12.6: Спрямовані похідні

Часткові похідні дають нам розуміння того, як змінюється поверхня, коли ми рухаємося в\(y\) напрямках\(x\) і. Ми зробили порівняння з стоячи на прокатному лузі та прямуючи на схід: кількість підйому/падіння при цьому порівнянна з\(f_x\). Так само зростання/падіння при русі через північ можна порівняти з\(f_y\). Чим крутіше ухил, тим більше за величиною\(f_y\). Але що робити, якщо ми не рухалися через північ чи схід? Що робити, якщо нам потрібно було рухатися на північний схід і хотілося виміряти кількість підйому/падіння? Часткові похідні самі по собі не можуть виміряти це. Цей розділ досліджує спрямовані похідні, які вимірюють цю швидкість зміни. Почнемо з визначення.

Визначення 90 Спрямовані похідні

\(z=f(x,y)\)Дозволяти бути безперервним на відкритому множині\(S\) і нехай\(\vec u = \langle u_1,u_2\rangle\) бути одиничний вектор. Для всіх точок\((x,y)\) спрямована похідна\(f\) at\((x,y)\) у напрямку\(\vec u\) дорівнює

\[D_{\vec u\,}f(x,y) = \lim\limits_{h\to 0} \frac{f(x+hu_1,y+hu_2) - f(x,y)}h.\]

Часткові похідні\(f_x\) і\(f_y\) визначаються з подібними межами, але тільки\(x\) або\(y\) змінюється з\(h\), а не обидва. Тут обидва\(x\) і\(y\) варіюються з зваженим\(h\), визначеним певним одиничним вектором\(\vec u\). Це може виглядати трохи залякуючим, але насправді це не надто важко мати справу; часто це просто вимагає додаткової алгебри. Однак наступна теорема зменшує цю алгебраїчне навантаження.

теорема 110 Спрямовані похідні

\(z=f(x,y)\)Дозволяти диференційовні на відкритому множині\((x_0,y_0)\),\(S\) що містить, і нехай\(\vec u = \langle u_1,u_2\rangle\) бути одиничний вектор. Спрямована похідна\(f\) at\((x_0,y_0)\) у напрямку\(\vec u\) є

\[D_{\vec u\,}f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)u_1 + f_y(x_0,y_0)u_2.\]

Приклад\(\PageIndex{1}\): Computing directional derivatives

Нехай\(z= 14-x^2-y^2\) і нехай\(P=(1,2)\). Знайти спрямовану похідну від\(f\), при\(P\), в наступних напрямках:

1. до точки\(Q=(3,4)\),
2. в напрямку\(\langle 2,-1\rangle\), і
3. до походження.

Малюнок 12.16: Розуміння спрямованої похідної в прикладі 12.6.1

Рішення

Поверхня нанесена на малюнку 12.16, де точка\(P=(1,2)\) вказується в\(x,y\) -площині, а також точка,\((1,2,9)\) яка лежить на поверхні\(f\). Ми знаходимо, що\(f_x(x,y) = -2x\) і\(f_x(1,2) = -2\);\(f_y(x,y) = -2y\) і\(f_y(1,2) = -4\).

1. \(\vec u_1\)Дозволяти одиничний вектор, який вказує від точки\((1,2)\) до точки\(Q=(3,4)\), як показано на малюнку. Вектор\(\vec{PQ} = \langle 2,2\rangle\); одиничний вектор в цьому напрямку є\(\vec u_1=\langle 1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}\rangle\). Таким чином, спрямована похідна\(f\) at\((1,2)\) у напрямку\(\vec u_1\) є\[D_{\vec u_1}f(1,2) = -2(1/\sqrt{2}) +(-4)(1/\sqrt{2}) = -6/\sqrt{2}\approx -4.24.\] Таким чином миттєва швидкість зміни переміщення від точки\((1,2,9)\) на поверхні у напрямку\(\vec u_1\) (яка вказує на точку\(Q\)) приблизно\(-4.24\). Рухаючись в цьому напрямку рухається один круто вниз.
   
