9.5: Обчислення та полярні функції

У попередньому розділі визначені полярні координати, що ведуть до полярних функцій. Ми досліджували побудову цих функцій та розв'язували фундаментальне питання щодо їх графіків, а саме, де перетинаються два полярні графіки?

Тепер звернемо увагу на відповіді на інші питання, рішення яких вимагають використання обчислення. Основою для більшої частини того, що робиться в цьому розділі, є здатність перетворити полярну функцію$r=f(\theta)$ в набір параметричних рівнянь. Використовуючи тотожності$x=r\cos \theta$ і$y=r\sin \theta$, ми можемо створити параметричні рівняння$x=f(\theta)\cos\theta$,$y=f(\theta)\sin\theta$ і застосувати поняття Розділу 9.3.

Полярні функції та$\frac{dy}{dx}$

Нас цікавлять дотичні лінії заданого графа, незалежно від того, чи утворюється цей графік прямокутними, параметричними або полярними рівняннями. У кожному з цих контекстів нахил дотичної лінії дорівнює$\frac{dy}{dx}$. Враховуючи$r=f(\theta)$, що ми, як правило, не стурбовані$r^\prime =f^\prime (\theta)$; що описує, як швидко$r$ змінюється щодо$\theta$. Замість цього ми будемо використовувати$x=f(\theta)\cos\theta$,$y=f(\theta)\sin\theta$ для обчислення$\frac{dy}{dx}$.

Використовуючи Key Idea 37 у нас є $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{d\theta}\Big/\frac{dx}{d\theta}.$$

Кожна з двох похідних на правій стороні рівності вимагає використання Правил продукту. Важливий результат ми констатуємо як ключову ідею.

ключова ідея 41 Пошук$\frac{dy}{dx}$ with Polar Functions

$r=f(\theta)$Дозволяти бути полярною функцією. З$x=f(\theta)\cos\theta$ і$y=f(\theta)\sin\theta$,

$$\frac{dy}{dx} = \frac{f^\prime (\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\theta}{f^\prime (\theta)\cos\theta-f(\theta)\sin\theta}.$$

Приклад$\PageIndex{1}$: Finding $\frac{dy}{dx}$ with polar functions.

Розглянемо лімакон$r=1+2\sin\theta$ на$[0,2\pi]$.

1. Знайти рівняння дотичної і нормальної ліній до графіка на$\theta=\pi/4$.
2. Знайдіть, де графік має вертикальні та горизонтальні дотичні лінії.

Рішення

1. Починаємо з обчислень$\frac{dy}{dx}$. З$f^\prime (\theta) = 2\cos\theta$, у нас є $$\begin{align*}\frac{dy}{dx} &= \frac{2\cos\theta\sin\theta + \cos\theta(1+2\sin\theta)}{2\cos^2\theta-\sin\theta(1+2\sin\theta)}\\&= \frac{\cos\theta(4\sin\theta+1)}{2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)-\sin\theta}.\end{align*}$$
   
   Коли$\theta=\pi/4$,$\frac{dy}{dx}=-2\sqrt{2}-1$ (це вимагає трохи спрощення). У прямокутних координатах точка на графіку в$\theta=\pi/4$ дорівнює$(1+\sqrt{2}/2,1+\sqrt{2}/2)$. Таким чином, прямокутне рівняння прямокутної прямої дотичної до limacon at$\theta=\pi/4$ є $$y=(-2\sqrt{2}-1)\big(x-(1+\sqrt{2}/2)\big)+1+\sqrt{2}/2 \approx -3.83 x+8.24.$$ limacon і дотична лінія графічні на малюнку 9.47.
   Нормальна лінія має протилежно-зворотний нахил як дотичну лінію, тому її рівняння
   $$y \approx \frac{1}{3.83}x+1.26.$$
   
2. Щоб знайти горизонтальні лінії дотику, ми знаходимо де$\frac{dy}{dx}=0$; таким чином ми знаходимо, де чисельник нашого рівняння для$\frac{dy}{dx}$ дорівнює 0.
   $$\cos\theta(4\sin\theta+1)=0\quad \Rightarrow \quad \cos\theta=0 \quad \text{or}\quad 4\sin\theta+1=0.$$
   На$[0,2\pi]$,$\cos\theta=0$ коли$\theta=\pi/2,\ 3\pi/2$.
   
