13.1: Ітераційні інтеграли та площа

У попередньому розділі ми виявили, що ми можемо диференціювати функції декількох змінних по відношенню до однієї змінної, розглядаючи всі інші змінні як константи або коефіцієнти. Подібним чином ми можемо інтегрувати функції декількох змінних. Наприклад, якщо нам це кажуть$f_x(x,y) = 2xy$, ми можемо розглядати$y$ як постійність і інтегруватися, щоб отримати$f(x,y)$:

\ [\ почати {вирівнювати*}
f (x, y) &=\ int f_x (x, y)\, dx\\
&=\ int 2xy\, dx\\
&= x^2y + C
\ end {align*}\]

Робіть уважну увагу про постійну інтеграції,$C$. Ця «константа» є чимось$0$ з похідною щодо$x$, тому це може бути будь-який вираз, який містить лише константи та функції$y$. Наприклад, якщо$f(x,y) = x^2y+ \sin y + y^3 + 17$, то$f_x(x,y) = 2xy$. Щоб означати, що насправді$C$ є функцією$y$, ми пишемо:

$$f(x,y) = \int f_x(x,y) \,dx = x^2y+C(y).$$

Використовуючи цей процес, ми можемо навіть оцінити певні інтеграли.

Приклад$\PageIndex{1}$: Integrating functions of more than one variable

Оцініть інтегральне$\displaystyle \int_1^{2y} 2xy \,dx.$

рішення

Ми знаходимо невизначений інтеграл, як і раніше, потім застосовуємо фундаментальну теорему числення для оцінки певного інтеграла:

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ int_1^ {2y} 2xy\, dx &= x^2y\ Big|_1^ {2y}\\
&= (2y) ^2y - (1) ^2y\\
&= 4y^3-y.
\ end {вирівнювати*}\]

Ми також можемо інтегруватися стосовно$y$. Загалом,

$$\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f_x(x,y) \,dx = f(x,y)\Big|_{h_1(y)}^{h_2(y)} = f\big(h_2(y),y\big)-f\big(h_1(y),y\big),$$

і

$$\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f_y(x,y) \,dy = f(x,y)\Big|_{g_1(x)}^{g_2(x)} = f\big(x,g_2(x)\big)-f\big(x,g_1(x)\big).$$

Зверніть увагу, що при інтеграції стосовно$x$, межі є функціями$y$ (форми$x=h_1(y)$ і$x=h_2(y)$), а кінцевий результат також є функцією$y$. При інтеграції щодо$y$, межі є функціями$x$ (форми$y=g_1(x)$ і$y=g_2(x)$) і кінцевим результатом є функція$x$. Ще один приклад допоможе нам розібратися в цьому.

Приклад$\PageIndex{2}$: Integrating functions of more than one variable

Оцінити$\displaystyle \int_1^x\big(5x^3y^{-3}+6y^2\big) \,dy$.

Рішення

Ми вважаємо$x$, що ми залишаємося постійними та інтегруємо щодо$y$:

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ int_1^x\ великий (5x^3y^ {-3} +6y^2\ великий)\, dy & =\ лівий (\ frac {5x^3y^ {-2}} {-2}} +\ frac {6y^3} {3}\ праворуч)\ bigg|_1^x\\
&=\ ліворуч (-\ frac52x^3} x^ {-2} +2x^3\ праворуч) -\ ліво (-\ frac52x^3+2\ праворуч)\\
&=\ frac92x^3-\ frac52x-2.
\ end {вирівнювати*}\]

Зверніть увагу, як межі інтеграла від$y=1$ до$y=x$ і що остаточною відповіддю є функція$x$.

У попередньому прикладі ми інтегрували функцію стосовно$y$ і закінчили з функцією$x$. Ми також можемо інтегрувати це. Цей процес відомий як ітераційна інтеграція, або багаторазова інтеграція.

Приклад$\PageIndex{3}$: Integrating an integral

Оцініть$\displaystyle \int_1^2\left(\int_1^x\big(5x^3y^{-3}+6y^2\big) \,dy\right) \,dx.$

рішення

Ми дотримуємося стандартного «порядку операцій» і спочатку виконуємо операції всередині дужок (який є інтегралом, оціненим у прикладі$\PageIndex{2}$.)

