Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.6: Неявна диференціація

У попередніх розділах ми навчилися знаходити похіднуdydxy, або, колиy дається явно як функціяx. Тобто, якщо ми знаємоy=f(x) для якоїсь функціїf, ми можемо знайтиy. Наприклад, враховуючиy=3x27, ми можемо легко знайтиy=6x. (Тут ми чітко вказуємо, якx іy пов'язані. Знаючиx, ми можемо безпосередньо знайтиy.)

Іноді зв'язок міжy і неx є явним; скоріше, це неявне. Наприклад, ми можемо це знатиx2y=4. Ця рівність визначає зв'язок міжx іy; якщо ми знаємоx, ми могли б з'ясуватиy. Чи можемо ми все ще знайтиy? У цьому випадку, звичайно; ми вирішуємо дляy отриманняy=x24 (отже, ми тепер знаємоy явно), а потім диференціюємо, щоб отриматиy=2x.

Іноді неявні відносини міжx іy ускладнюються. Припустимо, нам даноsin(y)+y3=6x3. Графік цієї неявної функції наведено на малюнку 2.19. У цьому випадку немає абсолютно ніякого способу вирішити fory в плані елементарних функцій. Дивно, однак, те, що ми все ще можемо знайтиy за допомогою процесу, відомого як неявна диференціація.

clipboard_eb6ae09106d13dd318e30eb31ab32b168.png
Малюнок 2.19: Графік неявної функціїsin(y)+y3=6x2.

Неявна диференціація - це метод, заснований на Правилі ланцюга, який використовується для пошуку похідної, коли зв'язок між змінними задається неявно, а не явно (вирішується для однієї змінної з точки зору іншої).

Почнемо з перегляду правила ланцюга. fgДозволяти і бути функціямиx. Тодіddx(f(g(x)))=f(g(x))g(x). припустимо тепер, щоy=g(x). Ми можемо переписати вище, оскількиddx(f(y)))=f(y))y,orddx(f(y)))=f(y)dydx. ці рівняння виглядають дивно; ключова концепція для вивчення тут полягає в тому, що ми можемо знайти,y навіть якщо ми точно не знаємо, якy іx пов'язані.

Ми демонструємо цей процес на наступному прикладі.

Приклад 67: Використання неявної диференціації

Знайти,y враховуючи, щоsin(y)+y3=6x3.

Рішення

Починаємо з взяття похідної обох сторін (таким чином зберігаючи рівність.) У нас є:

ddx(sin(y)+y3)=ddx(6x3).

Права сторона легка, вона повертається3x2.

Ліва сторона вимагає більшого розгляду. Беремо похідний термін — за терміном. Використовуючи техніку, отриману з рівняння 2.1 вище, ми бачимо, щоddx(siny)=cosyy.

Застосовуємо той же процес і доy3 терміна.

ddx(y3)=ddx((y)3)=3(y)2y.

Поклавши це разом з правою стороною, ми маємо

cos(y)y+3y2y=3x2.

Тепер вирішуйте дляy.

cos(y)y+3y2y=3x2.(cosy+3y2)y=3x2y=3x2cosy+3y2

Це рівняння дляy напевно здається незвичним для нього містить якx іy терміни. Як його використовувати? Ми вирішимо це далі.

Неявні функції, як правило, важче мати справу, ніж з явними функціями. При явній функції, заданоїx значенням, ми маємо явну формулу обчислення відповідногоy значення. При неявній функції часто доводиться знаходитиx іy значення одночасно, які задовольняють рівнянню. Набагато простіше продемонструвати, що задана точка задовольняє рівнянню, ніж насправді знайти таку точку.

Наприклад, ми можемо легко стверджувати, що точка(36,0) лежить на графіку неявної функціїsiny+y3=6x3. 0Підключивши дляy, бачимо ліву сторону є0. Встановлюючиx=36, ми бачимо, що права сторона також0; рівняння задовольняється. Наступний приклад знаходить рівняння дотичної лінії до цієї функції в цій точці.

Приклад 68: Використання неявної диференціації для пошуку дотичної лінії

Знайти рівняння прямої дотичної до кривої неявно визначеної функціїsiny+y3=6x3 в точці(36,0).

Рішення

У прикладі 67 миy=3x2cosy+3y2. виявили, що Ми знаходимо нахил дотичної лінії в точці(36,0) шляхом підстановки36 forx і0 fory. Таким чином, в точці(36,0), ми маємо нахил якy=3(36)2cos0+302=333619.91.

