13.4: Центр Мас

Ми використовували ітераційні інтеграли для пошуку плоских областей та підписаних об'ємів під поверхнями. Короткий підсумок цих застосувань буде корисним у цьому розділі, оскільки ми застосовуємо ітераційні інтеграли для обчислення маси та центру маси плоских областей.

Щоб знайти площу площинної області, ми оцінювали подвійний інтеграл$\displaystyle \iint_R \,dA$. Тобто, підсумовуючи площу безлічі маленьких субрегіонів, нам$R$ дали загальну площу. Неофіційно ми думаємо про значення$\displaystyle \iint_R \,dA$ «підсумувати багато маленьких областей над»$R$.

Щоб знайти підписаний об'єм під поверхнею, ми оцінили подвійний інтеграл$\displaystyle \iint_R f(x,y) \,dA$. Нагадаємо, що "$dA$" - це не просто «bookend» в кінці інтеграла; скоріше, він множиться на$f(x,y)$. Ми розцінюємо$f(x,y)$ як надання висоти, так і$dA$ ще надання площі:$f(x,y) \,dA$ додає обсяг. Таким чином, неофіційно,$\displaystyle \iint_Rf(x,y) \,dA$ означає «підсумувати багато маленьких томів над»$R$.

Тепер ми поширюємо ці ідеї на інші контексти.

Маса і вага

Розглянемо тонкий лист матеріалу з постійною товщиною і кінцевою площею. Математики (і фізики і інженери) називають такий лист ламіною. Тому розглянемо пластинку, як показано на малюнку$\PageIndex{1a}$, з формою якоїсь площинної області$R$, як показано в частині (b).

Малюнок$\PageIndex{1}$: Ілюстрація поняття пластинки.

Ми можемо написати простий подвійний інтеграл, який представляє масу ламіни:$\displaystyle \iint_R\ dm$, де$dm$ "" означає «трохи маси». Тобто подвійні інтегральні стани загальної маси пластинки можна знайти, «підсумовуючи багато маленьких мас над»$R$.

Щоб оцінити цей подвійний інтеграл,$R$ поділ на$n$ субрегіони, як ми робили в минулому. $i^{\text{th}}$Субрегіон має площу$\Delta A_i$.
Основною властивістю маси є те, що «маса =$\times$ площа щільності». Якщо пластинка має постійну щільність$\delta$, то маса цього$i^{\,\text{th}}$ субрегіону є$\Delta m_i=\delta\Delta A_i$. Тобто ми можемо обчислити невелику кількість маси, помноживши невелику кількість площі на щільність.

Якщо щільність змінна, з функцією щільності$\delta= \delta(x,y)$, то ми можемо наблизити масу$i^{\text{th}}$ субобласті$R$$\Delta A_i$ шляхом множення на$\delta(x_i,y_i)$, де$(x_i,y_i)$ точка в цьому субрегіоні. Тобто для досить невеликого субрегіону щільність в цьому регіоні майже постійна.$R$

Примітка: Маса і вага - це різні заходи. Оскільки вони є скалярними кратними один одному, часто легко ставитися до них як до однієї міри. У цьому розділі ми ефективно ставимося до них як до того ж, так як наша техніка знаходження маси така ж, як і для знаходження ваги. Використовувані функції щільності просто матимуть різні одиниці.

Загальна маса$M$ пластинки приблизно дорівнює сумі приблизних мас субобластей:
$$M \approx \sum_{i=1}^n \Delta m_i = \sum_{i=1}^n \delta(x_i,y_i)\,\Delta A_i.\nonumber$$

Прийняття межі, оскільки розмір субрегіонів зменшується до 0, дає нам фактичну масу; тобто інтеграція$\delta(x,y)$ над$R$ дає масу пластинки.