\ [\ begin {align*}
\ int_1^2\ ліворуч (\ int_1^x\ великий (5x^3y^ {-3} +6y^2\ великий)\, ди\ вправо)\, dx &=\ int_1^2\ ліворуч (\ ліворуч [\ frac {5x^3y^ {-2}}} {-2}} +\ frac {6y^3} {3}\ праворуч]\ Біг|_1^х\ праворуч)\, dx\\
&=\ int_1^2\ ліворуч (\ frac92x^3-\ frac52x-2\ праворуч)\, dx\\
&=\ ліворуч (\ frac98x^4-\ frac54 x^2-2x\ праворуч)\ Біг|_1^2\
&=\ розриву {89} 8.
\ end {вирівнювати*}\]

Зверніть увагу, як$x$ були$x=1$ межі,$x=2$ і кінцевий результат був числом.

Попередній приклад показав, як ми могли б виконати те, що називається ітераційним інтегралом; ми ще не знаємо, чому ми були б зацікавлені в цьому і що означає результат, наприклад$89/8$, число. Перш ніж досліджувати ці питання, пропонуємо деякі визначення.

Визначення: Ітераційна інтеграція

Ітераційна інтеграція - це процес багаторазової інтеграції результатів попередніх інтеграцій. Інтеграція одного інтеграла позначається наступним чином.

Дозволяти$a$$b$,$c$ і$d$ бути числа і нехай$g_1(x)$$g_2(x)$,$h_1(y)$ і$h_2(y)$ бути функції$x$ і$y$, відповідно. Потім:

1. $\displaystyle \int_c^d\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) \,dx \,dy = \int_c^d\left(\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) \,dx\right) \,dy.$
2. $\displaystyle \int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \,dy \,dx = \int_a^b\left(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \,dy\right) \,dx.$

Знову зверніть увагу на межі цих ітераційних інтегралів.

С$\displaystyle \int_c^d\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) \,dx \,dy$,$x$ варіюється від$h_1(y)$ до$h_2(y)$, тоді як$y$ варіюється від$c$ до$d$. Тобто межі кривих,$x$ кривих$x=h_1(y)$ і$x=h_2(y)$, тоді як межі$y$ константи,$y=c$ і$y=d$. Корисно пам'ятати, що при налаштуванні та оцінці таких ітераційних інтегралів ми інтегруємо «від кривої до кривої, потім від точки до точки».

Тепер ми починаємо досліджувати, чому нас цікавлять ітераційні інтеграли і що вони означають.

Площа області площини

Розглянемо площину,$R$ обмежену$a\leq x\leq b$ і$g_1(x)\leq y\leq g_2(x)$, показану на малюнку$\PageIndex{1}$. Ми дізналися в розділі 7.1 (в обчисленні I), що площа$R$ задається

$$\int_a^b \big(g_2(x)-g_1(x)\big) \,dx.$$

Рисунок$\PageIndex{1}$: Обчислення площі площини області R з ітераційним інтегралом.

Ми можемо розглядати вираз$\big(g_2(x)-g_1(x)\big)$ як

$$\big(g_2(x)-g_1(x)\big) = \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} 1 \,dy =\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \,dy,\nonumber$$

це означає, що ми можемо виразити область$R$ як ітераційний інтеграл:

$$\text{area of }R = \int_a^b \big(g_2(x)-g_1(x)\big) \,dx = \int_a^b\left(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \,dy\right) \,dx =\int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \,dy \,dx.$$

Коротше кажучи: певний ітераційний інтеграл можна розглядати як дає площину області.

Область також$R$ може бути визначена$c\leq y\leq d$ і$h_1(y)\leq x\leq h_2(y)$, як показано на малюнку$\PageIndex{2}$. Використовуючи процес, подібний до вищевказаного, ми маємо
$$\text{the area of }R = \int_c^d\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} \,dx \,dy.$$

Рисунок$\PageIndex{2}$: Обчислення площі площини області R з ітераційним інтегралом.

Ми констатуємо це формально в теоремі.

ТЕОРЕМА$\PageIndex{1}$: Area of a plane region

1. $R$Дозволяти площині область обмежена$a\leq x\leq b$ і$g_1(x)\leq y\leq g_2(x)$, де$g_1$ і$g_2$ є безперервними функціями на$[a,b]$. Площа$A$ $A =\ int_a^b\ int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)}\, dy\, dx.$R$ $$
2. $R$Дозволяти площині область обмежена$c\leq y\leq d$ і$h_1(y)\leq x\leq h_2(y)$, де$h_1$ і$h_2$ є безперервними функціями на$[c,d]$. Площа$A$ $A =\ int_c^d\ int_ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)}\, dx\, dy.$R$ $$

Наступні приклади повинні допомогти нам зрозуміти цю теорему.

Приклад$\PageIndex{4}$: Area of a rectangle

Знайдіть площу$A$ прямокутника з кутами$(-1,1)$ і$(3,3)$, як показано на малюнку$\PageIndex{3}$.

