12.4: Диференційовність та загальний диференціал

Ми вивчали диференціали в розділі 4.4, де Визначення 18 стверджує, що якщо$y=f(x)$ і$f$ диференційовний, то$dy=f'(x)dx$. Одним з важливих застосувань цього диференціала є інтеграція шляхом заміщення. Ще одне важливе застосування - наближення. Нехай$\Delta x = dx$ представляють собою зміну в$x$. Коли$dx$ невеликий$dy\approx \Delta y$, зміна в$y$ результаті зміни в$x$. Фундаментальним у цьому розумінні є наступне: як$dx$ стає маленькою, різниця між$\Delta y$ і$dy$ переходить до 0. Інший спосіб заявити це: як$dx$ йде до 0, помилка в наближенні$\Delta y$ з$dy$ переходить до 0.

Ми поширюємо цю ідею на функції двох змінних. Дозволяти$z=f(x,y)$, і нехай$\Delta x = dx$ і$\Delta y=dy$ представляють зміни в$x$ і$y$, відповідно. Нехай$\Delta z = f(x+dx,y+dy) - f(x,y)$ буде зміна$z$ над зміною в$x$ і$y$. Нагадуючи, що$f_x$ і$f_y$ дати миттєві темпи$z$ -зміни в$x$ - і$y$ -напрямках, відповідно, ми можемо наблизити$\Delta z$ з$dz = f_xdx+f_ydy$; словами, загальна зміна$z$ приблизно зміна, викликана зміною$x$ плюс зміна, викликана зміною$y$. Через мить ми даємо вказівку на те, чи є це наближення будь-яким хорошим. Спочатку ми даємо ім'я$dz$.

Визначення 86: Загальний диференціал

$z=f(x,y)$Дозволяти бути безперервним на відкритому наборі$S$. $dy$Дозволяти$dx$ і представляти зміни в$x$ і$y$, відповідно. Там, де часткові похідні$f_x$ і$f_y$ існують, сумарний$z$ диференціал

$$dz = f_x(x,y)dx + f_y(x,y)dy.$$

Приклад$\PageIndex{1}$: Finding the total differential

Нехай$z = x^4e^{3y}$. Знайти$dz$.
Рішення

Обчислюємо часткові похідні:$f_x = 4x^3e^{3y}$ і$f_y = 3x^4e^{3y}$. Слідуючи визначенню 86, ми маємо

$$dz = 4x^3e^{3y}dx+3x^4e^{3y}dy.$$

Ми можемо наблизити$\Delta z$ з$dz$, але, як і у всіх наближеннях, є помилка. Хорошим наближенням є таке, в якому похибка невелика. У даний момент$(x_0,y_0)$, нехай$E_x$ і$E_y$ бути функції$dx$ і$dy$ такі, що$E_xdx+E_ydy$ описує цю помилку. Тоді

\ [\ begin {align*}
\ Дельта z &= дз + e_xDX+ e_YDY\\
&= f_x (x_0, y_0) дх+ф_у (x_0, y_0) ди + e_xdx+e_YDY.
\ end {вирівнювати*}\]

Якщо наближення$\Delta z$ по$dz$ добре, то як$dx$ і$dy$ отримати маленьке, так і робить$E_xdx+E_ydy$. Наближення$\Delta z$ по ще$dz$ краще, якщо, як$dx$ і$dy$ перейти до 0, так робити$E_x$ і$E_y$. Це призводить нас до нашого визначення диференційованості.

Визначення 87: Багатоваріантна диференціативність

$z=f(x,y)$Дозволяти визначатися на відкритому множині$S$, що містить$(x_0,y_0)$ де$f_x(x_0,y_0)$ і$f_y(x_0,y_0)$ існує. $dz$Дозволяти бути загальний диференціал$z$ в$(x_0,y_0)$$\Delta z = f(x_0+dx,y_0+dy) - f(x_0,y_0)$, нехай, і нехай$E_x$ і$E_y$ бути функції$dx$ і$dy$ такі, що
$$\Delta z = dz + E_xdx + E_ydy.$$

1. $f$диференціюється при$(x_0,y_0)$ якщо$\epsilon >0$, дано, є$\delta >0$ таке, що якщо$||\langle dx,dy\rangle|| < \delta$, то$||\langle E_x,E_y\rangle|| < \epsilon$. Тобто, як$dx$ і$dy$ перейти до 0, так роблять$E_x$ і$E_y$.
2. $f$диференціюється на$S$ якщо$f$ диференціюється в кожній точці$S$. Якщо$f$ диференційований$\mathbb{R}^2$, ми говоримо, що$f$ диференційований скрізь.