Визначення 103 Маса ламіни зі змінною щільністю

$\delta(x,y)$Дозволяти безперервна функція щільності пластинки, що відповідає площині області$R$. $M$Маса пластинки становить

$$\text{mass } M = \iint_R\ dm = \iint_R \delta(x,y) \,dA.$$

Приклад$\PageIndex{1}$: Finding the mass of a lamina with constant density

Знайдіть масу квадратної пластини, з довжиною сторони 1, щільністю$\delta = 3$ гм/см$^2$.

Рішення

Представляємо пластинку з квадратною областю в площині, як показано на малюнку$\PageIndex{2}$. Оскільки щільність постійна, не має значення, де ми розміщуємо квадрат.

Рисунок$\PageIndex{2}$: Область R, що представляє пластинку у прикладі$\PageIndex{1}$.

Після визначення 103 маса$M$ пластинки становить
$$M = \iint_R 3 \,dA = \int_0^1\int_0^1 3\, dx \, dy = 3\int_0^1\int_0^1 \, dx \, dy=3\text{ gm}.\nonumber$$

Це все дуже просто; зауважте, що все, що ми дійсно зробили, це знайти площу пластинки і помножити її на постійну щільність$3$ г/см$^2$.

Приклад$\PageIndex{2}$: Finding the mass of a lamina with variable density

Знайти масу квадратної ламіни, представленої одиничним квадратом з нижнім лівим кутом біля початку (див. Рис.$\PageIndex{2}$), зі змінною щільністю$\delta(x,y) = (x+y+2)$ г/см$^2$.

Рішення

Змінна щільність$\delta$, в цьому прикладі, дуже рівномірна, даючи щільність$3$ в центрі квадрата і змінюється лінійно. Графік$\delta(x,y)$ можна побачити на малюнку$\PageIndex{3}$; зверніть увагу, як «однакова кількість» щільності вище$z=3$, як показано нижче. Ми прокоментуємо значення цього на мить.

Масу$M$ знаходять шляхом інтеграції$\delta(x,y)$ над$R$. Порядок інтеграції не важливий, вибираємо$dx \,dy$ довільно. Таким чином:
\ [\ begin {align*}
M =\ iInt_R (x+y+2) Да &=\ int_0^1\ int_0^1 (x+y+2)\ dx\, dy\\
&=\ int_0^1\ ліворуч. \ ліворуч (\ frac 12x^2+x (y+2)\ праворуч)\ праворуч | _0^1\, dy\\
&=\ int_0^1\ ліворуч (\ frac52+y\ праворуч)\, dy\\
&=\ ліворуч. \ ліворуч (\ frac52y+\ frac12y^2\ праворуч)\ праворуч |_0^1\\
&= 3\ текст {gm}.
\ end {вирівнювати*}\]

Малюнок$\PageIndex{3}$: Графік функцій щільності в Прикладах$\PageIndex{1}$ і$\PageIndex{2}$.

Виходить, що так як щільність пластинки настільки рівномірно розподілена «зверху і знизу»$z=3$, то маса пластинки така ж, як якщо б вона мала постійну щільність 3. Функції щільності в прикладах$\PageIndex{1}$ і$\PageIndex{2}$ зображені на малюнку$\PageIndex{3}$, який ілюструє це поняття.

Приклад$\PageIndex{3}$: Finding the weight of a lamina with variable density

Знайдіть вагу пластинки, представленої колом з радіусом$2$ ft, центрованим у початку, з функцією щільності$\delta(x,y) = (x^2+y^2+1)$ lb/ft$^2$. Порівняйте це з вагою тієї ж ламіни з щільністю$\delta(x,y) = (2\sqrt{x^2+y^2}+1)$ lb/ft$^2$.

Рішення
Пряме застосування визначення 103 стверджує, що вага пластинки є$\displaystyle \iint_R\delta(x,y) \,dA$. Оскільки наша ламіна має форму кола, має сенс наблизитися до подвійного інтегралу, використовуючи полярні координати.

