13.6: Обсяг між поверхнями та потрійна інтеграція

У розділі 13.2 ми дізналися, як обчислити підписаний обсяг\(V\) під поверхнею\(z=f(x,y)\) над областю\(R\):\(V = \iint_R f(x,y) dA\). З цього випливає, природно\(R\), що якщо\(f(x,y)\geq g(x,y)\) увімкнено, то гучність між\(f(x,y)\) і\(g(x,y)\) включенням\(R\) дорівнює

\[ \begin{align} V &= \iint_R f(x,y) dA - \iint_R g(x,y) dA \\[4pt] &= \iint_R \big(f(x,y)-g(x,y)\big) dA. \end{align} \]

Теорема 124: Обсяг між поверхнями

\(g\)Дозволяти\(f\) і бути неперервними функціями на замкнутій,\(R\) обмеженій області, де\(f(x,y)\geq g(x,y)\) для всіх\((x,y)\) в\(R\). Гучність\(V\) між\(f\) і\(g\) більше\(R\) дорівнює

\[V =\iint_R \big(f(x,y)-g(x,y)\big) dA.\]

Приклад\(\PageIndex{1}\): Finding volume between surfaces

Знайти об'єм простору області, обмеженої площинами\(z=3x+y-4\) і\(z=8-3x-2y\) в\(1^\text{st}\) октанті. На малюнку 13.36 (а) малюються площини; в (b) задана тільки визначена область.

Рішення

Нам потрібно визначити регіон,\(R\) над яким ми будемо інтегруватися. Для цього нам потрібно визначити, де площини перетинаються. Вони мають загальні\(z\) -значення коли\(3x+y-4=8-3x-2y\). Застосовуючи трохи алгебри, ми маємо:

\ [\ почати {вирівнювати*}
3x+y-4 &= 8-3x-2y\\
6x+3y &= 12\\
2x+y &= 4
\ кінець {вирівнювати*}\]

Площини перетинаються по лінії\(2x+y=4\). Тому регіон\(R\) обмежений\(x=0\)\(y=0\), і\(y=4-2x\); ми можемо перетворити ці межі на межі інтеграції\(0\leq x\leq 2\),\(0\leq y\leq 4-2x\). Таким чином

\ [\ почати {вирівнювати*}
V &=\ iInt_R\ великий (8-3x-2y- (3x+y-4)\ великий) Да\\
&=\ int_0^2\ int_0^ {4-2x}\ великий (12-6x-3y\ великий) ди\, dx\\
&= 16\ текст {u} ^3.
\ end {вирівнювати*}\]

Обсяг між поверхнями -\(16\) кубічні одиниці.

Малюнок 13.36: Знаходження обсягу між площинами, наведеними в прикладі 13.6.1.

У попередньому прикладі ми знайшли обсяг, оцінюючи інтеграл\[ \int_0^2\int_0^{4-2x} \big(8-3x-2y-(3x+y-4)\big) dy \, dx.\] Примітка, як ми можемо переписати integrand як інтеграл, так само, як ми зробили в розділі 13.1:

\[8-3x-2y-(3x+y-4) = \int_{3x+y-4}^{8-3x-2y} dz.\]

Таким чином, ми можемо переписати подвійний інтеграл, який знаходить обсяг як

\[\int_0^2\int_0^{4-2x} \big(8-3x-2y-(3x+y-4)\big) dy \, dx = \int_0^2\int_0^{4-2x}\left(\int_{3x+y-4}^{8-3x-2y} dz\right) dy \, dx.\]

Це більше не виглядає як «подвійний інтеграл», але більше схожий на «потрійний інтеграл». Подібно до того, як наше перше вступ до подвійних інтегралів було в контексті знаходження площі плоської області, наше введення в потрійні інтеграли буде в контексті знаходження обсягу космічної області.

Малюнок 13.37: Наближення обсягу області D у просторі.

Щоб формально знайти об'єм замкнутої обмеженої області\(D\) в просторі, такого як показано на малюнку 13.37 (а), почнемо з наближення. \(D\)Розбийте на\(n\) прямокутні тверді тіла; тверді речовини поблизу кордону\(D\) можуть не включати частини\(D\) і/або включати додатковий простір. На малюнку 13.37 (b) ми збільшуємо частину межі,\(D\) щоб показати прямокутне тверде тіло, яке містить простір не в\(D\); оскільки це наближення об'єму, це прийнятно, і ця помилка буде зменшена, оскільки ми зменшуємо розмір наших твердих тіл.

Обсяг\(\Delta V_i\)\(i^\text{th}\) твердого тіла\(D_i\) дорівнює\(\Delta V_i = \Delta x_i\Delta y_i\Delta z_i\), де\(\Delta x_i\),\(\Delta y_i\) і\(\Delta z_i\) дають розміри прямокутного твердого тіла в\(x\),\(y\) і\(z\) напрямках відповідно. Підсумовуючи обсяги всіх\(n\) твердих тіл, отримаємо\(V\) наближення обсягу\(D\):
$$V\ приблизно\ sum_ {i=1} ^n\ Delta v_i =\ sum_ {i=1} ^n\ Delta x_i\ Delta y_i\ Delta z_i.\]

\(||\Delta D||\)Дозволяти представляти довжину найдовшої діагоналі прямокутних тіл у підрозділі\(D\). Як\(||\Delta D||\to 0\), обсяг кожного твердого тіла йде до 0, як і кожного з\(\Delta x_i\),\(\Delta y_i\) і\(\Delta z_i\), для всіх\(i\). Наш досвід обчислення говорить нам, що прийняття межі\(||\Delta D||\to 0\) перетворює наше наближення\(V\) в точний розрахунок\(V\). Перш ніж ми викладемо цей результат у теоремі, ми використовуємо визначення для визначення деяких термінів.

Визначення 106: Потрійні інтеграли, ітераційна інтеграція (частина I)

\(D\)Дозволяти бути замкнутою, обмеженою областю в просторі. \(a\)\(b\)Дозволяти і бути дійсними числами, нехай\(g_1(x)\) і\(g_2(x)\) бути безперервними функціями\(x\), і нехай\(f_1(x,y)\) і\(f_2(x,y)\) бути безперервними функціями\(x\) і\(y\).

1. \(V\)Обсяг\(D\) позначається потрійним інтегралом, $$V =\ IIInt_d dV. $$
2. Ітераційний інтеграл\( \int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}\int_{f_1(x,y)}^{f_2(x,y)} dz \, dy \, dx\) оцінюється як
   $$\ int_a^b\ int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)}\ int_ {f_1 (x, y)} ^ {f_2 (x, y)} dz\, dy\, dx=\ int_a^b\ int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)}\ ліворуч (\ int_ {f_1 (x, y)} ^ {f_2 (x, y)} дз\ вправо) dy\, dx. $$
   Оцінка вищенаведеного ітераційного інтеграла є потрійною інтеграцією.

Наше неформальне розуміння позначення\(\iiint_D dV\) - «підсумувати багато маленьких томів над»\(D\), аналогічно нашому розумінню\(\iint_R dA\) і\(\iint_R\ dm\).

Зараз ми викладемо основну теорему цього розділу.