Приклад$\PageIndex{2}$: Showing a function is differentiable

Show$f(x,y) = xy+3y^2$ є диференційованим за допомогою визначення 87.

Рішення

Починаємо з пошуку$f(x+dx,y+dy)$$\Delta z$,$f_x$ і$f_y$.

\ [\ почати {вирівнювати*}
f (x+dx, y+dy) &= (x+dx) (y+dy) + 3 (y+dy) ^2\\
&= xdy+xdy+ydx+dxdy+ 3y^2+6ydy+3dy^2.
\ end {вирівнювати*}\]

$\Delta z = f(x+dx,y+dy) - f(x,y)$, так

$$\Delta z = xdy + ydx + dxdy + 6ydy+3dy^2.$$

Це просто обчислити$f_x = y$ і$f_y = x+6y$. Розглянемо ще раз$\Delta z$:

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ Дельта z &= ddy+ydx+ dxdy+6ydy+3dy^2\ qquad\ текст {(тепер змінити порядок)}\\
&= ydx+ xdy+6ydy+ dxdy+ 3dy^2\\
&=\ underbrace {(y)} _ {f_x} dx +\ underbrace {(x+6y))} _ {f_y} dy +\ підставка {(dy)} _ {e_x} dx+\ underbrace {(3dy)} _ {e_y} dy\\
& підсилювач; = f_xdx + f_ydy+e_dy.
\ end {вирівнювати*}\]

З$E_x = dy$ і$E_y = 3dy$, зрозуміло, що як$dx$ і$dy$ перейти до 0,$E_x$ а$E_y$ також перейти до 0. Оскільки це не залежало від конкретної точки$(x_0,y_0)$, можна сказати, що$f(x,y)$ диференціюється для всіх пар$(x,y)$ в$\mathbb{R}^2$, або, що еквівалентно, що$f$ диференціюється скрізь.

Наше інтуїтивне розуміння диференційованості функцій$y=f(x)$ однієї змінної полягало в тому, що графік$f$ був «гладким». Подібне інтуїтивне розуміння функцій двох змінних полягає в тому, що поверхня, визначена, також$f$ є «гладкою», не містить$z=f(x,y)$ зрізів, країв, розривів тощо Наступна теорема стверджує, що диференційовні функції є безперервними, а потім інша теорема, яка забезпечує більш відчутну спосіб визначення того, чи є велика кількість функцій диференційованими чи ні.

ТЕОРЕМА 104: Неперервність і диференційовність багатозмінних функцій

$z=f(x,y)$Дозволяти визначатися на відкритому наборі,$S$ що містить$(x_0,y_0)$.

Якщо$f$ диференційована при$(x_0,y_0)$,$f$ то безперервна при$(x_0,y_0)$.

ТЕОРЕМА 105: Диференційовність багатовимірних функцій

$z=f(x,y)$Дозволяти визначатися на відкритому наборі,$S$ що містить$(x_0,y_0)$.

Якщо$f_x$ і$f_y$ обидва безперервні на$S$, то$f$ диференціюється на$S$.

Теореми запевняють нас, що по суті всі функції, які ми бачимо в ході наших досліджень тут, диференційовні (а отже, і безперервні) на своїх природних областях. Однак існує різниця між визначенням 87 та теоремою 105: функція може бути$f$ диференційованою$f_x$ та/або не$f_y$ є безперервною. Таке дивна поведінка функцій є джерелом захоплення багатьох математиків.

Коли$f_x$ і$f_y$ існують у точці, але не є безперервними в цей момент, нам потрібно використовувати інші методи, щоб визначити, чи$f$ є диференційованим у цій точці.