   Налаштування$4\sin\theta+1=0$ дає$\theta=\sin^{-1}(-1/4)\approx -0.2527 = -14.48^\circ$. Ми хочемо отримати результати$[0,2\pi]$; ми також визнаємо, що є два рішення, одне в 3$^\text{rd}$ квадранті і одне в 4$^\text{th}$. Використовуючи опорні кути, ми маємо два наші рішення як$\theta =3.39$ і$6.03$ радіани. Чотири точки, які ми отримали, де limacon має горизонтальну дотичну лінію, наведені на малюнку 9.47 з чорними крапками.
   
   Щоб знайти вертикальні лінії дотику, задаємо знаменник$\frac{dy}{dx}=0$.
   \[\begin{align*}2(\cos^2\theta -\sin^2\theta)-\sin\theta &= 0 .\\ \text{Convert the $\cos^2\theta$ term to $1-\sin^2\theta$:}& \\ 2(1-\sin^2\theta-\sin^2\theta)-\sin\theta &= 0\\4\sin^2\theta + \sin\theta -1 &= 0.\\ \text{Recognize this as a quadratic in the variable $\sin\theta$.}&\text{ Using the quadratic formula, we have} \\\sin\theta &= \frac{-1\pm\sqrt{33}}{8}.\end{align*}\]
   
   Ми вирішуємо$\sin\theta = \frac{-1+\sqrt{33}}8$ і$\sin\theta = \frac{-1-\sqrt{33}}8$:
   $$\begin{align*}\sin\theta &=\frac{-1+\sqrt{33}}8 & \sin\theta &= \frac{-1-\sqrt{33}}{8}\\\theta &= \sin^{-1}\left(\frac{-1+\sqrt{33}}8\right) & \theta &= \sin^{-1}\left(\frac{-1-\sqrt{33}}8\right)\\ \theta &= 0.6399 & \theta &= -1.0030\end{align*}$$
   
   У кожному з наведених вище рішень ми отримуємо лише одне з можливих двох рішень, оскільки$\sin^{-1}x$ лише повертає рішення в $[-\pi/2,\pi/2]$, 4$^\text{th}$ і$1^\text{st}$ квадранти. Знову використовуючи опорні кути, ми маємо:
   $$\sin\theta = \frac{-1+\sqrt{33}}8 \quad \Rightarrow \quad \theta = 0.6399,\ 3.7815 \text{ radians}$$
   і
   $$\sin\theta = \frac{-1-\sqrt{33}}8 \quad \Rightarrow \quad \theta = 4.1446,\ 5.2802 \text{ radians.}$$
   Ці точки також показані на малюнку 9.47 з білими крапками.

Малюнок 9.47: Лімакон у прикладі 9.5.1 з його дотичною лінією в$\theta = \pi /4$ та точками вертикального та горизонтального дотику.

Коли графік полярної функції$r=f(\theta)$ перетинає полюс, це означає, що$f(\alpha)=0$ для деякого кута$\alpha$. Таким чином, формула для$\frac{dy}{dx}$ в таких випадках дуже проста, зводиться просто до

$$\frac{dy}{dx} = \tan \alpha.$$

Це рівняння робить цікавий момент. Це говорить нам про нахил дотичної лінії біля полюса$\tan \alpha$; деякі з наших попередніх робіт (див., наприклад, Приклад 9.4.3) показує нам, що лінія через полюс з нахилом$\tan \alpha$ має полярне рівняння$\theta=\alpha$. Таким чином, коли полярний графік торкається полюса в$\theta=\alpha$, рівняння дотичної лінії на полюсі є$\theta=\alpha$.

Приклад$\PageIndex{2}$: Finding tangent lines at the pole.

Нехай$r=1+2\sin\theta$, лімакон. Знайдіть рівняння ліній, дотичних до графіка на полюсі.

Малюнок 9.48: Графік дотичних ліній на полюсі в прикладі 9.5.2.

Рішення

Нам потрібно знати, коли$r=0$.