Теорема 125 Потрійна інтеграція (Частина I)

\(D\)Дозволяти бути замкнутою, обмеженою областю в просторі і нехай\(\Delta D\) бути будь-який підрозділ\(D\) на\(n\) прямокутні тіла, де\(i^\text{th}\) субобласть\(D_i\) має розміри\(\Delta x_i\times\Delta y_i\times\Delta z_i\) і об'єм\(\Delta V_i\).

1. Обсяг\(V\)
   $V =\ IIInt_D дВ =\ lim_ {||\ Дельта Д||\ to0}\ sum_ {i=1} ^n\ Дельта v_i =\ lim_ {||\ Дельта Д||\ to0}\ sum_ {i=1} ^n\ Дельта x_i\ Дельта y_i\ Дельта z_i.$$\(D\)
2. Якщо\(D\) визначається як область, обмежена площинами\(x=a\) і\(x=b\), циліндрами\(y=g_(x)\) і\(y=g_2(x)\), і поверхнями\(z=f_1(x,y)\) і\(z=f_2(x,y)\), де\(a<b\),\(g_1(x)\leq g_2(x)\) і\(f_1(x,y)\leq f_2(x,y)\) далі\(D\), то
   $$\ IIint_d dV =\ int_a^b\ int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x) )}\ int_ {f_1 (x, y)} ^ {f_2 (x, y)} дз\, ди\, дх. $$
3. \(V\)можна визначити за допомогою ітераційної інтеграції з іншими порядками інтеграції (всього 6), якщо\(D\) визначається областю, укладеною парою площин, парою циліндрів та парою поверхонь.

Ми оцінювали площину області\(R\) шляхом ітераційної інтеграції, де межі були «від кривої до кривої, потім від точки до точки». Теорема 125 дозволяє знайти об'єм просторової області з ітераційним інтегралом з межами «від поверхні до поверхні, потім від кривої до кривої, потім від точки до точки». У ітераційному інтегралі

\[\int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}\int_{f_1(x,y)}^{f_2(x,y)} dz \, dy \, dx,\]

межі\(a\leq x\leq b\) і\(g_1(x)\leq y\leq g_2(x)\) визначити область\(R\) в\(x\) -\(y\) площині, над якою область\(D\) існує в просторі. Однак ці межі також визначають поверхні в просторі;\(x=a\) є площиною і\(y=g_1(x)\) є циліндром. Поєднання цих 6 поверхонь укладають, і визначають,\(D\).

Приклади допоможуть нам зрозуміти потрійну інтеграцію, включаючи інтеграцію з різними порядками інтеграції.

Приклад\(\PageIndex{2}\): Finding the volume of a space region with triple integration

Знайти обсяг просторової області в\(1^{\,st}\) октанті, обмеженій площиною\(z=2-y/3-2x/3\), зображеної на малюнку 13.38 (а), використовуючи порядок інтеграції\(dz \, dy \, dx\). Налаштуйте потрійні інтеграли, які дають обсяг в інших 5 порядках інтеграції.

Рішення

Починаючи з порядку інтеграції\(dz \, dy \, dx\), нам потрібно спочатку знайти межі по\(z\). Область\(D\) обмежена нижче площиною\(z=0\) (тому що ми обмежені першим октантом) і вище по\(z=2-y/3-2x/3\);\(0\leq z\leq 2-y/3-2x/3\).

Щоб знайти межі на\(y\) і\(x\), ми «згортаємо» область на\(x\) -\(y\) площину, даючи трикутник, показаний на малюнку 13.38 (б). (Ми знаємо рівняння\(y=6-2x\) прямої двома способами. По-перше, встановивши\(z=0\), ми маємо\(0 = 2-y/3-2x/3 \Rightarrow y=6-2x\). По-друге, ми знаємо, що це буде пряма лінія між точками\((3,0)\) і\((0,6)\) в\(x\) -\(y\) площині.)

Малюнок 13.38: Область D, використана в прикладі 13.6.2 в (a); в (b) - область, знайдена шляхом згортання D на площину xy.

Ми визначаємо цей регіон\(R\), в порядку інтеграції\(dy \, dx\), з межами\(0\leq y\leq 6-2x\) і\(0\leq x\leq 3\). При цьому\(V\) обсяг області\(D\) становить:

\ [\ почати {вирівнювати*}
V &=\ IIint_D дВ\\
&=\ int_0^3\ int_0^ {6-2x}\ int_0^ {2-\ розриву 13y-\ frac 23x} дз ди дз\\
&=\ int_0^3\ int_0^ {6-2x}\ ліворуч (\ int_0^ {2-\ Frac 13y-\ гідророзриву 23x} дз\ право) ди дз\\
&=\ int_0^3\ int_0^ {6-2x} z\ Big|_0^ {2-\ FRAC 13y-\ FRAC 23x} ди дз\\
&=\ int_0^3\ int_0^ {6-2x}\ лівий (2-\ розрив 13y-\ FRAC 23x\ праворуч) ди дз. \ end {align*}\]
З цього кроку ми оцінюємо подвійний інтеграл, як це робилося багато разів раніше. Пропускаємо ці кроки і надаємо остаточний обсяг
\[= 6\text{u}^3. \]

, порядок\(dz \, dx \, dy\):

Тепер розглянемо обсяг, використовуючи порядок інтеграції\(dz \, dx \, dy\). Межі на\(z\) ті ж, що і раніше,\(0\leq z\leq 2-y/3-2x/3\). Згорнувши область простору на\(y\) площині\(x\) - як показано на малюнку 13.38 (б), ми зараз опишемо цей трикутник з порядком інтеграції\(dx dy\). Це дає межі\(0\leq x\leq 3-y/2\) і\(0\leq y\leq 6\). Таким чином, обсяг задається потрійним інтегралом.

\[V = \int_0^6\int_0^{3-\frac12y}\int_0^{2-\frac13y-\frac23x} dz \, dx \, dy.\]

Порядок\(dx \, dy \, dz\):

Слідуючи нашій стратегії «поверхня до поверхні\(\ldots\)», нам потрібно визначити\(x\) - поверхні, які обмежували наш космічний регіон. Для цього підійдіть до регіону «ззаду», в бік збільшення\(x\). Перша поверхня, яку ми потрапляємо під час входу в область,\(y\) - це\(z\) площина, визначена\(x=0\). Виходимо з регіону в літаку\(z=2-y/3-2x/3\); вирішуючи для\(x\), ми маємо\(x= 3-y/2-3z/2\). Таким чином, межі\(x\) на:\(0\leq x\leq 3-y/2-3z/2\).

Малюнок 13.39: Область D у прикладі 13.6.2 згорнута на площину y-z у (a); в (b) область згорнута на площину x-z.