Наприклад, розглянемо функцію

\ [f (x, y) =\ left\ {\ begin {масив} {cl}\ frac {xy} {x^2+y^2} & (x, y)\ neq (0,0)\
0 & (x, y) = (0,0)\ end {масив}\ право.\]
Ми можемо знайти$f_x(0,0)$ і$f_y(0,0)$ використовувати визначення 83:
\ [\ begin {align*}
f_x (0,0) 0) &=\ lim_ {h\ to 0}\ frac {f (0+h,0) - f (0,0)} {h}\\
&=\ lim_ {h\ to 0}\ frac {0} {h^2} = 0;\\
f_y (0,0) &=\ lim_ {h\ to 0}\ frac {f (0,0+h)} {h}\\
&=\ lim_ {h\ to 0}\ frac {0} {h^2} = 0.
\ end {вирівнювати*}\]

Обидва$f_x$ і$f_y$ існують при$(0,0)$, але вони не є безперервними при$(0,0)$, як

$$f_x(x,y) = \frac{y(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2} \qquad \text{and}\qquad f_y(x,y) = \frac{x(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}$$

не є безперервними при$(0,0)$. (Візьміть межу$f_x$ як$(x,y)\to(0,0)$ уздовж$x$ - і$y$ -осей; вони дають різні результати.) Так що, хоча$f_x$ і$f_y$ існують у кожній точці$x$ -$y$ площині, вони не є безперервними. Тому можна, за теоремою 105,$f$ щоб не бути диференційованим.

Дійсно, це не так. Можна показати, що не$f$ є безперервним при$(0,0)$ (див. Приклад 12.2.4), і за теоремою 104,$f$ це означає, що не диференціюється в$(0,0)$.

Наближення із загальним диференціалом

За визначенням, коли$f$ диференційовний$dz$ - це гарне наближення для$\Delta z$ коли$dx$ і$dy$ малі. Наведемо кілька простих прикладів того, як це використовується тут.

Приклад$\PageIndex{3}$: Approximating with the total differential

Нехай$z = \sqrt{x}\sin y$. Орієнтовний$f(4.1,0.8)$.

Рішення

Визнаючи це$\pi/4 \approx 0.785\approx 0.8$, ми можемо приблизне$f(4.1,0.8)$ використання$f(4,\pi/4)$. Ми можемо легко обчислити$f(4,\pi/4) = \sqrt{4}\sin(\pi/4) = 2\left(\frac{\sqrt{2}}2\right) = \sqrt{2}\approx 1.414.$ Без обчислення, це найкраще наближення, яке ми могли б розумно придумати. Загальний диференціал дає нам спосіб коригування цього початкового наближення, щоб, сподіваємось, отримати більш точну відповідь.

Ми пускаємо$\Delta z = f(4.1,0.8) - f(4,\pi/4)$. Загальний диференціал приблизно$dz$ дорівнює$\Delta z$, так

$$f(4.1,0.8) - f(4,\pi/4) \approx dz \quad \Rightarrow \quad f(4.1,0.8) \approx dz + f(4,\pi/4).\label{eq:totaldiff2}$$

Щоб знайти$dz$, нам потрібно$f_x$ і$f_y$.

\ [\ почати {вирівнювати*}
f_x (x, y) &=\ frac {\ sin y} {2\ sqrt {x}}\ квад\ Стрілка вправо&
f_x (4,\ pi/4) &=\ frac {\ sin\ pi/4} {2\ sqrt {4}}\\ & &&=\ frac {\ sqrt {2} /2} {2\ sqrt {4}}\\
& &&=\ frac {\ sqrt {2} /2} 4} =\ sqrt {2} /8. \\
f_y (x, y) &=\ sqrt {x}\ cos y\ quad\ Стрілка праворуч &
f_y (4,\ pi/4) &=\ sqrt {4}\ frac {\ sqrt {2}} 2\\
& & &=\ sqrt {2}.
\ end {вирівнювати*}\]

$4.1$Апроксимація з 4 дає$dx = 0.1$;$0.8$ апроксимація з$\pi/4$ дає$dy \approx 0.015$. Таким чином