Функція щільності$\delta(x,y) = x^2+y^2+1$ стає$\delta(r,\theta) = (r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2+1 = r^2+1$. Коло обмежується$0\leq r\leq 2$ і$0\leq\theta\leq2\pi$. Таким чином вага$W$ становить:

\ [\ begin {align*}
W &=\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^2 (r^2+1) r\ dr\ d\ тета\\
&=\ int_0^ {2\ pi}\ ліворуч. \ ліворуч (\ frac14r^4+\ frac12r^2\ праворуч)\ праворуч | _0^2\, d\ тета\\
&=\ int_0^ {2\ pi}\ ліворуч (6\ праворуч)\, d\ тета\\
&= 12\ пі\ приблизно 37,70\ текст {lb}.
\ end {вирівнювати*}\]

Тепер порівняйте це з функцією щільності$\delta(x,y) = 2\sqrt{x^2+y^2}+1$. Перетворення цього в полярні координати дає$\delta(r,\theta) = 2\sqrt{(r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2}+1 = 2r+1$. Таким чином вага$W$ становить:

\ [\ почати {вирівнювати*}
W &=\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^2 (2r+1) r\ dr\ d\ тета\
&=\ int_0^ {2\ pi} (\ frac23r^3+\ frac12r^2)\ Big|_0^2\, d\ тета\\
&=\ int_0^ {2\ пі}\ ліворуч (\ frac {22} 3\ праворуч)\ d\ тета\\
&=\ frac {44} 3\ pi\ приблизно 46.08\ текст {lb}.
\ end {align*}\]
Можна очікувати, що різні функції щільності повернуть різні ваги, як ми маємо тут. Функції щільності були обрані, однак, щоб бути схожими: кожна дає щільність 1 на початку і щільність 5 на зовнішньому краї кола, як показано на малюнку$\PageIndex{4}$.

Малюнок$\PageIndex{4}$: Графік функцій щільності в$\PageIndex{3}$. In (a) - функція щільності$\delta (x,y)=x^2+y^2+1$; in (b) є$\delta (x,y)=2\sqrt{x^2+y^2}+1$.

Зверніть увагу, як$x^2+y^2+1 \leq 2\sqrt{x^2+y^2}+1$ по колу; це призводить до меншої ваги.

Побудова функцій щільності може бути корисним, оскільки наше розуміння маси може бути пов'язане з нашим розумінням «обсягу під поверхнею». Ми інтерпретували$\displaystyle \iint_R f(x,y) \,dA$ як надання обсягу під$f$ більш$R$; ми можемо зрозуміти$\displaystyle \iint_R\delta(x,y) \,dA$ так само. «Обсяг» під$\delta$ над насправді$R$ є масою; стискаючи «обсяг» під$\delta$ на$xy$ -площину, ми отримуємо «більше маси» в деяких областях, ніж інші - тобто області більшої щільності.

Знання маси пластинки - одна з декількох важливих заходів. Інший - центр маси, який ми обговорюємо далі.

Центр Мас

Розглянемо диск радіусом 1 з рівномірною щільністю. Загальновідомо, що диск буде балансувати на точці, якщо точка розміщена в центрі диска. Що робити, якщо диск не має рівномірної щільності? Через trial-and-error ми все одно повинні бути в змозі знайти місце на диску, на якому диск буде балансувати по точці. Цю точку балансу називають центром маси, або центром ваги. Це хоч вся маса «зосереджена» там. Насправді, якщо диск має масу$3$ кг, диск буде вести себе фізично так, ніби це була точка-маса$3$ кг, розташована в його центрі маси. Наприклад, диск буде природним чином обертатися віссю через центр маси (саме тому важливо «врівноважити» шини вашого автомобіля: якщо вони «поза рівновагою», їх центр маси буде поза осі, і він буде жахливо трястися).

Знаходимо центр маси за принципом середньозважених. Розглянемо клас коледжу, в якому ваше домашнє завдання в середньому становить 90%, середній тест 73%, а ваш підсумковий бал іспиту - 85%. Досвід говорить нам, що наш підсумковий бал не є середнім показником цих трьох класів: тобто це не так:
$$\frac{0.9+0.73+0.85}{3} \approx 0.837 = 83.7%.\nonumber$$
Тобто, ви, мабуть, не тягнете B у курсі. Швидше, ваші оцінки зважуються. Припустимо, домашнє завдання коштує 10% від оцінки, тести - 60%, а іспит - 30%. Тоді ваш остаточний бал:
$$(0.1)(0.9) + (0.6)(0.73)+(0.3)(0.85) = 0.783 = 78.3%.\nonumber$$
Кожен клас множиться на вагу.

