Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

12.5: Правило багатоваріантного ланцюга

Правило ланцюга, як відомо в розділі 2.5, стверджує, щоddx(f(g(x)))=f(g(x))g(x). Якщоt=g(x), ми можемо висловити правило ланцюга, як
dfdx=dfdtdtdx.
У цьому розділі ми розширюємо правило ланцюга на функції більш ніж однієї змінної.

Теорема 107 Правило багатоваріантного ланцюга, частина I

Нехайz=f(x,y),x=g(t) іy=h(t), деf,g іh є диференційованими функціями. Потімz=f(x,y)=f(g(t),h(t)) є функцієюt, і
\ [\ begin {align*}
\ frac {dz} {dt} =\ frac {df} {dt} &= f_x (x, y)\ frac {dx} {dt} {dt} {dt}\ [4pt]
&=\ frac {\ partial f} {\ partial x}\ гідророзрив {dx} {dt} +\ розрив {\ часткове f} {\ часткове y}\ frac {dy} {dt}.
\ end {вирівнювати*}\]

Добре зрозуміти, що таке ситуаціяz=f(x,y),x=g(t) іy=h(t) описує. Ми знаємо, щоz=f(x,y) описує поверхню; ми також визнаємо, щоx=g(t) іy=h(t) є параметричними рівняннями для кривої вy площиніx -. Поєднуючи їх разом, ми описуємо криву, яка лежить на описаній поверхніf. Параметричними рівняннями для цієї кривої єx=g(t),y=h(t) іz=f(g(t),h(t)).

Розглянемо малюнок 12.14, на якому намальована поверхня разом з пунктирною кривою вx -y площині. fОбмеження лише точками на цьому колі дає криву, показану на поверхні. Похіднаdfdt дає миттєву швидкість зміниf щодоt. Якщо розглядати об'єкт, що рухається по цьому шляху,dfdt дає швидкість, з якою об'єкт піднімається/падає.

12.14.ПНГ
Малюнок 12.14: Розуміння застосування правила багатовимірного ланцюга.

Зараз ми практикуємо застосування правила багатоваріантного ланцюга.

Приклад12.5.1: Using the Multivariable Chain Rule

Нехайz=x2y+x, деx=sint іy=e5t. Знайдітьdzdt за допомогою правила ланцюга.


Розв'язок
Слідуючи теоремі 107, ми знаходимо
fx(x,y)=2xy+1,fy(x,y)=x2,dxdt=cost,dydt=5e5t.
Застосовуючи теорему, ми маємо
dzdt=(2xy+1)cost+5x2e5t.
Це може виглядати непарно, так як здається, щоdzdt є функцієюx,y іt. Оскількиx іy є функціямиt,dzdt насправді просто функціяt, і ми можемо замінити наsint іxy зe5t:
dzdt=(2xy+1)cost+5x2e5t=(2sin(t)e5t+1)cost+5e5tsin2t.

Попередній приклад може змусити нас задатися питанням: якщо ми підставилиx іy в кінці показати, щоdzdt це дійсно просто функціяt, чому б не замінити перед диференціацією, показуючи чітко, щоz це функціяt?

Тобтоz=x2y+x=(sint)2e5t+sint. застосовуючи правила ланцюжка і продукту, у нас є те,
dzdt=2sintcoste5t+5sin2te5t+cost,
що відповідає результату з прикладу.

Тепер це може змусити задуматися: «У чому сенс? Якщо ми вже могли знайти похідну, навіщо вивчати інший спосіб її пошуку?» У деяких випадках застосування цього правила спрощує виведення, але навряд чи це сила Правила ланцюга. Швидше, у випадкуz=f(x,y), коли,x=g(t) іy=h(t), Правило ланцюга надзвичайно потужне, коли ми не знаємоf, щоg та/абоh є. Можливо, важко повірити, але часто в «реальному світі» ми знаємо інформацію про швидкість зміни (тобто інформацію про похідні), не знаючи явно базових функцій. Правило ланцюга дозволяє нам об'єднати кілька темпів змін, щоб знайти іншу швидкість змін. Правило ланцюга також має теоретичне використання, даючи нам уявлення про поведінку певних конструкцій (як ми побачимо в наступному розділі).

