12.5: Правило багатоваріантного ланцюга

Правило ланцюга, як відомо в розділі 2.5, стверджує, що$\frac{d}{dx}\Big(f\big(g(x)\big)\Big) = f'\big(g(x)\big)g'(x)$. Якщо$t=g(x)$, ми можемо висловити правило ланцюга, як
$$\frac{df}{dx} = \frac{df}{dt}\frac{dt}{dx}.$$
У цьому розділі ми розширюємо правило ланцюга на функції більш ніж однієї змінної.

Теорема 107 Правило багатоваріантного ланцюга, частина I

Нехай$z=f(x,y)$,$x=g(t)$ і$y=h(t)$, де$f$,$g$ і$h$ є диференційованими функціями. Потім$z = f(x,y) = f\big(g(t),h(t)\big)$ є функцією$t$, і
\ [\ begin {align*}
\ frac {dz} {dt} =\ frac {df} {dt} &= f_x (x, y)\ frac {dx} {dt} {dt} {dt}\ [4pt]
&=\ frac {\ partial f} {\ partial x}\ гідророзрив {dx} {dt} +\ розрив {\ часткове f} {\ часткове y}\ frac {dy} {dt}.
\ end {вирівнювати*}\]

Добре зрозуміти, що таке ситуація$z=f(x,y)$,$x=g(t)$ і$y=h(t)$ описує. Ми знаємо, що$z=f(x,y)$ описує поверхню; ми також визнаємо, що$x=g(t)$ і$y=h(t)$ є параметричними рівняннями для кривої в$y$ площині$x$ -. Поєднуючи їх разом, ми описуємо криву, яка лежить на описаній поверхні$f$. Параметричними рівняннями для цієї кривої є$x=g(t)$,$y=h(t)$ і$z=f\big(g(t),h(t)\big)$.

Розглянемо малюнок 12.14, на якому намальована поверхня разом з пунктирною кривою в$x$ -$y$ площині. $f$Обмеження лише точками на цьому колі дає криву, показану на поверхні. Похідна$\frac{df}{dt}$ дає миттєву швидкість зміни$f$ щодо$t$. Якщо розглядати об'єкт, що рухається по цьому шляху,$\frac{df}{dt}$ дає швидкість, з якою об'єкт піднімається/падає.

Малюнок 12.14: Розуміння застосування правила багатовимірного ланцюга.

Зараз ми практикуємо застосування правила багатоваріантного ланцюга.

Приклад$\PageIndex{1}$: Using the Multivariable Chain Rule

Нехай$z=x^2y+x$, де$x=\sin t$ і$y=e^{5t}$. Знайдіть$\frac{dz}{dt}$ за допомогою правила ланцюга.

Розв'язок Слідуючи теоремі 107, ми знаходимо
$$f_x(x,y) = 2xy+1,\qquad f_y(x,y) = x^2,\qquad \frac{dx}{dt} = \cos t,\qquad \frac{dy}{dt}= 5e^{5t}.$$
Застосовуючи теорему, ми маємо
$$\frac{dz}{dt} = (2xy+1)\cos t+ 5x^2e^{5t}.$$
Це може виглядати непарно, так як здається, що$\frac{dz}{dt}$ є функцією$x$,$y$ і$t$. Оскільки$x$ і$y$ є функціями$t$,$\frac{dz}{dt}$ насправді просто функція$t$, і ми можемо замінити на$\sin t$ і$x$$y$ з$e^{5t}$:
$$\frac{dz}{dt} = (2xy+1)\cos t+ 5x^2e^{5t} = (2\sin (t)e^{5t}+1)\cos t+5e^{5t}\sin^2t.$$

Попередній приклад може змусити нас задатися питанням: якщо ми підставили$x$ і$y$ в кінці показати, що$\frac{dz}{dt}$ це дійсно просто функція$t$, чому б не замінити перед диференціацією, показуючи чітко, що$z$ це функція$t$?

