується\(\int\int_R y\delta (x,y)\,dA\) замість\(\int\int_R x\delta (x,y)\,dA\); тобто чому ми використовуємо «y», а не «x»?

6. Опишіть ситуацію, коли центр маси пластинки не лежить в межах області самої пластинки.

Проблеми

У вправах 7-10 точкові маси задаються вздовж лінії або в площині. Знайти центр маси\(\overline{x}\) або\((\overline{x},\overline{y})\), в міру необхідності. (Всі маси вказані в грамах, а відстані - в см.)

7. \(m_1 =4 \text{ at }x=1;\quad m_2=3\text{ at }x=3;\quad m_3 = 5\text{ at }x=10\)

8. \(m_1 =2 \text{ at }x=-3;\quad m_2=2\text{ at }x=-1;\quad m_3 = 3\text{ at }x=0;\quad m_4=3 \text{ at }x=7\)

9. \(m_1 =2 \text{ at }(-2,2);\quad m_2=2\text{ at }(2,-2);\quad m_3 = 20\text{ at }(0,4)\)

10. \(m_1 =1 \text{ at }(-1,1);\quad m_2=2\text{ at }(-1,1);\quad m_3 = 2\text{ at }(1,1);\quad m_4 =1\text{ at }(1,-1)\)

У вправах 11-18 знайдіть масу/вагу пластинки, описану областю R в площині, і її функцією щільності\(\delta (x,y)\).

11. R - прямокутник з кутами\((1,-3),(1,2),(7,2)\text{ and }(7,-3);\delta (x,y)=5\) г/см\(^2\)

12. R - прямокутник з кутами\((1,-3),(1,2),(7,2)\text{ and }(7,-3);\delta (x,y)=(x+y^2)\) г/см\(^2\)

13. R - трикутник з кутами\((-1,0),(1,0),\text{ and }(0,1);\delta (x,y)=2\) lb/in\(^2\)

14. R - трикутник з кутами\((0,0),(1,0),\text{ and }(0,1);\delta (x,y)=(x^2+y^2+1)\) lb/in\(^2\)

15. R - окружність, центрована на початку координат з радіусом 2;\(\delta (x,y)=(x+y+4)\) кг/м\(^2\)

16. R - сектор кола, обмежений\(x^2+y^2=25\) в першому квадранті;\(\delta (x,y) =(\sqrt{x^2+y^2}+1)\) кг/м\(^2\)

17. R - кільцеве кільце в першому та другому квадрантах, обмежене\(x^2+y^2=9\text{ and }x^2+y^2=36;\delta (x,y)=4\) фунт/фут\(^2\)

18. R - кільцеве кільце в першому та другому квадрантах, обмежене\(x^2+y^2=9\text{ and }x^+y^2=36;\delta (x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\) фунт/фут\(^2\)

У вправах 19-26 знайти центр маси пластинки, описаний областю R в площині і її функцією щільності\(\delta (x,y)\).

Примітка: це ті ж пластинки, що і в Вправи 11-18.

19. R - прямокутник з кутами\((1,-3),(1,2),(7,2)\text{ and }(7,-3);\delta (x,y)=5\) г/см\(^2\)

20. R - прямокутник з кутами\((1,-3),(1,2),(7,2)\text{ and }(7,-3);\delta (x,y)=(x+y^2)\) г/см\(^2\)

21. R - трикутник з кутами\((-1,0),(1,0),\text{ and }(0,1);\delta (x,y)=2\) lb/in\(^2\)

22. R - трикутник з кутами\((0,0),(1,0),\text{ and }(0,1);\delta (x,y)=(x^2+y^2+1)\) lb/in\(^2\)

23. R - окружність, центрована на початку координат з радіусом 2;\(\delta (x,y)=(x+y+4)\) кг/м\(^2\)

24. R - сектор кола, обмежений\(x^2+y^2=25\) в першому квадранті;\(\delta (x,y) =(\sqrt{x^2+y^2}+1)\) кг/м\(^2\)

25. R - кільцеве кільце в першому та другому квадрантах, обмежене\(x^2+y^2=9\text{ and }x^2+y^2=36;\delta (x,y)=4\) фунт/фут\(^2\)

26. R - кільцеве кільце в першому та другому квадрантах, обмежене\(x^2+y^2=9\text{ and }x^+y^2=36;\delta (x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\) фунт/фут\(^2\)

Момент інерції\(i\) - це міра тенденції пластинки чинити опір обертанню навколо осі або продовжувати обертатися навколо осі. \(i_x\)- момент інерції навколо осі х,\(i_x\) є моментом інерції навколо осі х, і\(i_o\) є моментом інерції про походження.Вони обчислюються наступним чином:

• \(i_x = \int\int_R y^2\,dm\)
• \(i_y = \int\int_R x^2\,dm\)
• \(i_o = \int\int_R (x^2+y^2)\,dm\)

У вправах 27-30 дається пластинка, відповідна площинної області R з масою 16 одиниць. Для кожного обчислюйте\(i_x\),\(i_y\) і\(i_o\).