2. Ми шукаємо спрямовану похідну в напрямку\(\langle 2,-1\rangle\). Вектор одиниці в цьому напрямку є\(\vec u_2 = \langle 2/\sqrt{5},-1/\sqrt{5}\rangle\). Таким чином, спрямована похідна\(f\) at\((1,2)\) у напрямку\(\vec u_2\) є\[D_{\vec u_2}f(1,2) = -2(2/\sqrt{5})+(-4)(-1/\sqrt{5}) = 0.\] Починаючи на поверхні\(f\) at\((1,2)\) і рухаючись у напрямку\(\langle 2,-1\rangle\) (або\(\vec u_2\)) не призводить до миттєвої зміни\(z\) -значення. Це аналогічно стоянню на стороні пагорба і вибору напрямку для ходьби, який не змінює піднесення. Один ні ходить вгору, ні вниз, скоріше просто «уздовж боку» пагорба.
   
   Знаходження цих напрямків «без перепадів висот» важливо.
   
3. В\(P=(1,2)\), напрямок до початку задано вектором\(\langle -1,-2\rangle\); одиничний вектор в цьому напрямку є\(\vec u_3=\langle -1/\sqrt{5},-2/\sqrt{5}\rangle\). Спрямована похідна\(f\) at\(P\) у напрямку початку є\[D_{\vec u_3}f(1,2) = -2(-1/\sqrt{5}) + (-4)(-2/\sqrt{5}) = 10/\sqrt{5} \approx 4.47.\] Рух до початку означає «ходьба в гору» досить круто, з початковим нахилом близько\(4.47\).

Коли ми вивчаємо спрямовані похідні, це допоможе зробити важливий зв'язок між одиничним вектором\(\vec u = \langle u_1,u_2\rangle\), що описує напрямок, і частковими похідними\(f_x\) і\(f_y\). Ми починаємо з визначення і слідуємо за цим ключовою ідеєю.

Визначення 91 Градієнт

\(z=f(x,y)\)Дозволяти диференціюватися на відкритому\(S\) множині, який містить точку\((x_0,y_0)\).

1. Градієнт\(f\) є\(\nabla f(x,y) = \langle f_x(x,y),f_y(x,y)\rangle\).
2. Градієнт\(f\) at\((x_0,y_0)\) дорівнює\(\nabla f(x_0,y_0) = \langle f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0)\rangle\).

Примітка: Символ\(\nabla\) "" називається «набла», походить від грецької назви єврейської арфи. Як не дивно, в математиці вираз\(\nabla f\) вимовляється «дель»\(f\).

Щоб спростити позначення, ми часто виражаємо градієнт як\(\nabla f = \langle f_x, f_y\rangle\). Градієнт дозволяє обчислити спрямовані похідні в терміні точкового добутку.

KEY IDEA 55 Градієнт і спрямовані похідні

Спрямована похідна\(z=f(x,y)\) в напрямку\(\vec u\) є\[D_{\vec u}f = \nabla f\cdot \vec u.\]

Властивості досліджуваного раніше точкового добутку дозволяють досліджувати властивості спрямованої похідної. З огляду на, що спрямована похідна дає миттєву швидкість зміни\(z\) при русі в напрямку\(\vec u\), закономірно виникають три питання:

1. В якому напрямку (и) відбувається зміна\(z\) найбільшого (тобто «найкрутішого підйому»)?
2. В якому напрямку (и) відбувається зміна\(z\) найменше (тобто «найкрутіший спуск»)?
3. В якому напрямку (и) немає змін\(z\)?

Використовуючи властивість key крапкового добутку, ми маємо
\[\nabla f\cdot \vec u = \norm{\nabla f}\,\norm u \cos \theta = \norm{\nabla f}\cos \theta, \label{eq:gradient}\]
де\(\theta\) кут між градієнтом і\(\vec u\). (Оскільки\(\vec u\) є одиничним вектором,\(\norm{u} = 1\).) Це рівняння дозволяє відповісти на три питання, викладені раніше.

1. Рівняння\ ref {eq:gradient} максимізується тоді, коли градієнт і\(\vec u\) мають однаковий напрямок.\(\cos \theta =1\) Укладаємо точки градієнта в сторону найбільшої\(z\) зміни.
2. Рівняння\ ref {eq:gradient} зводиться до мінімуму, коли градієнт і\(\vec u\) мають протилежні напрямки.\(\cos \theta = -1\) Укладаємо точки градієнта в протилежну сторону найменшої\(z\) зміни.
3. Рівняння\ ref {eq:gradient} дорівнює 0, коли, тобто коли градієнт і\(\vec u\) ортогональні один до одного.\(\cos \theta = 0\) Ми робимо висновок, що градієнт ортогональний до напрямків без\(z\) змін.