Тобто$z = x^2y+x = (\sin t)^2e^{5t}+\sin t.$ застосовуючи правила ланцюжка і продукту, у нас є те,
$$\frac{dz}{dt} = 2\sin t\cos t\, e^{5t}+ 5\sin^2t\,e^{5t}+\cos t,$$
що відповідає результату з прикладу.

Тепер це може змусити задуматися: «У чому сенс? Якщо ми вже могли знайти похідну, навіщо вивчати інший спосіб її пошуку?» У деяких випадках застосування цього правила спрощує виведення, але навряд чи це сила Правила ланцюга. Швидше, у випадку$z=f(x,y)$, коли,$x=g(t)$ і$y=h(t)$, Правило ланцюга надзвичайно потужне, коли ми не знаємо$f$, що$g$ та/або$h$ є. Можливо, важко повірити, але часто в «реальному світі» ми знаємо інформацію про швидкість зміни (тобто інформацію про похідні), не знаючи явно базових функцій. Правило ланцюга дозволяє нам об'єднати кілька темпів змін, щоб знайти іншу швидкість змін. Правило ланцюга також має теоретичне використання, даючи нам уявлення про поведінку певних конструкцій (як ми побачимо в наступному розділі).

Ми демонструємо це в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{2}$: Applying the Multivarible Chain Rule

Об'єкт рухається по контуру на поверхні. Точний шлях і поверхня невідомі, але в той час$t=t_0$ відомо, що:
$$\frac{\partial z}{\partial x} = 5,\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-2,\qquad \frac{dx}{dt}=3\qquad \text{and}\qquad \frac{dy}{dt}=7.$$
Знайти$\frac{dz}{dt}$ в часі$t_0$.

Рішення
Правило багатозмінного ланцюга стверджує, що
\ [\ begin {align*}
\ frac {dz} {dt} &=\ розрив {\ частковий z} {\ частковий z} {\ frac {dx} {dt} +\ frac {\ partial z} {\ частковий y}\ frac {dy} {dt}\\
&= 5 (3) + (-2) (7)\\
&=1.
\ end {align*}\]
Знаючи певні швидкості зміни інформації про поверхню і про шлях частинки в$y$ площині$x$ -, ми можемо визначити, наскільки швидко об'єкт піднімається/падає.

Далі ми застосовуємо правило ланцюга, щоб вирішити проблему max/min.

Приклад$\PageIndex{3}$: Applying the Multivariable Chain Rule

Розглянемо поверхню$z=x^2+y^2-xy$, параболоїд, по якій частка рухається з$x$ і$y$ координатами, заданими$x=\cos t$ і$y=\sin t$. Знайдіть$t=0$,$\frac{dz}{dt}$ коли, і знайдіть, де частинка досягає своїх максимальних/мінімальних$z$ -значень.

Рішення
Це просто обчислити
$$f_x(x,y) = 2x-y,\qquad f_y(x,y) = 2y-x,\qquad \frac{dx}{dt} = -\sin t,\qquad \frac{dy}{dt} = \cos t.$$
Поєднання їх відповідно до Правило ланцюга дає:
$$\frac{dz}{dt} = -(2x-y)\sin t + (2y-x)\cos t.$$

Малюнок 12.15: Побудова шляху частинки на поверхні у прикладі 12.3.5

Коли$t=0$,$x=1$ і$y=0$. Таким чином$\frac{dz}{dt} = -(2)(0)+ (-1)(1) = -1$. Коли$t=0$, частка рухається вниз, як показано на малюнку 12.15.