\ [\ почати {вирівнювати*}
дз (4,\ pi/4) &= f_x (4,\ pi/4) (0.1) + f_y (4,\ pi/4) (0.015)\\
&=\ frac {\ sqrt {2}} 8 (0.1) +\ sqrt {2} (0.015)\\
&\ приблизно 0,039.
\ end {вирівнювати*}\]

Повертаючись до Рівняння\ ref {eq:totaldiff2}, ми маємо

$$f(4.1,0.8) \approx 0.039 + 1.414 = 1.4531.$$

Ми, звичайно, можемо обчислити фактичне значення$f(4.1,0.8)$ з калькулятором; фактичне значення, з точністю до 5 знаків після десяткового, є$1.45254$. Очевидно, що наше наближення досить гарне.

Суть попереднього прикладу полягала не в розробці методу апроксимації для відомих функцій. Адже ми можемо дуже легко обчислити,$f(4.1,0.8)$ використовуючи легкодоступні технології. Швидше, він служить для того, щоб проілюструвати, наскільки добре працює цей метод наближення, і для посилення наступної концепції:

\[\text{"New position = old position $+$ amount of change,'' so}\]

\[\text{ "New position $\approx$ old position + approximate amount of change.''}\]

У попередньому прикладі ми могли б легко обчислити$f(4,\pi/4)$ і могли б наблизити суму$z$ -change при обчисленні$f(4.1,0.8)$, дозволяючи нам наблизити нове$z$ -значення.

Це може бути дивно дізнатися, що це не рідкість, щоб знати значення$f$,$f_x$ і$f_y$ в конкретний момент, фактично не знаючи функції$f$. Загальний диференціал дає хороший метод наближення$f$ в сусідніх точках.

Приклад$\PageIndex{4}$: Approximating an unknown function

З огляду на$f(2,-3) = 6$, що,$f_x(2,-3) = 1.3$ і$f_y(2,-3) = -0.6$, приблизний$f(2.1,-3.03)$.

Рішення

Загальний диференціал наближає, наскільки$f$ змінюється від точки$(2,-3)$ до точки$(2.1,-3.03)$. З$dx = 0.1$ і$dy = -0.03$, у нас є

\ [\ почати {вирівнювати*}
дз &= f_x (2, -3) дх + f_y (2, -3) ди\\
&= 1.3 (0,1) + (-0.6) (-0.6) (-0.03)\
&= 0,148.
\ end {вирівнювати*}\]

Зміна$z$ приблизно$0.148$, тому ми приблизні$f(2.1,-3.03)\approx 6.148.$

Аналіз помилки/чутливості

Загальний диференціал дає наближення зміни$z$ заданих малих змін в$x$ і$y$. Ми можемо використовувати це для приблизного поширення помилок; тобто, якщо вхід трохи відхилений від того, що він повинен бути, наскільки далеко не правильним буде вихід? Ми демонструємо це на прикладі.

Приклад$\PageIndex{5}$: Sensitivity analysis

Буде побудований циліндричний сталевий резервуар для зберігання, який має висоту 10 футів і 4 фути в діаметрі. Відомо, що сталь буде розширюватися/стискатися при перепадах температури; чи є загальний обсяг бака більш чутливим до змін діаметра або висоти бака?

Рішення

Циліндрична суцільна речовина висотою$h$ і радіусом$r$ має об'єм$V = \pi r^2h$. Ми можемо розглядати$V$ як функцію двох змінних,$r$ і$h$. Ми можемо обчислити часткові похідні$V$:

$$\frac{\partial V}{\partial r} = V_r(r,h) = 2\pi rh \qquad \text{and}\qquad \frac{\partial V}{\partial h} = V_h(r,h) = \pi r^2.$$

Загальний диференціал -$dV = (2\pi rh)dr + (\pi r^2)dh.$ коли$h = 10$ і$r = 2$, у нас є$dV = 40\pi dr + 4\pi dh$.