Такий результат досить дивовижний. Ще раз уявіть собі, що стоїть на прокатному лузі і зіткнутися з напрямком, який веде вас найкрутішим вгору. Тоді напрямок, який веде найкрутіший спуск, знаходиться безпосередньо позаду вас, а бічний крок або вліво, або вправо (тобто рух перпендикулярно напрямку, до якого ви стикаєтеся) зовсім не змінює вашу висоту.

Нагадаємо, що крива рівня визначається шляхом у\(xy\) -площині, по якій\(z\) -значення функції не змінюються; спрямована похідна у напрямку кривої рівня дорівнює 0. Це аналогічно ходьбі по доріжці в прокатному лузі, по якій височина не змінюється. Градієнт у точці ортогональний напрямку, де\(z\) не змінюється; тобто градієнт ортогональний кривим рівня.

Нагадаємо, що крива рівня визначається як крива в\(xy\) -площині, вздовж якої\(z\) -значення функції не змінюються. Нехай задана поверхня\(z=f(x,y)\), і давайте представляємо одну таку криву рівня, як векторно-значна функція,\(\vec r (t) = \langle x(t), y(t)\rangle\). Оскільки вихід\(f\) не змінюється по цій кривій,\(f\big(x(t),y(t)\big) = c\) для всіх\(t\), для якоїсь постійної\(c\).

Так як\(f\) постійний для всіх\(t\),\(\frac{df}{dt} = 0\). За правилом багатоваріантного ланцюга ми також знаємо
\ [\ begin {align*}
\ frac {df} {dt} &= f_x (x, y) x' (t) + f_y (x, y) y' (t)\\
&=\ кут f_x (x, y), f_y (x, y)\ rangle\ cdot\ langle x' (t)), y' (t)\ діапазон\\
&=\ nabla f\ cdot\ vec r '(t)\\
&= 0.
\ end {вирівнювати*}\]

Ця остання рівність\(\nabla f \cdot \vec r '(t) = 0\) стверджує: градієнт ортогональний до похідної\(\vec r\), тобто градієнт ортогональний до\(\vec r\) себе. Наш висновок: у будь-якій точці поверхні градієнт у цій точці ортогональний кривій рівня, яка проходить через цю точку.

Ми повторюємо ці ідеї в теоремі, а потім використовуємо їх у прикладі.

Теорема 111 Градієнт і спрямовані похідні

Дозволяти\(z=f(x,y)\) диференціюватися на відкритому множині\(S\) з градієнтом\(\nabla f\), нехай\(P=(x_0,y_0)\) точка в\(S\) і нехай\(\vec u\) бути одиничний вектор.

1. Максимальне значення\(D_{\vec u\,}f(x_0,y_0)\) is\(\norm{\nabla f(x_0,y_0)}\); напрямок максимального\(z\) збільшення дорівнює\(\nabla f(x_0,y_0)\).
2. Мінімальне значення\(D_{\vec u\,}f(x_0,y_0)\) is\(-\norm{\nabla f(x_0,y_0)}\); напрямок мінімального\(z\) збільшення є\(-\nabla f(x_0,y_0)\).
3. В\(P\),\(\nabla f(x_0,y_0)\) ортогональна до кривої рівня, що проходить через\(\big(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\big)\).

Приклад\(\PageIndex{2}\): Finding directions of maximal and minimal increase

Нехай\(f(x,y) = \sin x\cos y\) і нехай\(P=(\pi/3,\pi/3)\). Знайдіть напрямки максимального/мінімального збільшення, і знайдіть напрямок, де миттєва швидкість\(z\) зміни дорівнює 0.