\ [\ begin {align*}
1+2\ sin\ тета &= 0\
\ sin\ тета &= -1/2\\
\ тета &=\ гідророзриву {7\ pi} {6},\\ frac {11\ pi} 6.
\ end {вирівнювати*}\]

Таким чином рівняння дотичних ліній, в полярних, є$\theta = 7\pi/6$ і$\theta = 11\pi/6$. У прямокутній формі дотичні лінії -$y=\tan(7\pi/6)x$ і$y=\tan(11\pi/6)x$. Повний limacon con можна побачити на малюнку 9.47; ми збільшуємо дотичні лінії на малюнку 9.48.

Примітка: Нагадаємо, що площа сектора кола з радіусом r, піднесеного кутом,$\theta$ дорівнює$A=\frac{1}{2}\theta r^2$.

Площа

При використанні прямокутних координат рівняння$x=h$ і$y=k$ визначені вертикальні і горизонтальні лінії відповідно і комбінації цих ліній створюють прямокутники (звідси і назва «прямокутні координати»). Тоді дещо природно використовувати прямокутники для наближення площі, як ми це робили, коли дізналися про певний інтеграл.

При використанні полярних координат рівняння$\theta=\alpha$ і$r=c$ утворюють лінії через початок і кола, зосереджені на початку, відповідно, і комбінації цих кривих утворюють сектори кіл. Тоді дещо природно обчислити площу областей, визначених полярними функціями, спочатку наближаючись з секторами кіл.

Розглянемо рис. 9.49 (а), де задана область,$[\alpha,\beta]$ визначена$r=f(\theta)$ на. (Зверніть увагу, як «сторонами» області є лінії$\theta=\alpha$ і$\theta=\beta$, тоді як в прямокутних координатах «сторони» областей часто були вертикальними лініями$x=a$ і$x=b$.)

Малюнок 9.49: Обчислення площі полярної області.

$[\alpha,\beta]$Розділити інтервал на$n$ однаково розташовані підінтервали як$\alpha = \theta_1 < \theta_2 <\cdots <\theta_{n+1}=\beta$. Довжина кожного підінтервалу дорівнює$\Delta\theta = (\beta-\alpha)/n$, що представляє собою невелику зміну кута. Площа області, визначеної$i\,^\text{th}$ підінтервалом,$[\theta_i,\theta_{i+1}]$ може бути апроксимована сектором кола з радіусом$f(c_i)$, для деяких$c_i$ в$[\theta_i,\theta_{i+1}]$. Площа цього сектора є$\frac12f(c_i)^2\Delta\theta$. Це показано в частині (b) малюнка, де було$[\alpha,\beta]$ розділено на 4 субінтервали. Наближаємо площу всього регіону, підсумовуючи площі всіх секторів:

$$\text{Area} \approx \sum_{i=1}^n \frac12f(c_i)^2\Delta\theta.$$

Це сума Рімана. Прийнявши межу суми як$n\to\infty$, знаходимо точну площу області у вигляді певного інтеграла.

ТЕОРЕМА 83 ПЛОЩА ПОЛЯРНОЇ ОБЛАСТІ

$f$Дозволяти бути безперервним і ненегативним на$[\alpha,\beta]$, де$0\leq \beta-\alpha\leq 2\pi$. Площа$A$ області, обмеженої кривою$r=f(\theta)$ і лініями$\theta=\alpha$ і$\theta=\beta$

$$A \ =\ \frac12\int_\alpha^\beta f(\theta)^2 \ d\theta\ =\ \frac12\int_\alpha^\beta r^{\,2} \ d\theta$$

Теорема стверджує, що$0\leq \beta-\alpha\leq 2\pi$. Це гарантує, що регіон не перекривається сам, що дало б результат, який не відповідає безпосередньо площі.

Приклад$\PageIndex{3}$: Area of a polar region

Знайдіть площу кола, визначену$r=\cos \theta$. (Нагадаємо, що це коло має радіус$1/2$.)

Рішення

Це пряме застосування Теореми 83. Коло промальовується на$[0,\pi]$, що веде до інтегралу

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ текст {Площа} &=\ frac12\ int_0^\ пі\ cos^2\ тета\ d\ тета\\
&=\ frac12\ int_0^\ pi\ frac {1+\ cos (2\ тета)} {2}\ д\ тета\
&=\ фрак14\ великий (тета +\ фрак12\ син (2\ тета) великий)\ Біг|_0^\ пі\\
&=\ фрак14\ пі.
\ end {вирівнювати*}\]

Звичайно, ми вже знали площу кола з радіусом$1/2$. Ми зробили цей приклад, щоб продемонструвати, що формула площі правильна.