Тепер згорніть область простору на\(z\) площину\(y\) -, як показано на малюнку 13.39 (а). (Знову знаходимо рівняння прямої,\(z=2-y/3\) встановивши\(x=0\) в рівнянні\(x=3-y/2-3z/2\).) Нам потрібно знайти межі по цьому регіону з замовленням\(dy dz\). Криві, які\(y\) пов'язані є\(y=0\) і\(y=6-3z\); точки, які\(z\) пов'язані 0 і 2. Таким чином, потрійний інтеграл, що надає обсяг, є:

\ [\ begin {масив} {cc}
\ begin {масив} {c}
0\ leq x\ leq 3-y/2-3z/2\\
0\ leq y\ leq 6-3z\
0\ leq z\ leq 2
\ end {масив}
&
\\ правий\ quad\ int_0^2\ int_0^ {6-3z}\ int_0^ {3-y/3^ z/2} дх\, ди\, дз.
\ end {масив}
\]

Порядок\(dx \, dz \, dy\):

\(x\)-bounds такі ж, як і порядок вище. Розглянемо тепер трикутник на малюнку 13.39 (а) і опишемо його порядком\(dz dy\):\(0\leq z\leq 2-y/3\) і\(0\leq y\leq 6\). Таким чином, обсяг задається:
$\ begin {масив} {cc}
\ begin {масив} {c}
0\ leq x\ leq 3-y/2-3z/2\\
0\ leq z\ leq 2-y/3\
leq y\ leq 6
\ end {масив}
&
\ Rightarrow\ quad\ int_0^6\ int_0^ {2-y/3}\ int_0^ {3-у/2-3z/2} дх\, дз\, ди.
\ end {масив}
\]

Порядок\(dy dz dx\):

Тепер нам потрібно визначити\(y\) -поверхні, які визначають наш регіон. Наближаючись до космічної області «ззаду» і рухаючись у напрямку збільшення\(y\), ми спочатку входимо в область на\(y=0\), і виходимо уздовж площини\(z= 2-y/3-2x/3\). Вирішуючи для\(y\), ця площина має рівняння\(y = 6-2x-3z\). Таким чином\(y\) має межі\(0\leq y\leq 6-2x-3z\).

Тепер згорніть область на\(z\) площину\(x\) -, як показано на малюнку 13.39 (б). Криві, що обмежують цей трикутник\(x\), є\(z=0\) і\(z=2-2x/3\); обмежується точками\(x=0\) до\(x=3\). Таким чином, потрійний інтеграл дає обсяг:
$\ begin {масив} {cc}
\ begin {масив} {c}
0\ leq y\ leq 6-2x-3z\\
0\ leq z\ leq 2-2x/3\\
0\ leq x\ leq 3\ leq 3
\ end {масив}
&
\ Rightarrow\ quad\ int_0^3\ int_ 0^ {2-2x/3}\ int_0^ {6-2x-3z} ди дз дх.
\ end {масив}
\]

Порядок\(dy \, dx \, dz\):

Межі\(y\) -ті ж, що і в порядку вище. Тепер визначаємо межі трикутника на малюнку 13.39 (б) за допомогою порядку\(dy \, dx \, dz\). \(x\)обмежується\(x=0\) і\(x=3-3z/2\);\(z\) обмежується між\(z=0\) і\(z=2\). Це призводить до потрійного інтегралу:

\ [\ begin {масив} {cc}
\ почати {масив} {c}
0\ leq y\ leq 6-2x-3z\\
0\ leq x\ leq 3-3z/2\\
0\ leq z\ leq 2\ leq 2
\ end {масив}
&
\ quad\ int_0^2\ int_0^ {3-3z/2}\ int_0^ {3-3z/2}\ int_0^ 3з} ди\, дх\, дз.
\ end {масив}
\]

Ця проблема була довгою, але, сподіваюся, корисною, демонструючи, як визначити межі з кожним порядком інтеграції для опису регіону\(D\). На практиці нам потрібно лише 1, але можливість зробити їх все дає нам гнучкість у виборі порядку, який нам найбільше підходить.

У попередньому прикладі ми згорнули поверхню в\(x\) -\(y\), - і\(x\)\(y\) -\(z\) площини\(z\), коли ми визначили межі інтеграції «крива до кривої, точка до точки». Оскільки поверхня була трикутною частиною площини, це руйнування, або проекція, було простим: проекція прямої лінії в просторі на координатну площину є лінією.

Наступний приклад показує нам, як це зробити при роботі з більш складними поверхнями та кривими.

Приклад\(\PageIndex{3}\): Finding the projection of a curve in space onto the coordinate planes

Розглянемо поверхні\(z=3-x^2-y^2\) і\(z=2y\), як показано на малюнку 13.40 (а). Показана крива їх перетину разом з проекцією цієї кривої в координатні площини, показана пунктирною. Знайдіть рівняння проекцій в координатні площини.

Малюнок 13.40: Знаходження проекцій кривої перетину в прикладі 13.6.3.

Рішення

Дві поверхні -\(z=3-x^2-y^2\) і\(z=2y\). Щоб знайти, де вони перетинаються, природно встановити їх рівними один одному:\(3-x^2-y^2=2y\). Це неявна функція\(x\) і\(y\) яка дає всі точки\((x,y)\) в\(x\) -\(y\) площині, де\(z\) значення двох поверхонь рівні.

Ми можемо переписати цю неявну функцію, заповнивши квадрат:
$3-x^2-y^2=2y\ quad\ RightArrow\ quad y^2y+x^2y+x^2=3\ quad\ RightArrow\ quad (y+1) ^2+x^2=4. $$
Таким чином, в\(x\) -\(y\) площині проекцією перетину є коло з радіусом 2, по центру\((0,-1)\).

Для проектування на\(z\) площину\(x\) - робимо аналогічну процедуру: знаходимо\(z\) значення\(x\) і, де\(y\) значення на поверхні однакові. Починаємо з вирішення рівняння кожної поверхні для\(y\). У цьому конкретному випадку, це добре, щоб насправді вирішити для\(y^2\):

\(z=3-x^2-y^2 \quad \Rightarrow \quad y^2=3-x^2-z\)
\(z=2y \quad \Rightarrow \quad y^2=z^2/4\).

Таким чином, ми маємо (після повторного завершення квадрата):
$3-x^2-z = z^2/4\ quad\ Rightarrow\ quad\ frac {(z+2) ^2} {16} +\ frac {x^2} 4=1, $$
і еліпс з центром\((0,-2)\) в\(x\) -\(z\) площині з великою віссю довжини 8 і незначною віссю довжини 4.

Нарешті, щоб спроектувати криву перетину в\(z\) площину\(y\) -, вирішуємо рівняння для\(x\). Оскільки\(z=2y\) це циліндр, якому не вистачає змінної\(x\), він стає нашим рівнянням проекції в\(y\) -\(z\) площині.

Всі три проекції показані на малюнку 13.40 (б).

Приклад\(\PageIndex{4}\): Finding the volume of a space region with triple integration

Встановіть потрійні інтеграли, які знаходять об'єм простору області,\(D\) обмеженої поверхнями\(x^2+y^2=1\),\(z=0\) і\(z=-y\), як показано на малюнку 13.41 (a), з порядками інтеграції\(dz \, dy \, dx\),\(dy \, dx \, dz\) і\(dx \, dz \, dy\).

Малюнок 13.41: Область D у прикладі 13.6.4 показана в (a); в (b) вона згорнута на площину xy.