Рішення

Починаємо з пошуку градієнта. \(f_x = \cos x\cos y\)і\(f_y = -\sin x\sin y\), таким чином

\[\nabla f = \langle \cos x\cos y,-\sin x\sin y\rangle \quad \text{and, at \(P\),} \quad \nabla f\left(\frac{\pi}3,\frac{\pi}3\right) = \langle\frac14,-\frac34\rangle.\]

Таким чином, напрямок максимального збільшення є\(\langle 1/4, -3/4\rangle\). У цьому напрямку миттєва швидкість\(z\) зміни дорівнює\(||\langle 1/4,-3/4\rangle|| = \sqrt{10}/4 \approx 0.79.\)

На малюнку 12.17 показана поверхня, побудована з двох різних точок зору. У кожному градієнт малюється\(P\) пунктирною лінією (через характер цієї поверхні градієнт вказує «в» поверхню). \(\vec u = \langle u_1, u_2\rangle \)Дозволяти бути одиничний вектор у напрямку\(\nabla f\) at\(P\). Кожен графік малюнка також містить вектор\(\langle u_1, u_2, ||\nabla f\,||\rangle\). Цей вектор має «пробіг» 1 (тому що в\(xy\) -площині він рухається 1 одиниця) і «підйом»\(||\nabla f\,||\), отже, ми можемо думати про нього як про вектор з нахилом\(||\nabla f\,||\) у напрямку\(\nabla f\), допомагаючи нам візуалізувати, наскільки «крута» поверхня знаходиться в найкрутішому напрямку.

Малюнок 12.17: Графік поверхні та важливих напрямків у прикладі 12.6.2.

Напрямок мінімального збільшення є\(\langle -1/4,3/4\rangle\); в цьому напрямку миттєва швидкість\(z\) зміни є\(-\sqrt{10}/4 \approx -0.79\).

Будь-який напрямок ортогональний до\(\nabla f\) є напрямком без\(z\) змін. У нас є два варіанти: напрямок\(\langle 3,1\rangle\) і напрямок\(\langle -3,-1\rangle\). Одиничний вектор у напрямку\(\langle 3,1\rangle\) показаний також на кожному графіку фігури. Крива рівня на\(z=\sqrt{3}/4\) малюється: нагадаємо, що уздовж цієї кривої\(z\) -значення не змінюються. \(\langle 3,1\rangle\)Оскільки напрямок no\(z\) -change, цей вектор є дотичною до кривої рівня на\(P\).

Приклад\(\PageIndex{3}\): Understanding when \(\nabla f = \vec 0\)

Нехай\(f(x,y) = -x^2+2x-y^2+2y+1\). Знайти спрямовану похідну\(f\) в будь-якому напрямку на\(P=(1,1)\).

Рішення

Знаходимо\(\nabla f = \langle -2x+2, -2y+2\rangle\). На\(P\), у нас є\(\nabla f(1,1) = \langle 0,0\rangle\).

Згідно теоремі 111, це напрямок максимального збільшення. Однак\(\langle 0,0\rangle\) є безнаправленим; він не має зміщення. І незалежно від\(\vec u\) обраного вектора одиниці,\(D_{\vec u\,}f = 0\).

Малюнок 12.18 допомагає нам зрозуміти, що це означає. Ми бачимо, що\(P\) лежить на вершині параболоїда. У всіх напрямках миттєва швидкість зміни дорівнює 0.

Так який напрямок максимального збільшення? Це нормально, щоб дати відповідь\(\vec 0 = \langle 0,0\rangle\), так як це вказує на те, що всі спрямовані похідні 0.

Малюнок 12.18: У верхній частині параболоїда всі спрямовані похідні 0.

Той факт, що градієнт поверхні завжди вказує у напрямку найкрутішого збільшення/зменшення, дуже корисний, як показано в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{4}\): The flow of water downhill

Розглянемо поверхню, задану\(f(x,y)= 20-x^2-2y^2\). Вода виливається на поверхню при\((1,1/4)\). Який шлях він приймає, коли він тече вниз?

Рішення

\(\vec r (t) = \langle x(t), y(t)\rangle\)Дозволяти векторно-значна функція, що описує шлях води в\(xy\) -площині; ми шукаємо\(x(t)\) і\(y(t)\). Ми знаємо, що вода завжди буде стікати вниз в найкрутішому напрямку; тому в будь-якій точці на своєму шляху вона буде рухатися в напрямку\(-\nabla f\). (Ми ігноруємо фізичний вплив імпульсу на воду.) При цьому\(\vec r '(t)\) буде паралельно\(\nabla f\), і є якась постійна\(c\) така, що\(c\nabla f = \vec r '(t) = \langle x'(t), y'(t)\rangle\).