Примітка: Приклад 9.5.3 вимагає використання інтеграла$\int \cos^2\theta\ d\theta$. Це добре обробляється за допомогою формули зменшення потужності, як показано в задній частині цього тексту. Через характер формули площі, інтегрувати$\cos^2\theta$ і$\sin^2\theta$ потрібно часто. Ми пропонуємо ці невизначені інтеграли як міра економії часу.

$$\int\cos^2\theta\ d\theta = \frac12\theta+\frac14\sin(2\theta)+C$$

$$\int\sin^2\theta\ d\theta = \frac12\theta-\frac14\sin(2\theta)+C$$

Приклад$\PageIndex{4}$: Area of a polar region

Знайдіть площу кардіода,$r=1+\cos\theta$ пов'язаного між$\theta=\pi/6$ і$\theta=\pi/3$, як показано на малюнку 9.50.

Малюнок 9.50: Знаходження площі затіненої області кардіода в прикладі 9.5.4

Розв'язок Це знову пряме застосування Теореми 83.

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ текст {Площа} &=\ frac12\ int_ {\ pi/6} ^ {\ pi/3} (1+\ cos\ тета) ^2\ d\ тета\
&=\ frac12\ int_ {\ pi/6} ^ {\ pi/3} (1+2\ cos\ theta+\ cos^2\ тета)\ d\ тета\
=\ фрак12\ ліворуч (\ тета+2\ грін\ тета+\ фрак12\ тета+\ фрак14\ sin (2\ тета)\ праворуч)\ Біг|_ {\ pi/6} ^ {\ pi/3} \\
&=\ frac18\ великий (\ pi+4\ sqrt {3} -4\ великий)\ приблизно 0,7587.
\ end {вирівнювати*}\]

Площа між кривими

Вивчення площі в контексті прямокутних функцій природно призвело до знаходження площі, обмеженої між кривими. Те ж саме розглядається в контексті полярних функцій. \ індекс {полярний! функції! площа між кривими}

Розглянемо затінену область, показану на малюнку 9.51. Ми можемо знайти площу цієї області, обчисливши область, обмежену$r_2=f_2(\theta)$ і віднімаючи площу, обмежену$r_1=f_1(\theta)$ на$[\alpha,\beta]$. Таким чином

$$\text{Area}\ = \ \frac12\int_\alpha^\beta r_2^{\,2}\ d\theta - \frac12\int_\alpha^\beta r_1^{\,2}\ d\theta = \frac12\int_\alpha^\beta \big(r_2^{\,2}-r_1^{\,2}\big)\ d\theta.$$

Малюнок 9.51: Ілюстрація області, пов'язаної між двома полярними кривими.

KEY IDEA 42 область між полярними кривими

Площа$A$ області, обмеженої$r_1=f_1(\theta)$ і$r_2=f_2(\theta)$,$\theta=\alpha$ і$\theta=\beta$, де$f_1(\theta)\leq f_2(\theta)$ на$[\alpha,\beta]$,

$$A = \frac12\int_\alpha^\beta \big(r_2^{\,2}-r_1^{\,2}\big)\ d\theta.$$

Приклад$\PageIndex{5}$: Area between polar curves

Знайдіть площу, обмежену між кривими$r=1+\cos \theta$ і$r=3\cos\theta$, як показано на малюнку 9.52.

Малюнок 9.52: Пошук площі між полярними кривими в прикладі 9.5.5.

Рішення
Нам потрібно знайти точки перетину між цими двома функціями. Встановивши їх рівними один одному, знаходимо:

\ [\ почати {вирівнювати*}
1+\ cos\ тета &= 3\ cos\ тета\\ cos
\ cos\ тета &= 1/2\
\\ тета &=\ pm\ pi/3
\ кінець {align*}\]

Таким чином ми інтегруємо$\frac12\big((3\cos\theta)^2-(1+\cos\theta)^2\big)$ далі$[-\pi/3,\pi/3]$.