Рішення

Порядок\(dz \, dy \, dx\):

Область\(D\) обмежена нижче площиною\(z=0\) і вище площиною\(z=-y\). Циліндр\(x^2+y^2=1\) не пропонує жодних меж у\(z\) напрямку -напрямку, оскільки ця поверхня паралельна\(z\) -осі. Таким чином\(0\leq z\leq -y\).

Згорнувши область в\(x\) -\(y\) площину, отримуємо частину кола з рівнянням,\(x^2+y^2=1\) як показано на малюнку 13.41 (б). Як функція цього\(x\) півкола має рівняння\(y=-\sqrt{1-x^2}\). Таким\(y\) чином, нижче\(-\sqrt{1-x^2}\) і вище обмежується\(y=0\):\(-\sqrt{1-x^2}\leq y\leq 0\). \(x\)Межі півкола є\(-1\leq x\leq 1\). Всі разом межі інтеграції та потрійного інтегралу такі:

\ [\ begin {масив} {cc}
\ почати {масив} {c}
0\ leq z\ leq z\ leq -y\\
-\ sqrt {1-x^2}\ leq 0\\
-1\ leq x
\ leq 1\ end {масив}
&
\ quad\ int_ {-1} ^1\ int_ {-\ sqrt {1-x^2} ^ {0}\ int_0^ {-y} дз\, ди\, дх.
\ end {масив}
\]

Оцінимо цей потрійний інтеграл:

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ int_ {-1} ^1\ int_ {-\ sqrt {1-x^2}} ^ {0}\ int_0^ {-y} dz\, dy\, dx &=\ int_ {-1} ^1\ int_ {-\ sqrt {1-x^2}} ^ {0}\ великий (-у\ великий)\
&=\ int_ {-1} ^1\ великий (-\ frac12y^2\ великий)\ Великий|_ {-\ sqrt {1-x^2}} ^ {0} dx\
&=\ int_ {-1} ^1\ frac12\ великий (1-x^2\ великий) dx\\
&=\ ліворуч. \ ліворуч (\ frac12\ ліворуч (x-\ frac13x^3\ праворуч)\ праворуч)\ праворуч | _ {-1} ^1\
&=\ frac23\ text {одиниці} ^3.
\ end {вирівнювати*}\]

З замовленням\(dy \, dx \, dz\):

Область обмежена «внизу» в\(y\) -напрямку поверхнею\(x^2+y^2=1 \Rightarrow y=-\sqrt{1-x^2}\) і «вище» поверхнею\(y=-z\). Таким чином\(y\) межі є\(-\sqrt{1-x^2}\leq y\leq -z\).

Малюнок 13.42: Область D у прикладі 13.6.4 показана згорнутою на площину x-z у (a); в (b) вона згорнута на площину y-z.

Згортання області на\(z\) площину\(x\) - дає область, показану на малюнку 13.42 (a); ця половина кола має рівняння\(x^2+z^2=1\). (Знаходимо цю криву, вирішивши кожну поверхню для\(y^2\), потім встановивши їх рівними один одному. У нас є\(y^2=1-x^2\) і\(y=-z\Rightarrow y^2=z^2\). Таким чином\(x^2+z^2=1\).) Він обмежений нижче\(x=-\sqrt{1-z^2}\) і вище по\(x=\sqrt{1-z^2}\), де\(z\) обмежений\(0\leq z\leq 1\). Всі разом ми маємо:

\ [\ почати {масив} {cc}
\ почати {масив} {c}
-\ sqrt {1-x^2}\ leq y\ leq -z\\
-\ sqrt {1-z^2}\ leq x\ leq\ sqrt {1-z^2}\\
leq z\ leq 1
\ end {масив}
&
\ Rightarrow\ quad\ int_ {0} ^1\ int_ {-\ sqrt {1-z^2}} ^ {\ sqrt {1-z^2}}\ int_ {-\ sqrt {1-x^2}} ^ {-z} ди\, дх\, дз.
\ end {масив}
\]

З замовленням\(dx \, dz \, dy\):

\(D\)обмежується знизу поверхнею\(x=-\sqrt{1-y^2}\) і вище\(\sqrt{1-y^2}\). Потім згортаємо область на\(z\) площину\(y\) - і отримуємо трикутник, показаний на малюнку 13.42} (b). (Гіпотенуза - це лінія\(z=-y\), так само, як площина.) Таким чином\(z\)\(y\) обмежується\(0\leq z\leq -y\) і обмежується\(-1\leq y\leq 0\). Це дає:

\ [\ begin {масив} {cc}
\ почати {масив} {c}
-\ sqrt {1-y^2}\ leq x\ leq\ sqrt {1-y^2}\
\ leq z\ leq -y\
-1\ leq 0
\ end {масив}
&
\ Rightarrow\ quad\ int_ {-1} ^0\ int_ {0} {-y}\ int_ {-\ sqrt {1-y^2}} ^ {\ sqrt {1-y^2}} дх\ , дз\, ди.
\ end {масив}
\]

Наступна теорема стверджує дві речі, які повинні мати «здоровий глузд» для нас. По-перше, за допомогою потрійного інтеграла для пошуку об'єму області завжди\(D\) слід повертати додатне число; тут ми обчислюємо обсяг, а не підписаний том. По-друге, щоб обчислити обсяг «складної» області, ми могли б розбити його на субрегіони і обчислити обсяги кожного субрегіону окремо, підсумовуючи їх пізніше, щоб знайти загальний обсяг.

ТЕОРЕМА 126: Властивості потрійних інтегралів

\(D\)Дозволяти бути замкнутий, обмежена область в просторі, і нехай\(D_1\) і\(D_2\) бути не перекриваються області такі, що\(D=D_1\bigcup D_2\).

1. \( \iiint_D dV \geq 0\)
2. \( \iiint_D dV = \iiint_{D_1} dV + \iiint_{D_2} dV.\)

Ми використовуємо цю останню властивість в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{5}\): Finding the volume of a space region with triple integration

Знайдіть обсяг простору області,\(D\) обмеженого координатними площинами,\(z=1-x/2\) і\(z=1-y/4\), як показано на малюнку 13.43 (а). Налаштуйте потрійні інтеграли, які знаходять обсяг\(D\) у всіх 6 порядках інтеграції.

Малюнок 13.43: Область D у прикладі 13.6.5 показана в (a); в (b) вона згорнута на площину xy.