Загалом, задані значення$x_1,x_2,\ldots,x_n$ і ваги$w_1,w_2,\ldots,w_n$, середньозважене$n$ значення дорівнює
$$\sum_{i=1}^n w_ix_i\Bigg/\sum_{i=1}^n w_i.\nonumber$$

У прикладі оцінювання вище сума ваг 0.1, 0.6 і 0.3 дорівнює 1, тому ми не бачимо ділення на суму ваг в цьому випадку.

Як це стосується центру мас, наведено в наступній теоремі.

ТЕОРЕМА 121 Центр мас дискретної лінійної системи

Нехай точкові маси$m_1,m_2,\ldots,m_n$ будуть розподілені уздовж$x$ -осі в місцях$x_1,x_2,\ldots,x_n$ відповідно. Центр мас$\overline{x}$ системи розташовується на

$$\overline{x} = \sum_{i=1}^nm_ix_i\Bigg/\sum_{i=1}^n m_i.$$

Приклад$\PageIndex{4}$: Finding the center of mass of a discrete linear system

1. Точкові маси$2$ гм розташовані на$x=-1$,$x=2$ і$x=3$ з'єднані тонким стрижнем мізерно малої ваги. Знайдіть центр маси системи.
2. Точкові маси$10$$2$ gm,$1$ gm і gm розташовані при$x=-1$,$x=2$ і$x=3$, відповідно, з'єднані тонким стрижнем мізерно малої ваги. Знайдіть центр маси системи.

Рішення

1. Слідуючи теоремі 121, ми обчислюємо центр маси
   $$\overline{x}=\frac{2(-1) + 2(2)+2(3)}{2+2+2} = \frac43 = 1.\overline{3}.$$
   так: Таким чином, система буде балансувати на точці, розміщеній в$x=4/3$, як показано на малюнку$\PageIndex{5a}$.
2. Знову слідуючи теоремі 121, ми знаходимо:
   $$\overline{x} = \frac{10(-1)+2(2)+1(3)}{10+2+1} = \frac{-3}{13} \approx -0.23.$$
   Розміщення великої ваги в лівій частині системи переміщує центр маси вліво, як показано на малюнку$\PageIndex{5b}$.

Малюнок$\PageIndex{5}$: Ілюстрація точкових мас уздовж тонкого стрижня і центру маси.

У дискретній системі (тобто маса розташована в окремих точках, а не по континууму) знаходимо центр мас шляхом ділення маси на момент системи. Взагалі, момент - це зважена міра відстані від певної точки або лінії. У випадку, описаному теоремою 121, ми знаходимо зважену міру відстаней від$y$ -осі, тому ми називаємо це моментом про$y$ - осі, представленої$M_y$. Допускаючи$M$ загальну масу системи, ми маємо$\overline{x} = M_y/M$.

Ми можемо досить легко розширити поняття центру маси дискретних точок вздовж лінії до центру маси дискретних точок на площині. Для цього ми визначаємо деякі терміни, а потім наведемо теорему.

Визначення 104 Моменти про$x$- and $y$- Axes.

Нехай точкові маси$m_1$,$m_2,\ldots,m_n$ розташовуватися в точках$(x_1,y_1)$$(x_2,y_2)\ldots,(x_n,y_n)$, відповідно, в$xy$ -площині.

1. Момент про$y$ -осі,$M_y$, є$\displaystyle M_y = \sum_{i=1}^n m_ix_i.$
2. Момент про$x$ -осі},$M_x$, є$\displaystyle M_x = \sum_{i=1}^n m_iy_i.$

Можна подумати, що ці визначення є «назад», оскільки$M_y$ підсумовують "$x$" відстані. Але пам'ятайте,$x$ "" відстані - це вимірювання відстані від$y$ -осі, отже, визначення моменту про$y$ -осі.