Щоб знайти, де$z$ -значення максимізується/мінімізовано на шляху частинки, ставимо$\frac{dz}{dt}=0$ і вирішуємо для$t$:
\ [\ begin {align*}
\ frac {dt} =0 &= - (2x-y)\ sin t + (2y-x)\ cos t\\
0&= - (2\ cos t-\ sin t)\ sin t+ (2\ sin t-\ cos t) cos t\\
0&=\ sin^2t-\ cos^2t\
\ cos^2t &=\ sin^2t\\
t&= n\ frac {\ pi} 4\ quad\ text {(для непарного$n$)}
\ end {align*}\]
Ми можемо використовувати Перший похідний тест, щоб знайти$[0,2\pi]$,$z$ що на, досягає його абсолютний мінімум при$t=\pi/4$ і$5\pi/4$; він досягає свого абсолютного максимуму при$t=3\pi/4$ і$7\pi/4$, як показано на малюнку 12.15.

Ми можемо розширити правило ланцюга, щоб включити ситуацію, коли$z$ є функцією більше однієї змінної, і кожна з цих змінних також є функцією більш ніж однієї змінної. Основний випадок цього - де$z=f(x,y)$,$x$ і$y$ є функціями двох змінних, скажімо$s$ і$t$.

ТЕОРЕМА 108 Правило багатоваріантного ланцюга, частина II

1. Нехай$z=f(x,y)$,$x=g(s,t)$ і$y=h(s,t)$, де$f$,$g$ і$h$ є диференційованими функціями. Тоді$z$ є функція$s$ і$t$, і
   -$\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}$, і
   -$\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}.$
   
2. $z = f(x_1,x_2,\ldots,x_m)$Дозволяти диференційовану функцію$m$ змінних, де кожна з$x_i$ є диференційованою функцією змінних$t_1,t_2,\ldots,t_n$. Тоді$z$ є функцією$t_i$, і
   $$\frac{\partial z}{\partial t_i} = \frac{\partial f}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial t_i} + \frac{\partial f}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial t_i} + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_m}\frac{\partial x_m}{\partial t_i}.$$

Приклад$\PageIndex{4}$: Using the Multivarible Chain Rule, Part II

Нехай$z=x^2y+x$,$x=s^2+3t$ і$y=2s-t$. Знайти$\frac{\partial z}{\partial s}$ і$\frac{\partial z}{\partial t}$, і оцінити кожен, коли$s=1$ і$t=2$.


Розв'язок, слідуючи теоремі 108, обчислюємо такі частинні похідні:
$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy+1\qquad\qquad \frac{\partial f}{\partial y} = x^2,$$
$$\frac{\partial x}{\partial s} = 2s \qquad\qquad \frac{\partial x}{\partial t} = 3\qquad\qquad \frac{\partial y}{\partial s} = 2 \qquad\qquad \frac{\partial y}{\partial t} = -1.$$
Таким чином,
$$\frac{\partial z}{\partial s} = (2xy+1)(2s) + (x^2)(2) = 4xys+2s + 2x^2,\quad \text{and}$$
$$\frac{\partial z}{\partial t} = (2xy+1)(3) + (x^2)(-1) = 6xy-x^2+3.$$
коли$s=1$ і$t=2$,$x= 7$ і$y= 0$, так
$$\frac{\partial z}{\partial s} = 100\qquad \text{and}\qquad \frac{\partial z}{\partial t} = -46.$$

Приклад$\PageIndex{5}$: Using the Multivarible Chain Rule, Part II

Нехай$w = xy+z^2$, де$x= t^2e^s$$y= t\cos s$, і$z=s\sin t$. Знайти$\frac{\partial w}{\partial t}$, коли$s=0$ і$t=\pi$.

Рішення,
слідуючи теоремі 108, обчислюємо такі часткові похідні:
$$\frac{\partial f}{\partial x} = y\qquad\qquad \frac{\partial f}{\partial y} = x\qquad\qquad \frac{\partial f}{\partial z} = 2z,$$
$$\frac{\partial x}{\partial t} = 2te^s\qquad\qquad \frac{\partial y}{\partial t} = \cos s\qquad\qquad \frac{\partial z}{\partial t} = s\cos t.$$
Таким чином, $$\frac{\partial w}{\partial t} = y(2te^s) + x(\cos s) + 2z(s\cos t).$$
коли$s=0$ і$t=\pi$, ми маємо$x=\pi^2$, $y=\pi$і$z=0$. Таким чином
$$\frac{\partial w}{\partial t} = \pi(2\pi) + \pi^2 = 3\pi^2.$$

неявна диференціація

Ми вивчали знаходження$y$,$\frac{dy}{dx}$ коли дається як неявна функція докладно$x$ в розділі 2.6. Тут ми знаходимо, що правило багатоваріантного ланцюга дає простіший метод пошуку$\frac{dy}{dx}$.