Рішення
Виконуючи межі - визначаючи стратегію «поверхня на поверхню, крива до кривої та точка до точки», ми бачимо, що найскладніші порядки інтеграції - це два, в яких ми інтегруємо щодо\(z\) першої, оскільки є дві «верхні» поверхні, які пов'язані\(D\) в\(z\) -напрямку. Отже, ми почнемо з того, що ми маємо

\[0\leq z\leq 1-\frac12x \quad\text{and}\quad 0\leq z\leq 1-\frac14y.\]

Тепер згортаємо область\(D\) на\(y\) вісь\(x\) -, як показано на малюнку 13.43 (b). Межа\(D\), лінія від\((0,0,1)\) до\((2,4,0)\), показана в частині (b) фігури у вигляді пунктирної лінії; вона має рівняння\(y=2x\). (Ми можемо розпізнати це двома способами: один, згортаючи лінію від\((0,0,1)\) до\((2,4,0)\) на\(y\) площину\(x\) -, ми просто ігноруємо\(z\) -значення, тобто лінія тепер йде від\((0,0)\) до\((2,4)\). По-друге, дві поверхні зустрічаються там, де\(z=1-x/2\) дорівнює\(z=1-y/4\): таким чином\(1-x/2=1-y/4 \Rightarrow y=2x.\))

Ми використовуємо другу властивість теореми 126, щоб стверджувати, що

\[\iiint_D dV = \iiint_{D_1} dV + \iiint_{D_2} dV,\]

де\(D_1\) і\(D_2\) є області простору над площинами областей\(R_1\) і\(R_2\), відповідно. Таким чином, можна сказати

\[\iiint_D dV = \iint_{R_1}\left(\int_0^{1-x/2} dz\right)dA + \iint_{R_2}\left(\int_0^{1-y/4} dz\right)dA.\]

Залишилося лише визначити межі\(R_1\) і\(R_2\), залежно від того, інтегруємося ми з порядком\(dx dy\) чи\(dy \, dx\). Ми наводимо остаточні інтеграли тут, залишаючи його читачеві для підтвердження цих результатів.

\(dz \, dy \, dx\):
$\ почати {масив} {ccccc}
&\ почати {масив} {c}
0\ leq z\ leq 1-x/2\
0\ leq y\ leq 2x\
0\ leq x\ leq 2\ leq 2
\ end {масив}
&
\ почати {масив} {c}
0\ leq z\ leq 1-y/4\\
2x\ leq y\ leq 4\\
0\ leq х\ leq 2
\ кінець {масив}\\

\ IIInt_D дВ &=&\ int_0^2\ int_0^ {2x}\ int_0^ {1-x/2} dz\, dy\, dx &+&\ int_0^2\ int_ {2x} ^4\ int_4\ int_0^ {1-y/4} dz\, dy\, dx
\ end {масив}
\]

\(dz \, dx \, dy\):
$\ begin {масив} {ccccc}
&\ почати {масив} {c}
0\ leq z\ leq 1-x/2\
y/2\ leq x\ leq 2\ leq 2\
0\ leq y\ leq 4
\ end {масив}
&
\ почати {масив} {c}
0\ leq z\ leq 1-y/4\\
0\ leq х\ leq y/2\\
0\ leq y\ leq 4
\ end {масив}\\

\ IIInt_D дВ &=&\ int_0^4\ int_ {y/2} ^ {2}\ int_0^ {1-x/2} dz\, dx\, dy &+&\ int_0^4\ int_ {0} ^ {y/2}}\ int_0^ {1-y/4} дз\, дх\, ди
\ end {масив}
\]

Решта чотири порядку інтеграції не вимагають суми потрійних інтегралів. На малюнку 13.44 ми показуємо\(D\) згорнуті на дві інші координатні площини. Використовуючи ці графіки, ми наводимо тут остаточні порядки інтеграції, знову залишаючи це читачеві для підтвердження цих результатів.

Малюнок 13.44: Область D у прикладі 13.6.5 показана згорнутою на площину x-z у (a); в (b) вона згорнута на площину y-z.

\(dy \, dx \, dz\):
$$\ begin {масив} {cc}
\ почати {масив} {c}
0\ leq y\ leq 4-4z\\
0\ leq x\ leq 2-2z\\
0\ leq z\ leq 1
\ end {масив}
&
\ Стрілка вправо\ int_0^1\ int_ {0} ^ {2-2z}\ int_0^ {4-4z}, дх\, дз
\ end {масив}
$$

\(dy dz dx\):
$$\ begin {масив} {cc}
\ begin {масив} {c}
0\ leq y\ leq 4-4z\\
0\ leq z\ leq 1-x/2\\
0\ leq x\ leq 2\ leq 2
\ end {масив}
& ;
\ Стрілка вправо\ int_0^2\ int_ {0} ^ {1-x/2}\ int_0^ {4-4z} dy\, dx\, dz
\ end {масив}
\]

\(dx \, dy \, dz\):
$$\ begin {масив} {cc}
\ почати {масив} {c}
0\ leq x\ leq 2-2z\\
0\ leq y\ leq 4-4z\\
0\ leq z\ leq 1
\ end {масив}
&
\\ Стрілка вправо\ int_0^1\ int_ {0} ^ {4-4z}\ int_0^ {2-2z}, ди\, дз
\ end {масив}
\]

\(dx \, dz \, dy\):
$$\ почати {масив} {cc}
\ почати {масив} {c}
0\ leq x\ leq 2-2z\\
0\ leq z\ leq 1-y/4\
0\ leq y
\ leq 4\ leq 4
\ leq 4\ leq 4\ int_0^ {0} ^ {1-y/4}\ int_0^ {2-2z}, дз\, ди

\ end {масив}
\]

Наведемо ще один приклад знаходження обсягу космічної області.

Приклад\(\PageIndex{6}\): Finding the volume of a space region

Встановіть потрійний інтеграл, який дає об'єм простору області,\(D\) обмеженої\(z= 2x^2+2\) і\(z=6-2x^2-y^2\). Ці поверхні нанесені на рис. 13.45 (а) і (б) відповідно; область\(D\) показана в частині (с) малюнка.

Малюнок 13.45: Область D обмежена поверхнями, показаними в (a) і (b); D показано в (c).

Рішення
Основний момент цього прикладу полягає в наступному: інтеграція щодо\(z\) першого досить проста; інтеграція щодо\(x\) першого - це не так.

Порядок\(dz \, dy \, dx\):

Межі на\(z\) чітко\(2x^2+2\leq z\leq 6-2x^2-y^2\). Згортання\(D\) на\(y\) площину\(x\) - дає еліпс, показаний на малюнку 13.45 (с). Рівняння цього еліпса знаходять шляхом встановлення двох поверхонь, рівних один одному:

\[2x^2+2 = 6-2x^2-y^2\quad \Rightarrow\quad 4x^2+y^2=4\quad \Rightarrow\quad x^2+\frac{y^2}4=1.\]

Ми можемо описати цей еліпс за допомогою меж

\[-\sqrt{4-4x^2} \leq y\leq \sqrt{4-4x^2}\quad \text{and}\quad -1\leq x\leq 1.\]

Таким чином, ми знаходимо обсяг як

\ [\ begin {масив} {cc}
\ почати {масив} {c}
2x^2+2\ leq z\ leq 6-2x^2-y^2\\ [2pt]
-\ sqrt {4-4x^2}\ leq y\ sqrt {4-4x^2}\\ [2pt]
-1\ leq x\ leq 1
\ end {масив}
&
\ правий рядок\ int_ {-1} ^1\ int_ {-\ sqrt {4-4x^2}} ^ {\ sqrt {4-4x ^2}}\ int_ {2x^2+2} ^ {6-2x^2-y^2} dz\, dy\, dx
\ end {масив}.
\]

Порядок\(dy dz dx\):