Тому рівняння дотичної лінії до неявно визначеної функціїsiny+y3=6x3 в(36,0) точці крива і ця дотична лінія показані на малюнку 2.20.y=3336(x36)+09.91x+18.

clipboard_e2008a651e435540e348f1728216bb217.png
Малюнок 2.20: Функціяsiny+y3=6x2 і її дотична лінія в точці(36,0).

Це говорить про загальний метод неявної диференціації. Для наведених нижче кроків припустимоy це функціяx.

  1. Візьміть похідну кожного члена в рівнянні. Ставтеся доx термінів як до нормальних. При прийомі похіднихy термінів застосовуються звичайні правила, за винятком того, що через Правило ланцюга нам потрібно помножити кожен член наy.
  2. Отримайте всіy терміни з одного боку знака рівності і поставте інші терміни з іншого боку.
  3. Фактор позаy; вирішити дляy шляхом ділення.

Практичне зауваження: При роботі вручну може бути корисно використовувати символdydx замістьy, оскільки останній можна легко сплутати дляy абоy1.

Приклад 69: Використання неявної диференціації

Дано неявно визначену функціюy3+x2y4=1+2x, знайдітьy.

Рішення

Ми візьмемо неявні похідні термін за терміном. Похідне відy3 є3y2y.

Другий термінx2y4, трохи складний. Це вимагає Правило продукту, оскільки воно є добутком двох функційx:x2 іy4. Його похідне єx2(4y3y)+2xy4. Перша частина цього виразу вимагає аy тому, що ми беремо похідну відy терміна. Друга частина цього не вимагає, тому що ми беремо похідну відx2.

Похідна правого боку легко знайти2. В цілому ми отримуємо:

3y2y+4x2y3y+2xy4=2.

Перемістіть терміни так, щоб ліва сторона складалася тільки зy термінів, а права - з усіх інших термінів:

3y2y+4x2y3y=22xy4.

Факторy з лівого боку і вирішити, щоб отримати

y=22xy43y2+4x2y3.

Щоб підтвердити достовірність нашої роботи, знайдемо рівняння дотичної прямої до цієї функції в точці. Легко підтвердити, що точка(0,1) лежить на графіку цієї функції. На даний момент,y=2/3. Таким чином, рівняння дотичної лінії єy=2/3(x0)+1. Функція та її дотична лінія зображені на малюнку 2.21.

clipboard_ec2bbaac5c69058ac3068e0613d096e31.png
Малюнок 2.21: Графік неявно визначеної функціїy3+x2y4=1+2x разом з її дотичною лінією в точці(0,1).

Зверніть увагу, як наша функція виглядає набагато інакше, ніж інші функції, які ми бачили. З одного боку, він не проходить тест вертикальної лінії. Такі функції важливі в багатьох областях математики, тому розробка інструментів для боротьби з ними також важлива.

Приклад 70: Використання неявної диференціації

Дано неявно визначену функціюsin(x2y2)+y3=x+y, знайдітьy.

Рішення

Диференціюючи термін за терміном, ми знаходимо найбільшу складність у першому семестрі. Це вимагає як ланцюга, так і правил продукту.

ddx(sin(x2y2))=cos(x2y2)ddx(x2y2)=cos(x2y2)(x2(2yy)+2xy2)=2(x2yy+xy2)cos(x2y2).

Похідні інших термінів залишаємо читачеві. Після взяття похідних обох сторін маємо

2(x2yy+xy2)cos(x2y2)+3y2y=1+y.

Тепер ми повинні бути обережнимиy, щоб правильно вирішити, особливо через продукт зліва. Найкраще продукт примножити. Роблячи це, отримуємо

2x2ycos(x2y2)y+2xy2cos(x2y2)+3y2y=1+y.

Звідси ми можемо безпечно рухатися по термінам, щоб отримати наступне:

2x2ycos(x2y2)y+3y2yy=12xy2cos(x2y2).

Тоді ми можемо вирішити,y щоб отримати

y=12xy2cos(x2y2)2x2ycos(x2y2)+3y21.

Графік цієї неявної функції наведено на малюнку 2.22. Легко перевірити, що точки(0,0),(0,1) і(0,1) все лежать на графіку. Ми можемо знайти нахили дотичних ліній в кожній з цих точок, використовуючи нашу формулу дляy.

clipboard_ebe0f4364fdda69d3ca21f141e5b6a806.png
Малюнок 2.22: Графік неявно визначеної функціїsin(x2y2)+y3=x+y.

В(0,0), нахил є1.

В(0,1), нахил є1/2.