Ми демонструємо це в наступному прикладі.

Приклад12.5.2: Applying the Multivarible Chain Rule

Об'єкт рухається по контуру на поверхні. Точний шлях і поверхня невідомі, але в той часt=t0 відомо, що:
zx=5,zy=2,dxdt=3anddydt=7.
Знайтиdzdt в часіt0.

Рішення
Правило багатозмінного ланцюга стверджує, що
\ [\ begin {align*}
\ frac {dz} {dt} &=\ розрив {\ частковий z} {\ частковий z} {\ frac {dx} {dt} +\ frac {\ partial z} {\ частковий y}\ frac {dy} {dt}\\
&= 5 (3) + (-2) (7)\\
&=1.
\ end {align*}\]
Знаючи певні швидкості зміни інформації про поверхню і про шлях частинки вy площиніx -, ми можемо визначити, наскільки швидко об'єкт піднімається/падає.

Далі ми застосовуємо правило ланцюга, щоб вирішити проблему max/min.

Приклад12.5.3: Applying the Multivariable Chain Rule

Розглянемо поверхнюz=x2+y2xy, параболоїд, по якій частка рухається зx іy координатами, заданимиx=cost іy=sint. Знайдітьt=0,dzdt коли, і знайдіть, де частинка досягає своїх максимальних/мінімальнихz -значень.

Рішення
Це просто обчислити
fx(x,y)=2xy,fy(x,y)=2yx,dxdt=sint,dydt=cost.
Поєднання їх відповідно до Правило ланцюга дає:
dzdt=(2xy)sint+(2yx)cost.

12.15 ПНГ
Малюнок 12.15: Побудова шляху частинки на поверхні у прикладі 12.3.5

Колиt=0,x=1 іy=0. Таким чиномdzdt=(2)(0)+(1)(1)=1. Колиt=0, частка рухається вниз, як показано на малюнку 12.15.

Щоб знайти, деz -значення максимізується/мінімізовано на шляху частинки, ставимоdzdt=0 і вирішуємо дляt:
\ [\ begin {align*}
\ frac {dt} =0 &= - (2x-y)\ sin t + (2y-x)\ cos t\\
0&= - (2\ cos t-\ sin t)\ sin t+ (2\ sin t-\ cos t) cos t\\
0&=\ sin^2t-\ cos^2t\
\ cos^2t &=\ sin^2t\\
t&= n\ frac {\ pi} 4\ quad\ text {(для непарногоn)}
\ end {align*}\]
Ми можемо використовувати Перший похідний тест, щоб знайти[0,2π],z що на, досягає його абсолютний мінімум приt=π/4 і5π/4; він досягає свого абсолютного максимуму приt=3π/4 і7π/4, як показано на малюнку 12.15.

Ми можемо розширити правило ланцюга, щоб включити ситуацію, колиz є функцією більше однієї змінної, і кожна з цих змінних також є функцією більш ніж однієї змінної. Основний випадок цього - деz=f(x,y),x іy є функціями двох змінних, скажімоs іt.

ТЕОРЕМА 108 Правило багатоваріантного ланцюга, частина II

  1. Нехайz=f(x,y),x=g(s,t) іy=h(s,t), деf,g іh є диференційованими функціями. Тодіz є функціяs іt, і
    -zs=fxxs+fyys, і
    -zt=fxxt+fyyt.
  2. z=f(x1,x2,,xm)Дозволяти диференційовану функціюm змінних, де кожна зxi є диференційованою функцією зміннихt1,t2,,tn. Тодіz є функцієюti, і
    zti=fx1x1ti+fx2x2ti++fxmxmti.

Приклад12.5.4: Using the Multivarible Chain Rule, Part II

Нехайz=x2y+x,x=s2+3t іy=2st. Знайтиzs іzt, і оцінити кожен, колиs=1 іt=2.