Інтеграція щодо\(y\) не надто складна. Оскільки поверхня\(z=2x^2+2\) являє собою циліндр, директриса якого є\(y\) -віссю, вона не створює кордону для\(y\). Параболоїд\(z=6-2x^2-y^2\) робить; вирішуючи для\(y\), отримуємо межі

\[-\sqrt{6-2x^2-z}\leq y\leq \sqrt{6-2x^2-z}.\]

Згортання\(D\) на\(z\) осі\(x\) - дає область, показану на малюнку 13.46 (а); нижня крива - від циліндра, з рівнянням\(z=2x^2+2\). Верхня крива - від параболоїда; з\(y=0\), крива є\(z=6-2x^2\). Таким чином межі на\(z\) є\(2x^2+2\leq z\leq 6-2x^2\); межі на\(x\) є\(-1\leq x\leq 1\). Таким чином, ми маємо:

\ [\ почати {масив} {cc}
\ почати {масив} {c}
-\ sqrt {6-2x^2-z}\ leq y\ leq\ sqrt {6-2x^2-z}\\ [2pt]
2x^2+2\ leq z\ leq 6-2x^2\\ [2pt]
-1\ leq x
\ leq 1\ end {масив}
&
\ правий рядок\ _ {-1} ^1\ int_ {2x^2+2} ^ {6-2x^2}\ int_ {-\ sqrt {6-2x^2-z}} ^ {\ sqrt {6-2x^2-z}} ді дз х.
\ end {масив}
\]

Порядок\(dx \, dz \, dy\):

Цей порядок вимагає більше зусиль, оскільки\(D\) його потрібно розділити на два субрегіони. Дві поверхні створюють дві множини верхньої/нижньої меж за термінами\(x\); циліндр створює межі $$-\ sqrt {z/2-1}\ leq x\ leq\ sqrt {z/2-1} $$ для області,\(D_1\) а параболоїд створює межі

\[-\sqrt{3-y^2/2-z^2/2}\leq x\leq \sqrt{3-y^2/2-z^2/2}\]

для регіону\(D_2\).

Малюнок 13.46: Область D у прикладі 13.6.6 згорнута на площину x-z у (a); в (b) вона згорнута на площину y-z.

Згортання\(D\) на\(y\) -\(z\) осі дає області, показані на малюнку 13.46 (б). Знаходимо рівняння кривої,\(z=4-y^2/2\) зазначивши, що рівняння еліпса, показане на малюнку 13.45 (с), має рівняння

\[x^2+y^2/4=1 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{1-y^2/4}.\]

Замініть цей вираз\(x\) в рівняння поверхні,\(z=6-2x^2-y^2\) або\(z=2x^2+2\). В обох випадках ми знаходимо

\[z=4-\frac12y^2.\]

Регіон\(R_1\), що відповідає\(D_1\), має межі $$2\ leq z\ leq 4-y^2/2,\ quad -2\ leq y\ leq 2$$ і область\(R_2\), відповідна\(D_2\), має межі $$4-y^2/2\ leq z\ leq 6-y^2,\ quad -2\ leq y\ leq 2.$$ Таким чином, обсяг\(D\) задається:
$$\ int_ {-2} ^2\ int_2^ {4-р^2/2}\ int_ {-\ sqrt {z/2-1}} ^ {\ sqrt {z/2-1}} дх\, дз\, ди\ +\ int_ {-2} ^2\ int_ {4-й^2/2} ^ {6-и^2}\ int_ {-\ sqrt {3-y^2/2-z^2/2}} ^ {\ sqrt {3-y^2/2-z^2/2}} дх\, дз\, ди.\]

Якби все, хто хотів зробити в прикладі 13.6.6, було знайти обсяг регіону\(D\), можна було б, швидше за все, зупинився на першому налаштуванні інтеграції (з порядком\(dz \, dy \, dx\)) і обчислив обсяг звідти. Однак ми включили інші два методи 1), щоб показати, що це можна зробити, «брудно» чи ні, і 2) тому що іноді нам «доводиться» використовувати менш бажаний порядок інтеграції для того, щоб насправді інтегруватися.

Потрійна інтеграція та функції трьох змінних

Існує використання для потрійної інтеграції, окрім просто пошуку обсягу, так само, як є використання для інтеграції за межами «області під кривою». Ці використання починаються з розуміння того, як інтегрувати функції трьох змінних, що фактично нічим не відрізняється від інтеграції функцій двох змінних. Це призводить нас до визначення, за яким слідує приклад.

Визначення 107 Ітераційна інтеграція, (Частина II)

\(D\)Дозволяти бути замкнутий, обмежена область в просторі, над яким\(g_1(x)\),\(g_2(x)\),\(f_1(x,y)\),\(f_2(x,y)\) і\(h(x,y,z)\) всі безперервні, і нехай\(a\) і\(b\) бути дійсними числами.

Ітераційний інтеграл\( \int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}\int_{f_1(x,y)}^{f_2(x,y)} h(x,y,z) dz \, dy \, dx\) оцінюється як

$$\ int_a^b\ int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)}\ int_ {f_1 (x, y)} ^ {f_2 (x, y)} h (x, y, z) dz\, dy\, dx =\ int_a^b\ int_ {g_1 (x}) {g_2 (x)}\ ліворуч (\ int_ {f_1 (x, y)} ^ {f_2 (x, y)} h (x, y, z) дз\ вправо) ди\, дх.\]

Приклад\(\PageIndex{7}\): Evaluating a triple integral of a function of three variables

Оцінити\( \int_0^1\int_{x^2}^x\int_{x^2-y}^{2x+3y} \big(xy+2xz\big) dz \, dy \, dx.\)

Розв'язок Оцінюємо цей інтеграл за визначенням 107.

\( \int_0^1\int_{x^2}^x\int_{x^2-y}^{2x+3y} \big(xy+2xz\big) dz \, dy \, dx \)
\ (\ почати {вирівнювати*}
&=\ int_0^1\ int_ {x^2} ^x\ ліво (\ int_ {x^2-y} ^ {2x+3y}\ великий (xy+2xz\ великий) дз\ вправо) ди\, дх\\
&=\ int_0^1\ int_ {x^2} ^х\ ліворуч (\\ великий (xyz+ xz+ ^ 2\ великий)\ Великий|_ {x^2-y} ^ {2x+3y}\ праворуч) ди\, дх\\
&=\ int_0^1\ int_ {x^2} ^x\ Бігг (xy (2x+3y ) +х (2x+3y) ^2-\ Великий (x^2-y) +х (х ^ 2-й) ^2\ Великий)\ Великий) ди\, дх\\
&=\ int_0^1\ int_ {х ^ 2} ^х\ Великий (-х ^ 5+х ^3y+4x^3+14x^2y+12xy^2\ Великий) день\, дх. \ end {align*}\)
Ми продовжуємо, як і раніше, показуючи менше кроків.
\ (\ почати {вирівнювати*} &=\ int_0^1\ Bigg (-\ frac72x^7-8x^6-\ frac72x^5+15x^4\ Bigg) х\\
&=\ розрив {281} {336}\ приблизно 0,836.
\ end {вирівнювати*}\)

Тепер ми знаємо, як оцінити потрійний інтеграл функції трьох змінних; ми ще не розуміємо, що це означає. Ми формуємо це розуміння таким чином, як ми зрозуміли інтеграцію та подвійну інтеграцію.