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ текст {Площа} &=\ frac12\ int_ {-\ pi/3} ^ {\ pi/3}\ великий (3\ cos\ тета) ^2- (1+\ cos\ тета) ^2\ великий)\ d\ тета\\
&=\ frac12\ int_ {-\ pi/3} ^ {\ pi/3}\ великий (8\ cos^2\ тета-2\ cos\ тета-1\ великий)\ d\ тета\\
&=\ великий (2\ sin (2\ тета) - 2\ гріх\ тета+3\ тета\ великий)\ Bigg|_ {-\ пі/3} ^ {\ пі/3}\\
&= 2\ пі.
\ end {вирівнювати*}\]

Як не дивно, площа між цими кривими має «приємне» значення

Приклад$\PageIndex{6}$: Area defined by polar curves

Знайдіть площу, обмежену між полярними кривими$r=1$ і$r=2\cos(2\theta)$, як показано на малюнку 9.53 (a).

Рішення

Нам потрібно знайти точку перетину між двома кривими. Встановлюючи дві функції, рівні один одному, ми маємо

$$2\cos(2\theta) = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos(2\theta) = \frac12 \quad \Rightarrow \quad 2\theta = \pi/3\quad \Rightarrow \quad \theta=\pi/6.$$

Малюнок 9.53: Графік області, обмеженої функціями в прикладі 9.5.6

У частині (b) фігури ми збільшимо область і зауважимо, що вона насправді не обмежена між двома полярними кривими, а скоріше двома полярними кривими, разом з$\theta=0$. Пунктирна лінія розбиває область на складові частини. Нижче пунктирною лінією область визначається$r=1$,$\theta=0$ і$\theta = \pi/6$. (Примітка: пунктирна лінія лежить на лінії$\theta=\pi/6$.) Над пунктирною лінією область обмежена$r=2\cos(2\theta)$ і$\theta =\pi/6$. Оскільки у нас є дві окремі області, ми знаходимо площу за допомогою двох окремих інтегралів.

Назвіть область нижче пунктирною лінії$A_1$ і область над пунктирною лінією$A_2$. Вони визначаються наступними інтегралами:
$$A_1 = \frac12\int_0^{\pi/6} (1)^2\ d\theta\qquad A_2 = \frac12\int_{\pi/6}^{\pi/4} \big(2\cos(2\theta)\big)^2\ d\theta.$$
(Верхня межа інтегральних обчислень така,$\pi/4$ як$A_2$$r=2\cos(2\theta)$ є на полюсі, коли$\theta=\pi/4$.)

Ми опускаємо деталі інтеграції і дозволяємо читачеві перевірити, що$A_1 = \pi/12$ і$A_2 = \pi/12-\sqrt{3}/8$; загальна площа є$A = \pi/6-\sqrt{3}/8$.

Довжина дуги

Оскільки ми вже розглядали довжину дуги кривих, визначену прямокутними і параметричними рівняннями, ми зараз розглянемо її в контексті полярних рівнянь. Нагадаємо, що довжина$L$ дуги графа, визначеного параметричними рівняннями$x=f(t)$,$y=g(t)$$[a,b]$ на

$$L = \int_a^b \sqrt{f^\prime (t)^2 + g^\prime(t)^2}\ dt = \int_a^b \sqrt{x^\prime(t)^2+y^\prime (t)^2}\ dt.\label{eq:polar_arclength}$$

Тепер розглянемо полярну функцію$r=f(\theta)$. Ми знову використовуємо тотожності$x=f(\theta)\cos\theta$ і$y=f(\theta)\sin\theta$ створюємо параметричні рівняння на основі полярної функції. Ми обчислюємо$x^\prime(\theta)$ і,$y^\prime (\theta)$ як це робилося раніше при обчисленні$\frac{dy}{dx}$, потім застосовуємо Equation\ ref {eq:polar_arclength}.

Вираз$x^\prime(\theta)^2+y^\prime (\theta)^2$ можна значно спростити; ми залишаємо це як вправу і стверджуємо, що $$x^\prime(\theta)^2+y^\prime (\theta)^2 = f^\prime (\theta)^2+f(\theta)^2.$$
Це призводить нас до формули довжини дуги.

ключова ідея 43 довжина дуги полярних кривих

$r=f(\theta)$Дозволяти бути полярна функція з$f^\prime$ безперервним на відкритому інтервалі$I$ містить$[\alpha,\beta]$, на якому графік простежує себе тільки один раз. Довжина$L$ дуги$[\alpha,\beta]$ графіка на
$$L = \int_\alpha^\beta \sqrt{f^\prime (\theta)^2+f(\theta)^2}\ d\theta = \int_\alpha^\beta\sqrt{(r^\prime )^2+ r^2}\ d\theta.$$

Приклад$\PageIndex{7}$: Arc length of a limacon

Знайдіть довжину дуги лімакона$r=1+2\sin t$.