В(0,1), нахил теж1/2.

Дотичні лінії додані до графіка функції на малюнку 2.23.

clipboard_ebea60bcbe41d44f41d65beaef8766160.png
Малюнок 2.23: Графік неявно визначеної функціїsin(x2y2)+y3=x+y та певних дотичних ліній.

Досить багато «відомих» кривих мають рівняння, які даються неявно. Ми можемо використовувати неявну диференціацію, щоб знайти нахил у різних точках цих кривих. Ми досліджуємо дві такі криві в наступних прикладах.

Приклад 71: Пошук нахилів дотичних ліній до кола

Знайдіть нахил дотичної лінії до колаx2+y2=1 в точці(1/2,3/2).

Рішення

Взявши похідні, отримуємо2x+2yy=0. Рішення дляy дарує:y=xy.

Це розумна формула. Нагадаємо, що нахил лінії через початок і точку(x,y) на колі будеy/x. Ми виявили, що нахил дотичної лінії до кола в цій точці протилежнийy/x, а саме,x/y. Звідси ці дві лінії завжди перпендикулярні.

У точці(1/2,3/2) ми маємо нахил дотичної лінії як

y=1/23/2=130.577.

Графік кола і її дотичної лінії при(1/2,3/2) наведено на малюнку 2.24 разом з тонкою пунктирною лінією від початку, яка перпендикулярна дотичній лінії. (Виходить, що всі нормальні лінії до кола проходять через центр кола.)

clipboard_ee62963779ecea31bd09ec1cb04ad274d.png
Малюнок 2.24: Одиничне коло з його дотичною лінією в(1/2,3/2).

У цьому розділі показано, як знайти похідні від неявно визначених функцій, графіки яких включають найрізноманітніші цікаві та незвичайні форми. Неявна диференціація також може бути використана для подальшого розуміння «регулярної» диференціації.

Одна дірка в нашому нинішньому розумінні похідних полягає в наступному: що таке похідна від функції квадратного кореня? Тобто,ddx(x)=ddx(x1/2)=?

Ми натякаємо на можливе рішення, оскільки ми можемо записати функцію квадратного кореня як степеневу функцію з раціональною (або, дробовою) потужністю. Потім ми спокушаємося застосувати Правило влади і отриматиddx(x1/2)=12x1/2=12x.

Проблема з цим полягає в тому, що Правило влади спочатку було визначено тільки для натуральних цілих степенів,n>0. Хоча ми не виправдовували це в той час, як правило влади доведено, використовуючи щось називається Біноміальна теорема, яка стосується тільки натуральних чисел. Правило частки дозволило нам розширити Правило влади на від'ємні цілі сили. Неявна диференціація дозволяє нам розширити Правило влади на раціональні повноваження, як показано нижче.

Нехайy=xm/n, деm іn є цілими числами без загальних факторів (такm=2 іn=5 нормально, алеm=2 і неn=4 є). Ми можемо переписати цю явну функцію неявно якyn=xm. Тепер застосовуємо неявну диференціацію.

\[\begin{align*}y &= x^{m/n} \\ y^n &= x^m \\ \frac{d}{dx}\big(y^n\big) &= \frac{d}{dx}\big(x^m\big) \\ n\cdot y^{n-1}\cdot y^\prime &= m\cdot x^{m-1} \\ y^\prime &= \frac{m}{n} \frac{x^{m-1}}{y^{n-1}} \quad \text{(now substitute xm/n for y)} \\ &= \frac{m}{n} \frac{x^{m-1}}{(x^{m/n})^{n-1}} \quad \text{(apply lots of algebra)}\\ &= \frac{m}n x^{(m-n)/n}\\ &= \frac{m}n x^{m/n -1}.\end{align*}\]

Вищевказана деривація є ключем до доказу, що поширює Правило влади на раціональні повноваження. Використовуючи обмеження, ми можемо ще раз розширити це, включивши всі сили, включаючи ірраціональні (навіть трансцендентні!) повноважень, даючи наступну теорему.

Теорема 21: Правило потужності для диференціації

Нехайf(x)=xn, деn0 є дійсне число. Потімf йде диференційована функція, іf(x)=nxn1.

Ця теорема дозволяє сказати похідну відxπ єπxπ1.

Тепер ми застосовуємо цю остаточну версію Правила влади в наступному прикладі, другому дослідженні «відомої» кривої.

Приклад 72: Використання правила живлення

Знайдіть нахилx2/3+y2/3=8 в точці(8,8).