Нехай\(h(x,y,z)\) безперервна функція трьох змінних, визначених у деякій області простору\(D\). Ми можемо\(D\) розділити на\(n\) прямокутні — тверді субобласті, кожна з яких має розміри\(\Delta x_i\times\Delta y_i\times\Delta z_i\). Нехай\((x_i,y_i,z_i)\) буде якийсь момент в\(i^{\,\text{th}}\) субрегіоні, і розглянемо продукт\(h(x_i,y_i,z_i)\Delta x_i\Delta y_i\Delta z_i\). Це добуток значення функції (це\(h(x_i,y_i,z_i)\) частина) і невеликого обсягу\(\Delta V_i\) (це\(\Delta x_i\Delta y_i\Delta z_i\) частина). Одне з найпростіших розуміння цього типу продукту, коли\(h\) описує щільність предмета, на потім\(h\times\text{volume}=\text{mass}\).

Ми можемо підсумувати всі\(n\) продукти по закінченню\(D\). Знову дозволяючи\(||\Delta D||\) представляти довжину найдовшої діагоналі\(n\) прямокутних твердих тіл у перегородці, ми можемо прийняти межу сум виробів як\(||\Delta D||\to 0\). Тобто, ми можемо знайти
$ S =\ lim_ {||\ Дельта Д||\ до 0}\ сума_ {i=1} ^n h (x_i, y_i, z_i)\ Дельта v_i=\ lim_ {||\ Дельта Д||\ до 0}\ сума {i = 1} ^n h (x_i, y_i, z_i)\ Дельта xi i\ Дельта y_i\ Дельта з_и.\]

Хоча ця межа має безліч інтерпретацій залежно від функції\(h\), у випадку, коли\(h\) описує щільність,\(S\) це загальна маса об'єкта, описаного регіоном\(D\).

Тепер ми використовуємо вищевказану межу для визначення потрійного інтеграла, наведемо теорему, яка пов'язує потрійні інтеграли з ітераційною ітерацією з подальшим застосуванням потрійних інтегралів для знаходження центрів мас твердих об'єктів.

Визначення 108 Потрійний Інтеграл

\(w=h(x,y,z)\)Дозволяти бути безперервна функція над замкнутим, обмеженим простором області\(D\), і нехай\(\Delta D\) бути будь-який розділ\(D\) на\(n\) прямокутні тіла з об'ємом\(\Delta V_i\). Потрійним інтегралом\(h\) над\(D\) є
$$\ IIInt_dH (x, y, z) dV =\ lim_ {||\ Дельта D||\ до 0}\ sum_ {i=1} ^n h (x_i, y_i, z_i)\ Дельта v_i.\]

Примітка: Раніше ми показали, як підсумовування прямокутників над\(R\) областю в площині можна розглядати як подвійну суму, що веде до подвійного інтеграла. Так само ми можемо розглядати суму\( \sum_{i=1}^nh(x_i,y_i,z_i)\Delta x_i\Delta y_i\Delta z_i\) як потрійну суму, $$\ sum_ {k=1} ^p\ sum_ {j=1} ^n\ sum_ {i=1} ^mh (x_i, y_j, z_k)\ Delta x_i\ Delta y_j\ Delta z_k, $$ яку ми оцінюємо як

\[\sum_{k=1}^p\left(\sum_{j=1}^n\left(\sum_{i=1}^mh(x_i,y_j,z_k)\Delta x_i\right)\Delta y_j\right)\Delta z_k.\]

Тут ми фіксуємо\(k\) величину, яка встановлює\(z\) -висоту прямокутних тіл на одному «рівні» всіх прямокутних тіл в області простору\(D\). Внутрішнє подвійне підсумовування складає всі обсяги прямокутних тіл на цьому рівні, тоді як зовнішнє підсумовування додає обсяги кожного рівня.

Це розуміння потрійного підсумовування призводить до\(\iiint_D\) позначення потрійного інтеграла, а також методу оцінювання, показаного в теоремі 127.

Наступна теорема запевняє нас, що вищевказана\(h\) межа існує для неперервних функцій і дає нам метод оцінки межі.

теорема 127 Потрійна інтеграція (частина II)

\(w=h(x,y,z)\)Дозволяти бути безперервна функція над замкнутим, обмеженим простором області\(D\), і нехай\(\Delta D\) бути будь-який розділ\(D\) на\(n\) прямокутні тіла з об'ємом\(V_i\).

1. Ліміт\( \lim_{||\Delta D||\to 0}\sum_{i=1}^n h(x_i,y_i,z_i)\Delta V_i\) існує.
   
2. Якщо\(D\) визначається як область, обмежена площинами\(x=a\) і\(x=b\), циліндрами\(y=g_1(x)\) і\(y=g_2(x)\), і поверхнями\(z=f_1(x,y)\) і\(z=f_2(x,y)\), де\(a<b\),\(g_1(x)\leq g_2(x)\) і\(f_1(x,y)\leq f_2(x,y)\) далі\(D\), то
   $$\ IIInt_d h (x, y, z) dV =\ int_a^b\ int_ {g_1 (x )} ^ {g_2 (x)}\ int_ {f_1 (x, y)} ^ {f_2 (x, y)} h (x, y, z) дз\, ди\, дх. $$

Тепер ми застосовуємо потрійну інтеграцію, щоб знайти центри маси твердих предметів.

Маса і центр маси

Можна переглянути розділ 13.4 для нагадування про відповідні терміни та поняття.

Визначення 109 Маса, центр маси твердих тіл

Нехай тверде тіло буде представлено областю\(D\) в просторі зі змінною функцією щільності\(\delta(x,y,z)\).

1. Маса об'єкта є\( M= \iiint_D \ dm=\iiint_D \delta(x,y,z) dV\).
2. Момент про\(x\) -\(y\) літак є\( M_{xy}=\iiint_D z\delta(x,y,z) dV\).
3. Момент про\(x\) -\(z\) літак є\( M_{xz}=\iiint_D y\delta(x,y,z) dV\).
4. Момент про\(y\) -\(z\) літак є\( M_{yz}=\iiint_D x\delta(x,y,z) dV\).
5. Центром маси об'єкта є $$\ big (\ overline {x},\ overline {y},\ overline {z}\ big) =\ лівий (\ frac {M_ {yz}} M,\ frac {xz}} M,\ frac {M_ {xy}} M\ правий) . $$

Приклад\(\PageIndex{8}\): Finding the center of mass of a solid

Знайти масу і центр маси твердого тіла, представленого просторовою областю, обмеженою координатними площинами і\(z=2-y/3-2x/3\), показаним на малюнку 13.47, з постійною щільністю\(\delta(x,y,z)=3\) г/см\(^3\). (Примітка: цей простір було використано в прикладі 13.6.2.)

Малюнок 13.47: Пошук центру маси цього твердого тіла в прикладі 13.6.8.