Рисунок$\PageIndex{3}$: Обчислення площі прямокутника з ітераційним інтегралом у прикладі$\PageIndex{4}$.

Рішення

Багаторазова інтеграція, очевидно, є надмірною в цій ситуації, але ми переходимо до встановлення її використання.

$R$Регіон обмежений$x=-1$$x=3$,$y=1$ і$y=3$. Вибираючи інтеграцію щодо$y$ першого, ми маємо
$$A = \int_{-1}^3\int_1^3 1 \,dy \,dx = \int_{-1}^3 \left(y\ \Big|_1^3\right) \,dx = \int_{-1}^3 2 \,dx = 2x\Big|_{-1}^3=8.\nonumber$$

Ми також могли б інтегруватися щодо$x$ першого, надаючи:
$$A = \int_1^3\int_{-1}^3 1 \,dx \,dy =\int_1^3 \left(x\ \Big|_{-1}^3\right) \,dy = \int_1^3 4 \,dy = 4y\Big|_1^3 = 8.\nonumber$$

Зрозуміло, що існують більш прості способи знайти цю область, але цікаво відзначити, що цей метод працює.

Приклад$\PageIndex{5}$: Area of a triangle

Знайдіть площу$A$ трикутника з вершинами в$(1,1)$,$(3,1)$ і$(5,5)$, як показано на малюнку$\PageIndex{4}$.

Рисунок$\PageIndex{4}$: Обчислення площі трикутника з ітераційними інтегралами у прикладі$\PageIndex{5}$.

Рішення

Трикутник обмежений лініями, як показано на малюнку. Вибір інтеграції щодо$x$ першого дає, що$x$ обмежується$x=y$ до$x = \frac{y+5}2$, а$y$ обмежується$y=1$ до$y=5$. (Нагадаємо, що оскільки$x$ -значення збільшуються зліва направо, крайня ліва крива$x=y$, є нижньою межею і крайньою правою кривою$x=(y+5)/2$, є верхньою межею.) Площа

\ [\ почати {вирівнювати*}
A &=\ int_1^5\ int_ {y} ^ {\ frac {y+5} 2}\, dx\, dx\
&=\ int_1^5\ ліворуч (x\\ big|_y^ {\ frac {y+5} 2}\ праворуч)\, dy\\
&=\ int_1^5\ ліворуч (-\ 12~ y+\ frac52\ праворуч)\, dy\\
&=\ ліворуч (-\ frac14y^2+\ frac52y\ праворуч)\ Big|_1^5\\
& підсилювач; = 4.
\ end {вирівнювати*}\]

Ми також можемо знайти область, інтегруючись щодо$y$ першого. Однак у цій ситуації ми маємо дві функції, які виступають в якості нижньої межі для регіону$R$,$y=1$ і$y=2x-5$. Це вимагає від нас використання двох ітераційних інтегралів. Зверніть увагу, як$x$ -bounds відрізняються для кожного інтеграла:

\ [\ почати {вирівнювати*}
A &=\ int_1^3\ int_1^x 1\, ди\, дх &+& &\ int_3^5\ int_ {2x-5} ^x1\, dy\, dx\\
&=\ int_1^3\ великий (y\ великий)\ big|_1^x\, dx & + &\ int_3\ ^ 5\ великий (у\ великий)\ Біг|_ {2x-5} ^x\, dx\\
&=\ int_1^3\ великий (x-1\ великий)\, dx & + & &\ int_3^5\ великий (-х+5\ великий)\, dx\\
&= 2 & + & & 2\\
&= 4.
\ end {вирівнювати*}\]

Як і очікувалося, ми отримуємо однакову відповідь обома способами.

Приклад$\PageIndex{6}$: Area of a plane region

Знайдіть площу області, укладеної$y=2x$ і$y=x^2$, як показано на малюнку$\PageIndex{5}$.

Рисунок$\PageIndex{5}$: Обчислення площі площини з ітераційними інтегралами у прикладі$\PageIndex{6}$.

Рішення

Ще раз знайдемо область регіону, використовуючи обидва порядку інтеграції.

Використання$\,dy \,dx$:

$$\int_0^2\int_{x^2}^{2x}1 \,dy \,dx = \int_0^2(2x-x^2) \,dx = \big(x^2-\frac13x^3\big)\Big|_0^2 = \frac43.$$

Використання$\,dx \,dy$:

$$\int_0^4\int_{y/2}^{\sqrt{y}} 1 \,dx \,dy = \int_0^4 (\sqrt{y}-y/2) \,dy = \left(\frac23y^{3/2} - \frac14y^2\right)\Big|_0^4 = \frac43.$$

Зміна порядку інтеграції

У кожному з попередніх прикладів ми дали регіон$R$ і знайшли межі, необхідні для пошуку області$R$ використання обох порядків інтеграції. Ми інтегрували, використовуючи обидва порядку інтеграції, щоб продемонструвати їх рівність.