Тепер ми визначимо центр маси дискретних точок на площині.

ТЕОРЕМА 122 Центр мас дискретної площинної системи

Нехай точки маси$m_1$,$m_2,\ldots,m_n$ бути розташовані в точках$(x_1,y_1)$$(x_2,y_2)\ldots,(x_n,y_n)$, відповідно, в$xy$ -площині, і нехай$\displaystyle M = \sum_{i=1}^n m_i$.
Центр маси системи знаходиться в$(\overline{x},\,\overline{y})$, де
$$\overline{x}= \frac{M_y}{M}\quad \text{and}\quad \overline{y} = \frac{M_x}{M}.$$

Приклад$\PageIndex{5}$: Finding the center of mass of a discrete planar system

Нехай точкові маси$1$ кг,$2$ кг і$5$ кг розташовуються в точках$(2,0)$,$(1,1)$ і$(3,1)$, відповідно, і з'єднані тонкими стрижнями незначної ваги. Знайдіть центр маси системи.

Рішення

Ми слідуємо теоремі 122 та визначенню 104, щоб знайти$M$,$M_x$ і$M_y$:

$M = 1+2+5 = 8$кг.
\ [\ почати {вирівнювати*}
m_x &=\ sum_ {i = 1} ^n m_iy_i\\
&= 1 (0) + 2 (1) + 5 (1)\\
&= 7.
\ end {align*}

\]\ [\ begin {align*}
m_y &=\ sum_ {i=1} ^n m_ix_i\\
&= 1 (2) + 2 (1) + 5 (3)\\
&= 19.
\ end {вирівнювати*}\]

Рисунок$\PageIndex{6}$: Ілюстрація центру мас дискретної площинної системи на прикладі$\PageIndex{5}$.

Таким чином, центр мас$(\overline{x},\,\overline{y}) = \left(\frac{M_y}{M},\frac{M_x}M\right) = \left(\frac198,\frac78\right) =(2.375,0.875),$ проілюстрований на рис$\PageIndex{6}$.

Нарешті, ми приходимо до нашої справжньої мети цього розділу: знаходження центру маси пламіни зі змінною щільністю. Хоча вищевказане вимірювання центру маси цікаво, воно безпосередньо не відповідає на більш реалістичні ситуації, коли нам потрібно знайти центр маси суміжної області. Однак розуміння дискретного випадку дозволяє нам наблизити центр маси плоскої пластинки; використовуючи обчислення, ми можемо уточнити наближення до точного значення.

Почнемо з представлення плоскої пластинки з областю$R$ в$xy$ -площині з функцією щільності$\delta(x,y)$. Розділ$R$ на$n$ підрозділи, кожен з яких має площу$\Delta A_i$. Як і раніше, ми можемо наблизити масу$i^{\text{th}}$ субрегіону з$\delta(x_i,\,y_i)\,\Delta A_i$, де$(x_i,\,y_i)$ знаходиться точка всередині$i^{\text{th}}$ субрегіону. Ми можемо наблизити момент цієї субобласті навколо$y$ -осі з$x_i\,\delta(x_i,y_i)\,\Delta A_i$ — тобто помноживши приблизну масу області на її приблизну відстань від$y$ -осі. Аналогічно ми можемо наблизити момент про$x$ -осі с$y_i\,\delta(x_i,y_i)\,\Delta A_i$. Підсумовуючи всі субрегіони, ми маємо:

\ [\ begin {align*}
\ текст {маса:} M &\ приблизно\ sum_ {i=1} ^n\ дельта (x_i, y_i)\,\ Дельта a_i\ quad\ text {(як видно раніше)}
\\ текст {момент про$x$ -осі:} m_x &\ приблизно\ sum_ {i = 1} ^n y_i\ delta (x_i, y_i)\,\ Delta a_i\
\ text {момент навколо$y$ -осі:} M_ y &\ приблизно\ sum_ {i=1} ^n x_i\ дельта (x_i, y_i)\,\ Дельта a_i\
\ кінець {align*}\]

Беручи межі, де розмір кожної субобласті зменшується до 0 в обох$y$ напрямках$x$ і напрямках, ми отримуємо подвійні інтеграли, наведені в наступній теоремі.