Рішення

З$r=1+2\sin t$, у нас є$r^\prime = 2\cos t$. Лімакон простежується один раз$[0,2\pi]$, даючи нам наші межі інтеграції. Застосовуючи ключову ідею 43, ми маємо

\ [\ почати {align*}
L &=\ int_0^ {2\ pi}\ sqrt {(2\ cos\ тета) ^2+ (1+2\ грін\ тета) ^2}\ d\ тета\\
&=\ int_0^ {2\ pi}\ sqrt {4\ cos^2\ sin^2\ sin^2\ тета +4\ грін\ тета+1}\ d тета\\
&=\ int_0^ {2\ pi}\ sqrt {4\ sin\ тета+5}\ d\ тета\\\
&\ приблизно 13.3649.
\ end {вирівнювати*}\]

Малюнок 9.54: Лімакон у прикладі 9.5.7, довжина дуги якого вимірюється.

Кінцевий інтеграл не може бути розв'язаний через елементарні функції, тому ми вдалися до числового наближення. (Правило Сімпсона, з$n=4$, наближає значення с$13.0608$. Використання$n=22$ дає значення вище, яке є точним до 4 знаків після десяткової.)

Площа поверхні

Формула довжини дуги призводить нас до формули площі поверхні. Наступна ключова ідея заснована на Key Idea 39.

КЛЮЧОВА ІДЕЯ 44 ПЛОЩА ПОВЕРХНІ ТВЕРДОГО ТІЛА ОБЕРТАННЯ

Розглянемо графік полярного рівняння$r=f(\theta)$, де$f^\prime$ є безперервним на відкритому інтервалі, що містить$[\alpha,\beta]$ на якому графік не перетинається сам.

1. Площа поверхні твердого тіла, утвореного обертовим графіком навколо початкового променя ($\theta=0$), становить: $$\text{Surface Area} = 2\pi\int_\alpha^\beta f(\theta)\sin\theta\sqrt{f^\prime (\theta)^2+f(\theta)^2}\ d\theta.$$
2. Площа поверхні твердого тіла, утвореного обертовим графіком навколо прямої,$\theta=\pi/2$ становить: $$\text{Surface Area} = 2\pi\int_\alpha^\beta f(\theta)\cos\theta\sqrt{f^\prime (\theta)^2+f(\theta)^2}\ d\theta.$$

Приклад$\PageIndex{8}$: Surface area determined by a polar curve

Знайдіть площу поверхні, утворену обертанням однієї пелюстки кривої троянди$r=\cos(2\theta)$ навколо її центральної осі (див. Рис.

Рішення

Вибираємо, як мається на увазі фігура, обертати ту частину кривої, яка лежить$[0,\pi/4]$ приблизно на початковому промені. Використання Key Idea\ ref {idea:surface_area_polar} і той факт$f^\prime (\theta) = -2\sin(2\theta)$, що у нас є

\ [\ begin {align*}
\ text {Площа поверхні} &= 2\ pi\ int_0^ {\ pi/4}\ cos (2\ тета)\ sin (\ тета)\ sqrt {\ великий (-2\ тета)\ великий) ^2+\ big (\ cos (2\ theta)\ великий) ^2}\ d\ тета\
&\ приблизно 1.36707.
\ end {вирівнювати*}\]

Інтеграл - це ще один, який неможливо оцінити з точки зору елементарних функцій. Правило Сімпсона, з$n=4$, наближає значення на$1.36751$.%; з$n=10$, значення з точністю до 4 знаків після коми.

Малюнок 9.55: Знаходження площі поверхні пелюстки кривої троянди, яка обертається навколо своєї центральної осі.

У цій главі йдеться про криві в площині. Хоча існує велика математика, яку потрібно виявити в двох вимірах площини, ми живемо в тривимірному світі і, отже, ми також повинні шукати математику в 3D - тобто в космосі. Наступна глава починає наше дослідження космосу з введення теми векторів, які є неймовірно корисними і потужними математичними об'єктами.

Автори та атрибуція

• Template:ContribApexCalc