Знаходимо\(\nabla f = \langle -2x, -4y\rangle\) і пишемо\(x'(t)\) як\(\frac{dx}{dt}\) і\(y'(t)\) як\(\frac{dy}{dt}\). Тоді

\ [\ begin {align*}
c\ nabla f &=\ лангель x '(t), y' (t)\ діапазон\
\ лангель -2cx, -4cy\ діапазон & =\ лангель\ frac {dx} {dt},\ frac {dy} {dt} {dt}\ діапазон.
\ end {вирівнювати*}\]

Це має на увазі

\[-2cx = \frac{dx}{dt} \quad \text{and} \quad -4cy =\frac{dy}{dt}, \text{ i.e.,}\]

\[c = -\frac{1}{2x}\frac{dx}{dt} \quad \text{and} \quad c =-\frac{1}{4y}\frac{dy}{dt}.\]

Як\(c\) дорівнює обидва вирази, у нас є

\[\frac{1}{2x}\frac{dx}{dt} =\frac{1}{4y}\frac{dy}{dt}.\]

Щоб знайти явний зв'язок між\(x\) і\(y\), ми можемо інтегрувати обидві сторони стосовно\(t\). Нагадаємо з нашого дослідження диференціалів, що\( \frac{dx}{dt}dt = dx\). Таким чином:

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ int\ розрив {1} {2x}\ розрив {dx} {dx} {dt}\ dt &=\ int\ гідророзриву {1} {4y}\ frac {1} {2x}\ dx &=\ int\ frac {1} {4y}\ dy\\ frac 12
\ ln|x| &=\ фрак14\ ln|y| +C_1\\
2\ ln|х | &=\ ln|y| +C_1\\
\ ln |х ^2| &=\
LN|Y|+C_1\ кінець {вирівнювати*}\]

Тепер підніміть обидві сторони як силу\(e\):

\ [\ begin {align*}
x^2 &= e^ {\ ln |Y|+C_1}\\
x^2 &= e^ {\ ln |y|} e^ {C_1}\ qquad\ text {(Зауважте, що\(e^{C_1}\) це просто константа.)} \\
x^2 &= YC_2\\
\ frac1 {C_2} x^2 &=y\ qquad\ text {(Зауважте, що\(1/C_2\) це просто константа.)} \\
Cx^2 &= у.
\ end {align*}\]

Коли вода почалася в точці\((1,1/4)\), ми можемо вирішити для\(C\):
\[C(1)^2 = \frac14 \quad \Rightarrow \quad C = \frac14.\]

Малюнок 12.19: Графік поверхні, описаний в прикладі 16.2.4 разом з траєкторією в\(xy\) -площині з кривими рівня.

Таким чином вода слідує за кривою\(y=x^2/4\) в\(xy\) -площині. Поверхня і шлях води зображені на малюнку 12.19 (а). У частині (b) фігури криві рівня поверхні наносяться в\(xy\) -площині разом з кривою\(y=x^2/4\). Зверніть увагу, як контур перетинає криві рівня під прямим кутом. Оскільки шлях слідує за градієнтом вниз, це підсилює той факт, що градієнт є ортогональним кривим рівня.

Функції трьох змінних

Поняття спрямованих похідних і градієнта легко розширюються до трьох (і більше) змінних. Поєднуємо поняття, що стоять за визначеннями 90 і 91 і теоремою 110, в один набір визначень.

Визначення 92 Напрямні похідні та градієнт з трьома змінними

Дозволяти\(w=F(x,y,z)\) диференціюватися на відкритий куля\(B\) і нехай\(\vec u \) бути одиничний вектор в\(\mathbb{R}^3\).

1. Градієнт\(F\) є\(\nabla F = \langle F_x,F_y,F_z\rangle\).
2. Спрямована похідна\(F\) в напрямку\(\vec u\) є\[D_{\vec u\,}F=\nabla F\cdot \vec u.\]

Ті ж властивості градієнта, наведені в теоремі 111, коли\(f\) є функцією двох змінних, hold for\(F\), функція трьох змінних.