27. R - квадрат 4 х 4 з кутами\((-2,-2) \text{ and }(2,2)\) з щільністю\(\delta (x,y)=1\).

28. R - прямокутник 8 х 2 з кутами\((-4,-1) \text{ and }(4,1)\) з щільністю\(\delta (x,y)=1\).

29. R - прямокутник 4 х 2 з кутами\((-2,-1) \text{ and }(2,1)\) з щільністю\(\delta (x,y)=2\).

30. R - коло з радіусом 2, центрованим у початку координат з щільністю\(\delta (x,y)=4/\pi\).

13.5: Площа поверхні

Терміни та поняття

1. «Площа поверхні» є аналогом того, що раніше вивчалося поняття?

2. Щоб наблизити площу невеликої ділянки поверхні, ми обчислили площу її ______ площини.

3. Ми трактуємо\(\int\int_R \,dS\) як «підсумовуємо багато маленьких _______ ________».

4. Чому важливо знати, як налаштувати подвійний інтеграл для обчислення площі поверхні, навіть якщо отриманий інтеграл важко оцінити?

5. Чому\(z=f(x,y)\) і\(z=g(x,y)=f(x,y)+h\), для деякого дійсного числа h, мають однакову площу поверхні над областю R?

6. Нехай\(z=f(x,y) \) і\(z=g(x,y)=2f(x,y)\). Чому площа поверхні g над областю R не в два рази перевищує площу поверхні\(f\) понад\(R\)?

Проблеми

У вправах 7-10 встановіть ітераційний інтеграл, який обчислює площу поверхонь даної поверхні над областю R.

7. \(f(x,y)=\sin x \cos y;\quad R\)це прямокутник з кордонами\(0\le x\le 2\pi\),\(0\le y \le 2\pi\).

8. \(f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2+1};\quad R\)це коло\(x^2+y^2=9\).

9. \(f(x,y)=x^2-y^2;\quad R\)це прямокутник з протилежними кутами\((-1,-1)\) і\(1,1)\).

10. \(f(x,y)=\frac{1}{e^{x^2}+1};\quad R\)прямокутник, обмежений\(-5\le x \le 5\) і\(0\le y \le 1\).

У вправах 11-19 знайдіть площу даної поверхні над областю R.

11. \(f(x,y)=3x-7y+2;\quad R\)це прямокутник з протилежними кутами\((-1,0)\text{ and }(1,3)\).

12. \(f(x,y)=2x+2y+2;\quad R\)трикутник з кутами\((0,0),(1,0)\text{ and }(0,1)\).

13. \(f(x,y)=x^2+y^2+10;\quad R\)це коло\(x^2+y^2=16\).

14. \(f(x,y)=-2x+4y^2+7\text{ over } R\), трикутник обмежений\(y=-x,y=x,0\le y \le 1\).

15. \(f(x,y)=x^2+y\)над R трикутник обмежений\(y=2x,y=0 \text{ and }x=2\).

16. \(f(x,y)=\frac{2}{3}x^{3/2}\)над R, прямокутник з протилежними кутами\((0,0)\text{ and }(1,1)\).

17. \(f(x,y)=10-2\sqrt{x^2+y^2}\)над R, коло\(x^2+y^2=25\). (Це конус з висотою 10 і радіусом основи 5; обов'язково порівняйте ваш результат з відомою формулою.)

18. Знайти площу поверхні сфери з радіусом 5 шляхом подвоєння площі поверхні\(f(x,y)=\sqrt{25-x^2-y^2}\) над R, окружністю\(x^2+y^2=25\). (Обов'язково порівняйте свій результат з відомою формулою.)

19. Знайдіть площу поверхні еліпса, утвореного обмеженням площини\(f(x,y)=cx+dy+h\) областю R, окружністю\(x^2+y^2=1\), де c, d і h - деякі константи. Ваша відповідь повинна бути дана в терміні c і d; чому значення h не має значення?

13.6: Обсяг між поверхнями та потрійна інтеграція

Терміни та поняття

1. Стратегія встановлення меж для потрійних інтегралів - «________ до ________, _________ і __________ до _______».