Зараз ми підходимо до навички опису регіону, використовуючи обидва порядку інтеграції з іншої точки зору. Замість того, щоб починати з області і створювати ітераційні інтеграли, ми почнемо з ітераційного інтеграла і перепишемо його в іншому порядку інтеграції. Для цього нам потрібно зрозуміти регіон, в якому ми інтегруємося.

Найпростіший з усіх випадків, коли обидва інтеграли пов'язані константами. Область, описана цими межами, є прямокутником (див. Приклад$\PageIndex{4}$), і так:

$$\int_a^b\int_c^d 1 \,dy \,dx = \int_c^d\int_a^b1 \,dx \,dy.$$

Коли межі внутрішнього інтеграла не є константами, це, як правило, дуже корисно намалювати межі, щоб визначити, що область, яку ми інтегруємо над виглядає. З ескізу ми можемо потім переписати інтеграл з іншим порядком інтеграції.

Приклади допоможуть нам розвинути цю навичку.

Приклад$\PageIndex{7}$: Changing the order of integration

Перепишіть ітераційний інтеграл$\displaystyle \int_0^6\int_0^{x/3} 1 \,dy \,dx$ з порядком інтеграції$\,dx \,dy$.

Рішення

Нам потрібно використовувати межі інтеграції, щоб визначити регіон, над яким ми інтегруємо.

Межі говорять нам,$y$ що обмежений$0$ і$x/3$;$x$ обмежений 0 і 6. Ми будуємо ці чотири криві:$y=0$$y=x/3$,,$x=0$ і$x=6$ знайти область, описану межами. $\PageIndex{6}$На малюнку показані ці криві, вказуючи, що$R$ це трикутник.

Рисунок$\PageIndex{6}$: Ескіз області R, описаної ітераційним інтегралом у прикладі$\PageIndex{7}$.

Щоб змінити порядок інтеграції, нам потрібно розглянути криві, які зв'язали$x$ -значення. Ми бачимо, що нижня$x=3y$ межа є, а верхня межа -$x=6$. Межі на$y$ є$0$$2$. Таким чином, ми можемо переписати інтеграл як$\displaystyle \int_0^2\int_{3y}^6 1 \,dx \,dy.$

Приклад$\PageIndex{8}$: Changing the order of integration

Змініть порядок інтеграції$\displaystyle \int_0^4\int_{y^2/4}^{(y+4)/2}1 \,dx \,dy$.

Рішення

Ми намалюємо область, описану межами, щоб допомогти нам змінити порядок інтеграції. $x$обмежується нижче і вище (тобто ліворуч і праворуч)$x=(y+4)/2$ відповідно$x=y^2/4$ і$y$ обмежується між 0 і 4. Графікуючи попередні криві, ми знаходимо область$R$, яка буде показана на малюнку$\PageIndex{7}$.

Малюнок$\PageIndex{7}$: Малювання регіону, визначеного межами інтеграції у прикладі$\PageIndex{8}$.

Щоб змінити порядок інтеграції, нам потрібно встановити криві, які пов'язані$y$. Цифра дає зрозуміти, що є дві нижні межі для$y$:$y=0$ на$0\leq x\leq 2$, і$y=2x-4$ далі$2\leq x\leq 4$. Таким чином, нам знадобляться два подвійних інтеграла. Верхня межа для кожного є$y=2\sqrt{x}$. Таким чином, ми маємо
$$\int_0^4\int_{y^2/4}^{(y+4)/2}1 \,dx \,dy = \int_0^2\int_0^{2\sqrt{x}} 1 \,dy \,dx + \int_2^4\int_{2x-4}^{2\sqrt{x}}1 \,dy \,dx.\nonumber$$

Цей розділ представив нове поняття, ітераційний інтеграл. Ми розробили одну програму для ітераційної інтеграції: область між кривими. Однак це не нове, оскільки ми вже знаємо, як знайти області, обмежені кривими.

У наступному розділі ми застосовуємо ітераційну інтеграцію для вирішення проблем, які ми зараз не знаємо, як обробляти. «Справжньою» метою цього розділу було не вивчити новий спосіб обчислювальної області. Швидше, наша мета полягала в тому, щоб навчитися визначати область в площині, використовуючи межі ітераційного інтеграла. Ця навичка дуже важлива в наступних розділах.