Теорема 123: Центр мас плоскої ламіни, моменти

Нехай плоска пластинка буде представлена областю$R$ в$xy$ -площині з функцією щільності$\delta(x,y)$.

1. $\displaystyle \text{mass: } M = \iint_R\delta(x,y) \,dA$
2. $\displaystyle \text{moment about the \(x$-вісь:} m_x =\ iInt_RY\ дельта (x, y)\, да\)
3. $\displaystyle \text{moment about the \(y$-вісь:} m_y =\ iInt_Rx\ дельта (x, y)\, да\)
4. Центр маси пластинки
   $$(\overline{x},\,\overline{y}) = \left(\frac{M_y}{M},\frac{M_x}M\right).\nonumber$$

Ми починаємо нашу практику пошуку центрів маси з перегляду деяких пластин, використовуваних раніше в цьому розділі при знаходженні маси. Ми просто налаштуємо інтеграли, необхідні для обчислення$M$,$M_x$$M_y$ і залишимо деталі інтеграції читачеві.

Приклад$\PageIndex{6}$: Finding the center of mass of a lamina

Знайдіть центральну масу квадратної пластини, з довжиною сторони 1, щільністю$\delta = 3$ гм/см$^2$. (Примітка: це ламіна з Прикладу$\PageIndex{1}$.)

Рішення
Представляємо пластинку з квадратною областю в площині, як показано на малюнку$\PageIndex{7}$, як це зроблено раніше.

Рисунок$\PageIndex{7}$: Область R, що представляє пластинку у прикладі$\PageIndex{6}$.

Слідуючи теоремі 123, ми знаходимо$M$,$M_x$ і$M_y$:

\ [\ begin {align*}
M &=\ iInt_r 3\, Да =\ int_0^1\ int_0^1 3\ dx\, dy =3\ text {gm}. \\
m_x &=\ iInt_R 3y\, Да =\ int_0^1\ int_0^1 3y\ dx\, ди =3/2 = 1,5. \\
m_y &=\ iInt_R 3х\, Да =\ int_0^1\ int_0^1 3х\ дх\, ди = 3/2 = 1,5.
\ end {вирівнювати*}\]

Таким чином, центр маси є$(\overline{x},\,\overline{y}) = \left(\frac{M_y}M,\frac{M_x}M\right) = (1.5/3,1.5/3) = (0.5,0.5).$ Це те, що ми повинні були очікувати: центр маси квадрата з постійною щільністю є центром квадрата.

Приклад$\PageIndex{7}$: Finding the center of mass of a lamina

Знайти центр маси квадратної ламіни, представленої одиничним квадратом з нижнім лівим кутом біля початку (див. Рис.$\PageIndex{7}$), зі змінною щільністю$\delta(x,y) = (x+y+2)$ г/см$^2$. (Примітка: це ламіна з Прикладу$\PageIndex{2}$.)

Рішення
Ми слідуємо теоремі 123, щоб знайти$M$,$M_x$ і$M_y$:

\ [\ begin {align*}
M &=\ iInt_R (x+y+2)\, Да =\ int_0^1\ int_0^1 (x+y+2)\ dx\, ди =3\ текст {gm}. \\
m_x &=\ iInt_R y (x+y+2)\, Да =\ int_0^1\ int_0^1 y (x+y+2)\ dx\, dy =\ frac {19} {12}. \\
m_y &=\ iInt_R х (x+y+2)\, Да =\ int_0^1\ int_0^1 x (x+y+2)\ dx\, dy =\ frac {19} {12}.
\ end {вирівнювати*}\]

Таким чином, центр маси є$(\overline{x},\overline{y}) = \left(\frac{M_y}M,\frac{M_x}M\right) = \left(\frac{19}{36},\frac{19}{36}\right) \approx (0.528,0.528).$ Хоча маса цієї пластини така ж, як і пластинка в попередньому прикладі, більша щільність знайдена з більшою$x$ і$y$ значення тягне центр маси від центру трохи до верхнього правого кута.