2. Дайте неофіційне тлумачення того, що\("\int\int\int_D \,dV\) «означає».

3. Дайте два варіанти використання потрійної інтеграції.

4. Якщо предмет має постійну щільність\(\delta\) і об'єм V, яка його маса?

Проблеми

У вправах 5-8 наведено дві поверхні\(f_1(x,y)\)\(f_2(x,y)\) і область\(R\) в\(xy\) -площині. Налаштуйте та оцініть потрійний інтеграл, який представляє об'єм між цими поверхнями\(R\).

5. \(f_1(x,y) = 8-x^2-y^2,\,f_2(x,y) =2x+y;\)
\(R\)це квадрат з кутами\((-1,-1)\text{ and }(1,1)\).

6. \(f_1(x,y) = x^2+y^2,\,f_2(x,y) =-x^2-y^2;\)
\(R\)це квадрат з кутами\((0,0)\text{ and }(2,3)\).

7. \(f_1(x,y) = \sin x \cos y,\,f_2(x,y) =\cos x \sin y +2;\)
\(R\)трикутник з кутами\((0,0), (\pi , 0)\text{ and }(\pi,\pi)\).

8. \(f_1(x,y) = 2x^2+2y^2+3,\,f_2(x,y) =6-x^2-y^2;\)
\(R\)це коло\(x^2+y^2=1\).

У вправах 9-16 область D описується її обмежуючими поверхнями разом з графіком. Налаштуйте потрійні інтеграли, які дають обсяг D у всіх 6 порядках інтеграції, і знайдіть об'єм D, оцінивши вказаний потрійний інтеграл.

9. D обмежується координатними площинами і\(z=2-2x/3-2y\).
Оцініть потрійний інтеграл з порядком dz dy dx.

10. D обмежується площинами\(y=0,y=2,x=1,z=0\text{ and }z=(2-x)/2\).
Оцінити потрійний інтеграл з порядком dx dy dz.

11. D обмежується площинами\(x=0,x=2,z=-y\text{ and by }z=y^2/2\).
Оцініть потрійний інтеграл з порядком dy dz dx.

12. D обмежується площинами\(z=0,y=9, x=0\text{ and by }z=\sqrt{y^2-9x^2}\).
Не оцінюйте жодного потрійного інтеграла.

13. D обмежується площинами\(x=2,y=1,z=0\text{ and }z=2x+4y-4\).
Оцінити потрійний інтеграл з порядком dx dy dz.

14. D обмежується площиною\(z=2y\text{ and by }y=4-x^2\).
Оцініть потрійний інтеграл з порядком dz dy dx.

15. D обмежується координатними площинами і\(y=1-x^2\text{ and }y=1-z^2\).
Не оцінюйте жодного потрійного інтеграла. В якому порядку легше оцінити: dz dy dx або dy dz dx? Поясніть чому.

16. D обмежується координатними площинами і по\(z=1-y/3\text{ and }z=1-x\).
Оцінити потрійний інтеграл з порядком dx dy dz.

У вправах 17-20 оцініть потрійний інтеграл.

17. \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi} (\cos x \sin y \sin z )dz\,dy\,dx\)

18. \(\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\int_{0}^{x+y} (x+y+z )dz\,dy\,dx\)

19. \(\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{z} (\sin (yz))dx\,dy\,dz\)

20. \(\int_{\pi}^{\pi^2}\int_{x}^{x^3}\int_{-y^2}^{y^2} (\cos x \sin y \sin z )dz\,dy\,dx\)

У вправах 21-24 знайти центр маси твердого тіла, представленого вказаною просторовою областю D з функцією щільності\(\delta (x,y,z)\).

21. D обмежується координатними площинами і\(z=2-2x/3-2y\);\(\delta (x,y,z)=10\) г/см\(^3\).
(Примітка: це той самий регіон, який використовується у вправі 9.)

22. D обмежується площинами\(y=0,y=2,x=1,z=0 \text{ and }z=(3-x)/2\);\(\delta (x,y,z)=2\) г/см\(^3\).
(Примітка: це той самий регіон, який використовується у вправі 10.)

23. D обмежується площинами\(x=2,y=1,z=0\text{ and }z=2x+4y-4\);\(\delta (x,y,z)=x^2\) фунт/дюйм\(^3\).
(Примітка: це той самий регіон, який використовується у вправі 13.)

24. D обмежується площинами\(z=2y\text{ and by }y=4-x^2\). \(\delta (x,y,z)=y^2\)фунт/дюйм\(^3\).
(Примітка: це той самий регіон, який використовується у вправі 14.)