Зверніть увагу, що коефіцієнт$dr$ є$40\pi\approx 125.7$; коефіцієнт$dh$ становить десяту частину від цього, приблизно$12.57$. Невелика зміна радіуса помножиться на 125,7, тоді як невелика зміна висоти буде помножена на 12,57. При цьому обсяг бака більш чутливий до змін радіуса, ніж по висоті.

Попередній приклад показав, що обсяг конкретного резервуара більш чутливий до змін радіуса, ніж по висоті. Майте на увазі, що цей аналіз застосовується лише до резервуара таких розмірів. Танк висотою 1 фут і радіусом 5 футів був би більш чутливим до змін висоти, ніж в радіусі. Можна скласти діаграму малих змін радіуса та висоти та знайти точні зміни в об'ємі, враховуючи конкретні зміни. Хоча це забезпечує точні цифри, він не дає стільки розуміння, як аналіз помилок, використовуючи загальний диференціал.

Диференційовність функцій трьох змінних

Визначення диференційовності для функцій трьох змінних дуже схоже на визначення функцій двох змінних. Знову починаємо з загального диференціала.

Визначення 88: Загальний диференціал

$w=f(x,y,z)$Дозволяти бути безперервним на відкритому наборі$S$. Дозволяти$dx$,$dy$ і$dz$ представляють зміни в$x$,$y$ і$z$, відповідно. Де часткові похідні$f_x$,$f_y$ і$f_z$ існують, сумарний$w$ диференціал

$$dz = f_x(x,y,z)dx + f_y(x,y,z)dy+f_z(x,y,z)dz.$$

Цей диференціал може бути хорошим наближенням зміни,$w$ коли$w = f(x,y,z)$ диференціюється.

Визначення 89: Багатоваріантна диференціативність

$w=f(x,y,z)$Дозволяти визначатися на відкритій кулі,$B$ що містить$(x_0,y_0,z_0)$ де$f_x(x_0,y_0,z_0)$,$f_y(x_0,y_0,z_0)$ і$f_z(x_0,y_0,z_0)$ існувати. $dw$Дозволяти бути загальний диференціал$w$ в$(x_0,y_0,z_0)$$\Delta w = f(x_0+dx,y_0+dy,z_0+dz) - f(x_0,y_0,z_0)$, нехай, і нехай$E_x$,$E_y$ і$E_z$ бути функції$dx$,$dy$ і$dz$ такі, що

$$\Delta w = dw + E_xdx + E_ydy + E_zdz$$

1. $f$диференціюється при$(x_0,y_0,z_0)$ якщо$\epsilon >0$, дано, є$\delta >0$ таке, що якщо$||\langle dx,dy,dz\rangle|| < \delta$, то$||\langle E_x,E_y,E_z\rangle|| < \epsilon$.
2. $f$диференціюється на$B$ якщо$f$ диференціюється в кожній точці$B$. Якщо$f$ диференційований$\mathbb{R}^3$, ми говоримо, що$f$ диференційований скрізь.

Так само, як і раніше, це визначення дає суворе твердження про те, що означає бути диференційованим, що не дуже інтуїтивно. Ми слідуємо за нею теоремою, подібною до Теореми 105.

ТЕОРЕМА 106: Неперервність і диференційовність функцій трьох змінних

$w=f(x,y,z)$Дозволяти визначатися на відкритий м'яч,$B$ що містить$(x_0,y_0,z_0)$.

1. Якщо$f$ диференційована при$(x_0,y_0,z_0)$,$f$ то безперервна при$(x_0,y_0,z_0)$.
2. Якщо$f_x$,$f_y$ і$f_z$ є безперервними на$B$, то$f$ диференціюється на$B$.

Цей набір визначення і теореми поширюється на функції будь-якої кількості змінних. Теорема знову дає нам простий спосіб перевірити, що більшість функцій, з якими ми стикаємося, диференційовані на своїх природних областях.

Цей розділ дав нам формальне визначення того, що означає функція «диференційовна», а також теорема, яка дає більш доступне розуміння. Наступні розділи повертаються до понять, запропонованих нашим вивченням часткових похідних, які використовують той факт, що більшість функцій, з якими ми стикаємося, є диференційованими.