ТЕОРЕМА 112 Градієнт та спрямовані похідні з трьома змінними

\(w=F(x,y,z)\)Дозволяти диференціюватися на відкритий куля\(B\),\(\nabla F\) Дозволяти бути градієнт\(F\), і нехай\(\vec u\) бути блок вектор.

1. Максимальне значення\(D_{\vec u\,}F\) is\(\norm{\nabla F}\), отримане, коли кут між\(\nabla F\) і\(\vec u\) дорівнює 0, тобто напрямок максимального збільшення дорівнює\(\nabla F\).
2. Мінімальне значення\(D_{\vec u\,}F\) is\(-\norm{\nabla F}\), отримане при куті між\(\nabla F\) і\(\vec u\) є\(\pi\), тобто напрямок мінімального збільшення дорівнює\(-\nabla F\).
3. \(D_{\vec u\,}F = 0\)коли\(\nabla F\) і\(\vec u\) є ортогональними.

Третій твердження теореми ми інтерпретуємо як «градієнт ортогональний рівним поверхням», тризмінний аналог кривим рівня.

Приклад\(\PageIndex{5}\): Finding directional derivatives with functions of three variables

Якщо\(S\) точкове джерело випромінює енергію, інтенсивність\(I\)\(P\) в даній точці простору обернено пропорційна квадрату відстані між\(S\) і\(P\). Тобто, коли\(S=(0,0,0)\),\( I(x,y,z) = \frac{k}{x^2+y^2+z^2}\) для якоїсь постійної\(k\).

\(k=1\)Дозволяти\(\vec u = \langle 2/3, 2/3, 1/3\rangle\) бути одиничний вектор, і нехай\(P = (2,5,3).\) Вимірювати відстані в дюймах. Знайдіть спрямовану похідну\(I\) at\(P\) в напрямку\(\vec u\), і знайдіть напрямок найбільшої інтенсивності збільшення при\(P\).

Рішення
Нам потрібен градієнт\(\nabla I\), тобто нам потрібен\(I_x\),\(I_y\) і\(I_z\). Кожна часткова похідна вимагає простого застосування правила частки, що дає

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ набла I &=\ кут\ розрив {-2x} {(x^2+y^2+z^2) ^2},\ розрив {-2y} {(x^2+y^2+z ^ 2) ^2},\ розрив {-2z} {(x^2+y^2+z ^ 2}\\ Діапазон\
\ Набла I (2,5,3) &=\ ланголь\ гідророзриву {-4} {1444},\ гідророзриву {-10} {1444},\ frac {-6} {1444}\ діапазон\ приблизно\ кут -0.003, -0.007, -0.004\ діапазон\\
D_ {\ vec u\,} Я &=\ набла I (2,5,3)\ cdot\ vec u\\
&= -\ FRAC {17} {2166}\ приблизно -0,0078.
\ end {вирівнювати*}\]

Спрямована похідна говорить нам, що рух у напрямку\(\vec u\) від\(P\) призводить до зменшення інтенсивності приблизно\(-0.008\) одиниць на дюйм. (Інтенсивність зменшується,\(\vec u\) коли рухається на один далі від початку, ніж\(P\).)

Градієнт дає напрямок найбільшого збільшення інтенсивності. Зауважте, що

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ набла I (2,5,3) &=\ ланголь\ гідророзриву {-4} {1444},\ розрив {-10} {1444},\ frac {-6} {1444}\ діапазон\\
&=\ розрив {2} {1444}\ лангле -2, -5, -3\ діапазон.
\ end {вирівнювати*}\]

Тобто градієнт при\((2,5,3)\) спрямований у напрямку\(\langle -2,-5,-3\rangle\), тобто до початку. Це повинно мати інтуїтивний сенс: найбільший приріст інтенсивності виявляється, рухаючись до джерела енергії.

Похідна спрямованості дозволяє знайти миттєву швидкість\(z\) зміни в будь-якому напрямку в точці. Ми можемо використовувати ці миттєві швидкості зміни для визначення ліній і площин, які дотичні до поверхні в точці, що є темою наступного розділу.