Приклад$\PageIndex{8}$: Finding the center of mass of a lamina

Знайти центр маси пластинки, представленої колом з радіусом$2$ ft, центрованим у початку, з функцією щільності$\delta(x,y) = (x^2+y^2+1)$ lb/ft$^2$. (Примітка: це одна з ламін, що використовується в прикладі$\PageIndex{3}$.)

Рішення

Як це зроблено в прикладі$\PageIndex{3}$, найкраще описувати$R$ за допомогою полярних координат.
Таким чином, коли ми обчислюємо$M_y$, ми будемо інтегрувати не$x\delta(x,y) = x(x^2+y^2+1)$, а скоріше$\big(r\cos\theta\big)\delta(r\cos\theta,r\sin\theta) = \big(r\cos\theta\big)\big(r^2+1\big).$ ми$M$ обчислюємо,$M_x$ і$M_y$:

\ [\ begin {align*}
M &=\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^2 (r^2+1) r\ dr\ d\ тета = 12\ пі\ приблизно 37,7\ текст {lb}. \\
m_x &=\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^2 (r\ sin\ тета) (r^2+1) r\ dr\ d\ тета = 0. \\
m_y &=\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^2 (r\ cos\ тета) (r^2+1) r\ dr\ d\ тета = 0. \\
\ кінець {вирівнювати*}\]

Оскільки$R$ і щільність$R$ обох симетричні щодо$y$ осей$x$ і, не повинно бути великим сюрпризом, що моменти навколо кожної осі є$0.$ Таким чином, центр маси є$(\overline{x},\,\overline{y})=(0,0)$.

Приклад$\PageIndex{9}$: Finding the center of mass of a lamina

Знайдіть центр маси пластинки, представленої областю,$R$ показаною на малюнку$\PageIndex{8}$, половиною кільцевого кільця з зовнішнім радіусом 6 і внутрішнім радіусом 5, з постійною щільністю$2$ lb/ft$^{2}$.

Рішення

Ще раз корисно буде представляти$R$ в полярних координатах. Використовуючи опис$R$ і/або ілюстрацію, ми бачимо, що$R$ обмежується$5\leq r\leq 6$ і$0\leq\theta\leq\pi$. Оскільки пластинка симетрична щодо$y$ -осі, слід очікувати$M_y=0$. Обчислюємо$M$,$M_x$ і$M_y$:
\ [\ begin {align*}
M &=\ int_0^ {\ pi}\ int_5^6 (2) r\ dr\ d\ тета = 11\ pi\ text {lb}. \\
m_x &=\ int_0^ {\ pi}\ int_5^6 (r\ sin\ тета) (2) r\ dr\ d\ тета =\ розрив {364} 3\ приблизно 121,33. \\
m_y &=\ int_0^ {\ pi}\ int_5^6 (r\ cos\ тета) (2) r\ dr\ d\ тета = 0. \\
\ кінець {вирівнювати*}\]

Малюнок$\PageIndex{8}$: Ілюстрація регіону$R$ у прикладі$\PageIndex{9}$.

Таким чином, центр маси є$(\overline{x},\,\overline{y}) = \left(0,\frac{364}{33\pi}\right) \approx (0,\,3.51).$ Центр маси вказано на малюнку$\PageIndex{8}$; зверніть увагу, як він лежить поза$R$!

Цей розділ показав нам інше використання для ітераційних інтегралів за межами знаходження площі або підписаного об'єму під кривою. Хоча існує багато застосувань для ітераційних інтегралів, ми наведемо ще один додаток у наступному розділі: обчислювальна площа поверхні.