Рішення

Це особливо цікава крива під назвою астроїд. Це форма, промальована точкою на краю кола, яка кочується всередині більшого кола, як показано на малюнку 2.25.

clipboard_ec55d0599a321accae5db8715c2a5af81.png
Малюнок 2.25: Астроїд, промальований точкою на меншому колі, коли він котиться всередині більшого кола.

Щоб знайти нахил астроїда в точці(8,8), беремо похідну неявно.

23x1/3+23y1/3y=023y1/3y=23x1/3y=x1/3y1/3y=y1/3x1/3=3yx.

Підключаємоx=8 іy=8, отримуємо ухил1. Астроїд, з його дотичною лінією на(8,8), показаний на малюнку 2.26.

clipboard_efab99c6f6fc721b641c2c15983d82ddf.png
Малюнок 2.26: Астроїд з дотичною лінією.

Неявна диференціація та друга похідна

Ми можемо використовувати неявну диференціацію, щоб знайти похідні вищого порядку. У теорії це просто: спочатку знайдітьdydx, потім візьміть його похідну щодоx. На практиці це не складно, але часто вимагає трохи алгебри. Ми демонструємо це на прикладі.

Приклад 73: Пошук другої похідної

Даноx2+y2=1, знайдітьd2ydx2=y.

Рішення

Ми виявили, щоy=dydx=x/y в прикладі 71. Щоб знайтиy, застосовуємо неявну диференціацію доy.

y=ddx(y)=ddx(xy)(Now use the Quotient Rule.)=y(1)x(y)y2

yзамінити наx/y:

=yx(x/y)y2=y+x2/yy2.

Хоча це не особливо простий вираз, воно є корисним. Ми бачимо, щоy>0 колиy<0 іy<0 колиy>0. У розділі 3.4 ми побачимо, як це стосується форми графіка.

Логарифмічна диференціація

Розглянемо функціюy=xx; вона зображена на малюнку 2.27. Це добре визначено,x>0 і нам може бути цікаво знайти рівняння ліній, дотичних і нормальних до його графіку. Як ми беремо його похідне?

clipboard_ef2aad59ebd04aa8b6782de6375b63587.png
Малюнок 2.27: Сюжет оy=xx.

Функція не є силовою функцією: вона має «силу»x, а не постійну. Це не експоненціальна функція: вона має «базу»x, а не константу.

Тут стає корисним метод диференціації, відомий як логарифмічна диференціація. Основний принцип полягає в наступному: візьміть природний журнал обох сторін рівнянняy=f(x), а потім використовуйте неявну диференціацію, щоб знайтиy. Ми демонструємо це в наступному прикладі.

Приклад 74: Використання логарифмічної диференціації

Заданоy=xx, використовувати логарифмічну диференціацію для пошукуy.

Рішення

Як було запропоновано вище, ми починаємо з природного журналу обох сторін, а потім застосовуючи неявну диференціацію.

\[\begin{align*} y &= x^x \\ \ln (y) &= \ln (x^x) \text{(apply logarithm rule)}\\ \ln (y) &= x\ln x \text{(now use implicit differentiation)}\\ \frac{d}{dx}\Big(\ln (y)\Big) &= \frac{d}{dx}\Big(x\ln x\Big) \\ \frac{y^\prime }{y} &= \ln x + x\cdot\frac1x\\ \frac{y^\prime }{y} &= \ln x + 1\\ y^\prime &= y\big(\ln x+1\big) \text{(substitute y=xx)}\\ y^\prime &= x^x\big(\ln x+1\big). \end{align*} \]

Щоб «перевірити» нашу відповідь, давайте використаємо його, щоб знайти рівняння дотичної прямої вx=1.5. Точка на графіку, через яку повинна пройти наша дотична лінія є(1.5,1.51.5)(1.5,1.837). Використовуючи рівняння дляy, знаходимо нахил як

y=1.51.5(ln1.5+1)1.837(1.405)2.582.

Таким чином рівняння дотичної прямої єy=1.6833(x1.5)+1.837. Малюнок 2.28 графікиy=xx разом з цією дотичною лінією.

clipboard_ee57f84446a1e4e088312ce287469283d.png
Малюнок 2.22: Графікy=xx та його дотична лінія вx=1.5.

Неявна диференціація виявляється корисною, оскільки дозволяє знайти миттєві швидкості зміни різноманітних функцій. Зокрема, він розширив Правило влади на раціональні показники, які ми потім поширили на всі дійсні числа. У наступному розділі неявна диференціація буде використана для пошуку похідних обернених функцій, таких якy=sin1x.