Розв'язок
, слідуючи теоремі 108, обчислюємо такі частинні похідні:
fx=2xy+1fy=x2,
xs=2sxt=3ys=2yt=1.
Таким чином,
zs=(2xy+1)(2s)+(x2)(2)=4xys+2s+2x2,and
zt=(2xy+1)(3)+(x2)(1)=6xyx2+3.
колиs=1 іt=2,x=7 іy=0, так
zs=100andzt=46.

Приклад12.5.5: Using the Multivarible Chain Rule, Part II

Нехайw=xy+z2, деx=t2esy=tcoss, іz=ssint. Знайтиwt, колиs=0 іt=π.

Рішення,
слідуючи теоремі 108, обчислюємо такі часткові похідні:
fx=yfy=xfz=2z,
xt=2tesyt=cosszt=scost.
Таким чином,wt=y(2tes)+x(coss)+2z(scost).
колиs=0 іt=π, ми маємоx=π2, y=πіz=0. Таким чином
wt=π(2π)+π2=3π2.

неявна диференціація

Ми вивчали знаходженняy,dydx коли дається як неявна функція докладноx в розділі 2.6. Тут ми знаходимо, що правило багатоваріантного ланцюга дає простіший метод пошукуdydx.

Наприклад, розглянемо неявну функціюx2yxy3=3. Ми навчилися використовувати наступні кроки для пошукуdydx:
\ [\ begin {align}
\ frac {d} {dx}\ Big (x^2y-xy^3\ big) &=\ frac {d} {dx}\ Big (3\ Big)\ notag\\
2xy+ x^2\ frac {dx} {dx} -y^3-3xy^2\ гідророзрив {dy} {dx} &= 0\ notag\\
\ гідророзриву {dy} {dx} = -\ гідророзриву {2xy-y^3} {x^2-3xy^2}. \ етикетка {еква:mchain2}
\ кінець {вирівнювання}\]

Замість того, щоб використовувати цей метод, розглянемоz=x2yxy3. Неявна функція вище описує криву рівняz=3. Розглядаючиx іy як функціїx, правило багатоваріантного ланцюга стверджує, що
dzdx=zxdxdx+zydydx.
Sincez є постійним (у нашому прикладі,z=3),dzdx=0. Ми також знаємоdxdx=1. Рівняння\ ref {еква:mchain1} стає
\ [\ почати {вирівнювати*}
0 &=\ розрив {\ частковий z} {\ частковий х} (1) +\ розрив {\ частковий z} {\ частковий y}\ frac {dy} {dx}
\ quad\\ frac {dy} {partial x}\ Big/\ frac {\ часткове z} {\ часткове y}\\
&= -\ гідророзриву {\, f_x\,} {f_y}.
\ end {вирівнювати*}\]

Зверніть увагу, як наше рішення дляdydx in Equation\ ref {eq:mchain2} є лише частковоюz похідною відносноx, розділеної на часткову похідну відносноy.z

Вище викладемо як теорему.

ТЕОРЕМА 109 Неявна диференціація

fДозволяти диференційовні функціїx іy, деf(x,y)=c визначаєтьсяy як неявна функціяx, для деякої константиc. Тоді
dydx=fx(x,y)fy(x,y).

Ми практикуємо використання Теореми 109, застосовуючи її до задачі з розділу 2.6.

Приклад12.5.6: Implicit Differentiation

Дано неявно визначену функціюsin(x2y2)+y3=x+y, знайдітьy. Примітка: це та сама проблема, що і в прикладі 2.6.4 з розділу 2.6, де рішення знадобилося близько повної сторінки, щоб знайти.


Solution
f(x,y)=sin(x2y2)+y3xy Let; неявно визначена вище функція еквівалентнаf(x,y)=0. Знаходимоdydx шляхом застосування теореми 109.
fx(x,y)=2xy2cos(x2y2)1andfy(x,y)=2x2ycos(x2y2)+3y21,
Знаходимо так
dydx=2xy2cos(x2y2)12x2ycos(x2y2)+3y21,
, що відповідає нашому рішенню з Прикладу 2.6.4.