Рішення
Застосовуємо Визначення 109. У прикладі 13.6.2 ми знайшли межі порядку інтеграції\(dz \, dy \, dx\) бути\(0\leq z\leq 2-y/3-2x/3\),\(0\leq y\leq 6-2x\) і\(0\leq x\leq 3\). Знаходимо масу об'єкта:

\ [\ почати {вирівнювати*}
М &=\ IIint_D\ дельта (x, y, z) дВ\\
&=\ int_0^3\ int_0^ {6-2x}\ int_0^ {2-y/3-2x/3}\ великий (3\ великий) дз\, ди\, дх\\
&= 3\ int_0^3\ int_0^ {6-2^ x}\ int_0^ {2-y/3-2x/3} дз\, ди\, дх\\
&= 3 (6) = 18\ текст {гм}.
\ end {вирівнювати*}\]

Оцінка потрійного інтеграла проводиться в прикладі 13.6.2, тому ми пропустили ці кроки вище. Зверніть увагу, як маса предмета з постійною щільністю - це просто «\(\times\)об'єм щільності».

Тепер ми знаходимо моменти про літаки.

\ [\ почати {вирівнювати*}
М_ {xy} &=\ IIInt_D 3z дВ\\
&=\ int_0^3\ int_0^ {6-2x}\ int_0^ {2-y/3-2x/3}\ великий (3з\ великий) дз\, ди\, дх\\
%&=\ int_0^3\ int_0^ {6-2x}\ frac16\ великий (2x+y-6\ великий) ^2 dy\, dx\\
&=\ int_0^3\ int_0^ {6-2x}\ frac32\ великий (2-й/3-2x/3\ великий) ^2 ди\, дх\\
&=\ int_0^3 -\ фрак49\ великий (х-3\ великий) ^3 дх\\
&= 9.
\ end {вирівнювати*}\]

Ми опускаємо кроки інтеграції, щоб знайти інші моменти.

\ [\ почати {вирівнювати*}
M_ {yz} &=\ IIInt_D 3x дВ\\
&=\ гідророзриву {27} 2. \\
M_ {xz} &=\ IIint_D 3y дВ\\
&= 27.
\ end {вирівнювати*}\]

Центр маси $$\ великий (\ overline {x},\ overline {y},\ overline {z}\ big) =\ лівий (\ frac {27/2} {18},\ frac {27} {18},\ frac {9} {18}\ правий) =\ великий (0.75,1.5,0.5\ big)\].

Приклад\(\PageIndex{9}\): Finding the center of mass of a solid

Знайти центр маси твердого тіла, представленого областю, обмеженою площинами\(z=0\)\(z=-y\) і циліндра\(x^2+y^2=1\), показаного на малюнку 13.48, з функцією щільності\(\delta(x,y,z) = 10+x^2+5y-5z\). (Примітка: цей простір було використано в прикладі 13.6.3.)

Малюнок 13.48: Пошук центру маси цього твердого тіла в прикладі 13.6.9.

Рішення

У міру початку розглянемо функцію щільності. Вона симетрична щодо\(y\) -\(z\) площині, і чим далі рухається від цієї площини, тим щільніше знаходиться об'єкт. Симетрія вказує на те, що\(\overline x\) має бути 0.

Коли людина віддаляється від початку в\(z\) напрямках\(y\) або, об'єкт стає менш щільним, хоча в цих регіонах більше обсягу.

Хоча жоден з інтегралів, необхідних для обчислення центру маси, не є особливо важким, вони вимагають ряду кроків. Тут ми підкреслюємо важливість знання того, як налаштувати правильні інтеграли; у складних ситуаціях ми можемо звернутися до технології для хорошого наближення, якщо не точної відповіді. Ми використовуємо порядок інтеграції\(dz \, dy \, dx\), використовуючи межі, знайдені в прикладі 13.6.4. (Оскільки вони однакові для всіх чотирьох потрійних інтегралів, ми явно показуємо межі лише для\(M\).)

\ [\ почати {вирівнювати*}
М &=\ IIint_D\ великий (10+x^2+5y-5z\ великий) dV\\
&=\ int_ {-1} ^1\ int_ {-\ sqrt {1-x^2}} ^0\ int_0^ {-y}\ великий (10+x^2+5y-5z\ великий) dV\\
&=\ гідророзриву {64} 5-\ гідророзриву {15\ pi} {16}\ приблизно 3.855. \\
M_ {yz} &=\ IIInt_D х\ великий (10+x^2+5y-5z\ великий) дВ\\% & M_ {xy} &=\ IIInt_d z\ великий (10+х^2+5y-5z\ великий) дВ & M_ {xz}\\
&=0. \\
M_ {xz} &=\ IIint_d y\ великий (10+x^2+5y-5z\ великий) дВ\\
&= 2-\ гідророзриву {61\ пі} {48}\ приблизно -1,99. \\
M_ {xy} &=\ IIint_d z\ великий (10+x^2+5y-5z\ великий) дВ\\
&=\ гідророзриву {61\ пі} {96} -\ гідророзриву {10} 9\ приблизно 0,885.
\ end {align*}\]
Зауважте\(M_{yz}=0\), як, як і очікувалося. Центр маси
$$\ великий (\ overline {x},\ overline {y},\ overline {z}\ big) =\ лівий (0,\ frac {-1.99} {3.855},\ frac {0.885} {3.855}\ правий)\ приблизно\ великий (0, -0.516, 0.230\ великий)\]

Як зазначалося раніше, існує багато застосувань для потрійної інтеграції, крім пошуку обсягу. Коли\(h(x,y,z)\) описує швидкість зміни функції в деякій області простору\(D\), то\( \iiint_D h(x,y,z) dV\) дає загальну зміну над\(D\). Нашим конкретним прикладом цього була обчислювальна маса; функція щільності - це просто функція «швидкість зміни маси на обсяг». Інтегруюча щільність дає загальну масу.

Хоча важливо знати, як інтегрувати, можливо, набагато важливіше знати, як налаштувати інтеграли. Потрібна майстерність, щоб створити формулу, яка описує бажану кількість; сучасні технології дуже корисні для оцінки цих формул швидко і точно.

У цій главі досліджено природне подальше відношення до часткових похідних: ітераційна інтеграція. Ми навчилися використовувати межі подвійного інтеграла для опису області в площині, використовуючи як прямокутні, так і полярні координати, а потім розширили, щоб використовувати межі потрійного інтеграла для опису області в просторі. Ми використовували подвійні інтеграли для пошуку об'ємів під поверхнями, площею поверхні та центром маси ламіни; ми використовували потрійні інтеграли як альтернативний метод знаходження об'ємів просторових областей, а також для пошуку центру мас області в просторі.

Інтеграція на цьому не припиняється. Ми могли б продовжувати ітерацію наших інтегралів, далі досліджуючи «чотиримісні інтеграли», межі яких описують область в 4-вимірному просторі (які дуже важко візуалізувати). Ми також можемо озирнутися на «регулярну» інтеграцію, де ми знайшли область під кривою в площині. Природним аналогом цього є знаходження «області під кривою», де крива знаходиться в просторі, а не в площині. Це лише два з багатьох шляхів для вивчення під заголовком «інтеграція».