Наприклад, розглянемо неявну функцію$x^2y-xy^3=3.$ Ми навчилися використовувати наступні кроки для пошуку$\frac{dy}{dx}$:
\ [\ begin {align}
\ frac {d} {dx}\ Big (x^2y-xy^3\ big) &=\ frac {d} {dx}\ Big (3\ Big)\ notag\\
2xy+ x^2\ frac {dx} {dx} -y^3-3xy^2\ гідророзрив {dy} {dx} &= 0\ notag\\
\ гідророзриву {dy} {dx} = -\ гідророзриву {2xy-y^3} {x^2-3xy^2}. \ етикетка {еква:mchain2}
\ кінець {вирівнювання}\]

Замість того, щоб використовувати цей метод, розглянемо$z=x^2y-xy^3$. Неявна функція вище описує криву рівня$z=3$. Розглядаючи$x$ і$y$ як функції$x$, правило багатоваріантного ланцюга стверджує, що
$$\frac{dz}{dx} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dx}.\label{eq:mchain1}$$
Since$z$ є постійним (у нашому прикладі,$z=3$),$\frac{dz}{dx} = 0$. Ми також знаємо$\frac{dx}{dx} = 1$. Рівняння\ ref {еква:mchain1} стає
\ [\ почати {вирівнювати*}
0 &=\ розрив {\ частковий z} {\ частковий х} (1) +\ розрив {\ частковий z} {\ частковий y}\ frac {dy} {dx}
\ quad\\ frac {dy} {partial x}\ Big/\ frac {\ часткове z} {\ часткове y}\\
&= -\ гідророзриву {\, f_x\,} {f_y}.
\ end {вирівнювати*}\]

Зверніть увагу, як наше рішення для$\frac{dy}{dx}$ in Equation\ ref {eq:mchain2} є лише частковою$z$ похідною відносно$x$, розділеної на часткову похідну відносно$y$.$z$

Вище викладемо як теорему.

ТЕОРЕМА 109 Неявна диференціація

$f$Дозволяти диференційовні функції$x$ і$y$, де$f(x,y)=c$ визначається$y$ як неявна функція$x$, для деякої константи$c$. Тоді
$$\frac{dy}{dx} = - \frac{f_x(x,y)}{f_y(x,y)}.$$

Ми практикуємо використання Теореми 109, застосовуючи її до задачі з розділу 2.6.

Приклад$\PageIndex{6}$: Implicit Differentiation

Дано неявно визначену функцію$\sin(x^2y^2)+y^3=x+y$, знайдіть$y'$. Примітка: це та сама проблема, що і в прикладі 2.6.4 з розділу 2.6, де рішення знадобилося близько повної сторінки, щоб знайти.


Solution$f(x,y) = \sin(x^2y^2)+y^3-x-y$ Let; неявно визначена вище функція еквівалентна$f(x,y)=0$. Знаходимо$\frac{dy}{dx}$ шляхом застосування теореми 109.
$$f_x(x,y) = 2xy^2\cos(x^2y^2)-1\qquad \text{and}\qquad f_y(x,y) = 2x^2y\cos(x^2y^2)+3y^2-1,$$
Знаходимо так
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{2xy^2\cos(x^2y^2)-1}{2x^2y\cos(x^2y^2)+3y^2-1},$$
, що відповідає нашому рішенню з Прикладу 2.6.4.